Лекции №1

б)

C1 C2

> C0 C3 . Наличие только положительных коэффициентов в уравнении еще не является

достаточным условием, хотя это условие и необходимо.

4.

Система

четвертого

порядка.

Характеристическое

уравнение

C

0

λ .4 + C λ .3 + C

2

λ .2 + C

3

λ + C

4

= 0 .

Полагая, что

знаки выбраны так что

C

0

> 0 , в этом

1

C1 C3

0

0

Главный определитель ∆ 4

=

C0 C2 C4

0

> 0

0

C1 C3

0

0

C0 C2 C4

Диагональные

миноры:

∆

1

=

C

> 0 ;

∆

2

=

C1 C3

C

C

2

− C

0

C

3

;

=

1

C0 C2

1

C1 C3

0

(C

)− C

C

C

2

C 2

C

2

C

= = C

− C 2C

> 0 .

∆

3

=

C

0

C

2

C

4

= C

2

3

− C

C

4

− C

0

= C

3

1

C

2

− C

0

4

3

∆

2

4

1

1

3

3

1

1

0

C1 C3

Для раскрытия определителя ∆ 4

разложим его по адъюнктам первой строки:

C1 C3

0 0

C2

C4

0

C0 C4 0

C0 C2 C4 0

(−1)1+1

(−1)2+1

(C

C 2 )

∆

4

=

= C

C C

3

0

+ C

2

0 C

3

0

= C

2

C

3

C

4

− C

−

0

C1 C3 0

1

1

1

1

4

C0

C2 C4

0 C2 C4

0

C0 C2 C4

[C

(C C

)− C 2

]=

C

3

C

0

C

3

C

4

= C C

2

C

3

C

4

− C 2

C

2

− C

0

C 2

C

4

= C

4

3

2

− C

0

C

C

4

1

1

4

3

1

3

1

= C

4

[C

3

∆

2

− C

2

C

4

]= C

4

∆

3

> 0 .

1

Так как

∆ 3

> 0 ,

то

неравенство

возможно

только при условии, что

и C4 > 0 .

Из

диагонального

минора

∆

3

= C

3

∆

2

− C 2

C

4

> 0

выразим

C

3

> C

2

C

4

/ ∆

2

,

которое

будет

1

1

положительно, если C1 > 0 , C4

> 0 и ∆ 2

> 0 . При

∆ 2

> 0 C2

> 0 , так как C2

> C0 C3 / C1 .

Вывод: для получения устойчивой системы необходимо соблюдение следующих условий: а)

C

0

> 0 , C > 0 , C

2

> 0 , C

3

> 0 , C

4

> 0 ; б) C C

2

> C

0

C

; в) C C

2

C

3

> C 2

C

4

+ C

0

C

2 .

5.

1

1

3

1

1

3

Система

пятого

порядка.

Характеристическое

уравнение

C

0

λ .5

+ C λ .4 + C

2

λ .3

+ C

3

λ

.2 + C

4

λ + C

5

= 0 .

1

а)

б)

C1 C3

C5

0

0

C0 C2 C4

0

0

Главный определитель Гурвица ∆ 5 =

0

C1 C3

C5

0

> 0

0

C0 C2 C4

0

0

0

C1 C3 C5

при условии, что C0

> 0 .

Если раскрыть определитель ∆ 5

и исследовать его диагональные миноры, то для устойчивой

системы пятого порядка необходимо соблюдение четырех условий: 1)

C0

> 0 ,

C1

> 0 ,

C2

> 0 ,

C

3

> 0 , C

4

> 0 , C

5

> 0 ; 2) C C

2

> C

0

C

; 3) C C

2

C

3

+ C

0

C C

5

> C 2 C

4

+ C

0

C 2

; 4)

1

3

1

1

1

3

C1 C2 C3 C4 + 2 C0 C1 C4 C5 + C0 C2 ×

× C

3

C

5

> C

0

C 2 C

4

+ C C

2

C

5

+ C 2

C 2

+ C

2 C 2 .

3

1

2

1

4

0

5

Критерий Гурвица не дает возможности оценить запас устойчивости и быстроту затухания

Таблица Рауса

Таблица 3.

Коэффи-

Номер

Номер n-го столбца

циент r

строки

1

2

3

-

1

C1, 1 = C0

C2, 1 = C2

C3, 1 = C4

-

2

C1, 2 = C1

C2, 2 = C3

C3, 2 = C5

r3

=

C1, 1

3

C1, 3 = C2, 1 − r3 C2, 2

C2, 3 = C3, 1 − r3 C3, 2

C3, 3 = C4, 1 − r3 C4, 2

C1, 2

r4

=

C1, 2

4

C1, 4 = C2, 2 − r4 C2, 3

C2, 4 = C3, 2 − r4 C3, 3

C3, 4 = C4, 2 − r4 C4, 3

C1, 3

ri =

C1, i−2

i

C1, i = C2, i−2 − ri C2, i−1

C2, i = C3, i−2 − ri C3, i−1

C = C

− r C

3, i 4, i−2

i 4, i−1

C1, i−1

строке

-

коэффициенты

характеристического

уравнения с нечетными индексами (C1 , C3 , C5 , …)

.

В

последующие строки

вписывают

коэффициенты

Ck ,i

= Ck +1, i−2

− ri Ck +1, i−1 ,

где

ri

= C1, i−2

/ C1, i−1 ;

i

-

индекс,

означающий

номер

строки

таблицы;

k

-

индекс, обозначающий номер столбца таблицы. Число

строк

таблицы

Рауса

равно

степени

Рис. 31. Определение

характеристического уравнения +1, т. е.

(n +1). После

устойчивости по критерию

заполнения

таблицы

по

ней

можно

судить

об

Найквиста: 1 - астатическая

устойчивости системы.

устойчивая САУ четвертого

Условия устойчивости Рауса: чтобы САУ была

устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

порядка: 2 - астатическая

коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели

неустовчивая САУ третьего

один и тот же знак, т. е. были бы положительными, так

порядка; 3 - статическая

как

всегда

можно

сделать

C0

> 0 :

C1, 1 = C0

> 0,

устойчивая САУ третьего

C1, 2

= C1

> 0,

C1, 3

> 0, …, C1, n+1 > 0 .

Если не

все

порядка; 4 - статическая

коэффициенты первого столбца положительны, т. е.

неустовчивая САУ четвертого

если система неустойчива, то число правых корней

порядка

характеристического уравнения равно числу перемен

при условии, что на

частоте

ω CP

сигнала

WP ( j ω CP ) = −1 = −e j p ,

входной

и

выходной

сигналы имеют одинаковые амплитуды, но

сдвинуты по фазе на 180° (т.е. на π

радиан). Таким

образом, раз возникшее колебание будет

существовать без изменения амплитуды. В самом

деле, сигнал как бы лишь дважды смещается по

фазе, каждый раз по 180°; результирующий сдвиг на

входе системы равен нулю, ослабления амплитуды

нет.

Очевидно, годограф разомкнутой системы на

Рис. 32. Физическое представленне

частоте ω CP пересекает ось действительных величин

критерия Найквиста

ЛФЧХ (рис. 33).

1. Годограф не охватывает точку (−1, j 0) (рис. 39,а), запас по фазе ϕ З = ϕ + π

> 0 , так как

−π < ϕ < 0 . Система устойчива,

колебательный процесс затухающий. На частоте,

при которой

модуль комплексного коэффициента усиления равен единице, фазовый угол ϕ

< π ,

т. е. имеется

некоторый запас по фазе. Там,

где ЛФЧХ проходит через значение ϕ = −π

, она находится в

пересекает

ось

частот

там, где

ϕ = −π

, т.

е.

запас

по

фазе и

амплитуде отсутствует.

3. Годограф охватывает точку

(−1, j 0)

(рис.

33,в),

ϕ З

= ϕ

+ π < 0 ,

так

как

−π

< ϕ

< −2 π .

Система

неустойчива,

процесс

носит

расходящийся

характер,

теоретически амплитуда колебаний

способна расти до бесконечности.

На частоте среза, где модуль равен

единице и ЛАЧХ пересекает ось

частот

(L = 0)

,

фазовый

угол

ϕ З

= −π

− ϕ

, т.

е.

запас по фазе

отрицательный.

Нет

и

положительного

запаса

по

амплитуде,

так

как

при

ϕ

= −π

LЗ

> 0 .

Примечания: 1. Для нахождения

частоты среза, на которой модуль

равен 1, проводят окружность с

центром в начале координат и

радиусом, равным 1. Пересечение

этой

окружности

с

годографом

определяет частоту среза - частоту,

Рис. 33. Характеристики амплитудно-

где модуль равен единице. 2. Если

фазовые, переходные, ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ: а

имеется запас по фазе, но он мал,

то возникщие колебания затухают

– устойчивая; б - консервативная; в –

медленнее, чем в случае, когда

неустойчивая

44

фазе ϕ З

= 35 …45O , а

запас

по

амплитуде

LЗ ≥ 10 дБ.

И,

как

Рассмотрим

характеристическое

уравнение

C0 λ .n + C1 λ .n−1 + … …+ Cn−1 λ

+ Cn

= 0 .

Если λ .1 ,

λ .2 ,

…, λ ..n

-

корни этого

уравнения, а

переменная

y

n

характеризует процесс

управления,

то

y(t) = ∑ Ai

eλ .i t .

i=1

Требуется написать условия, при которых величина

y

за

время

регулирования

tP

стала

бы

равной 1/ m

уста-

1/ m = e−α t p , откуда, логарифмируя, получаем α

= ln (m)/ tP . Следовательно,

чтобы отклонение

управляемого параметра уменьшилось за время

tP в m раз, необходимо,

чтобы все корни

Введем в

характеристическое уравнение

новую переменную z = λ

+ ln (m) / tP .

Для

переменной z мнимой является, очевидно, ось,

сдвинутая влево на величину

ln (m) / tP .

Тогда

преобразованное

характеристическое

уравнение

будет

иметь

вид

z − ln m n

= zn − n zn−1 ln m +

n (n −1)

zn−2 ln m 2 −

2!

tP

tP

tP

−

n (n −

1) (n − 2)

zn−3 ×

ln m + …+

(− 1)

ln m

n .

3!