Вища математика

71

4.ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

4.1.ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ, НЕПЕРЕРВНІСТЬ, ЧАСТИННА ПОХІДНА

Визначення

Якщо кожній точці M(x1,…,xn) Rn за деяким законом ставиться у відповідність число u R, то ця відповідність називається однозначною функцією n змінних і позначається u = f(x1,…,xn) або u = f(X), де X = (x1,…,xn).

Визначення

Областю визначення D(f) функції u = f(X) називають множину усіх тих точок M(x1,…,xn) Rn, для яких існує u.

Визначення

Графіком функції u = f(X) називають множину усіх точок (x1,…,xn,u) Rn+1, де M(x1,…,xn) D(f).

4.1.1. ПРИКЛАД

72

Областю визначення функції двох змінних u = 1 – x2 – y2 є

множина D(f) = {x2 + y2 ≤ 1}. Геометрично D(f) є одиничне коло (разом з його межею) на площині x0y з центром у початку координат.

Основні способи завдання функції багатьох змінних ті ж самі, що й для функції однієї змінної — табличний, аналітичний та графічний. Графічно можна зобразити лише функцію двох змінних. Як відомо з аналітичної геометрії, функція u = f(x,y) визначає деяку поверхню у тривимірному просторі. Ця поверхня і є графіком функції u = f(x,y).

Наприклад, графіком функції u = 1 – x2 – y2 є одинична півсфера з центром у початку координат:

Часто графік функції зручно будувати за допомогою так званих ліній рівня.

73

Визначення

Лінією рівня функції u = f(X) називають множину усіх тих точок, для яких u = C = const.

Наприклад, для функції u = 1 – x2 – y2 лініями рівня будуть концентричні окружності x2 + y2 = C2 радіусу C, 0 ≤ C ≤ 1, з центрами у початку координат.

4.1.2. ГРАНИЦЯ, НЕПЕРЕРВНІСТЬ, ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ФУНКЦІЇ

Визначення

Число A називають границею функції u = f(X) при x1 → a1, … , xn → an, якщо ця функція визначена у деякому околі точки M0(a1, … , an), крім, можливо самої точки M0 і ε > 0 δ(ε) > 0, що X таких, що

Істотна відмінність між границями функції однієї змінної і функції багатьох змінних полягає в тому, що незалежна змінна функції однієї змінної прямує до граничної точки a по прямій, а точка

74

M(x1, … , xn) функції багатьох змінних може прямувати до точки

M0(a1, … , an) по будь-якій лінії.

Визначення

Приростом незалежної змінної xk у точці M0(a1, … , an) називається різниця xk = xk – ak. Повним приростом функції у точці M0 називається u = f(M) – f(M0). Частинним приростом функції по змінній xk у точці M0 називається різниця між нарощеним значенням функції і початковим у припущенні, що лише ця змінна набула відмінного від нуля приросту.

Визначення

δ-околом точки M0(a1, … , an) називається n-вимірна „куля” — множина тих X, для яких |x1–a1| < δ, … , |xn–an| < δ.

Визначення

Функція u = f(X) називається неперервною у точці M0(a1, … , an), якщо

1) функція визначена в точці M0 та її околі,

2) lim f(M) = f( lim M) = f(M0).

M→M0 M→M0

75

Розглянемо функцію u = f(X) у D(f) Rn. Візьмемо довільну точку M(x1, … , xn) D(f), зафіксуємо змінну xk і надамо їй довільного приросту xk , залишаючи значення інших (n – 1) змінних сталими. Таким чином дістанемо нову точку M1(x1, ... , xk + xk , … , xn). Функція u = f(X) отримає приріст

uk = f(x1, ... , xk + xk , … , xn) – f(x1, ... , xk, … , xn).

Визначення

Частинною похідною першого порядку по xk функції u = f(X) у точці

M(x1, … , xn), називається

Для того, щоб знайти частинну похідну функції u = f(X) по xk, треба тимчасово дивитись на усі незалежні змінні (окрім xk) функції u як на сталі. Тоді u = f(X) = f(xk) стає функцією однієї змінної і можна, таким чином, застосовувати таблицю похідних і правила диференціювання функції однієї змінної.

76

Частинні похідні другого порядку визначаються природним чином як похідні першого порядку від похідних першого порядку. При

∂2u

цьому, наприклад, для функції двох змінних u = f(x,y) виникають ∂x2 ,

4.1.3. ПРИКЛАД

Задана функція u = x3y2 + 2y. Знайти частинні похідні по x і по y:

Визначення

Диференціалом функції u = f(x,y) називається

77

4.1.4. ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ

Нехай функція u = f(x,y) визначена в деякому околі точки M(x, y),

Визначення

Похідна u'l характеризує швидкість зміни функції u в напряму l. Має місце формула

u'l = ux' cos α + uy' cos β.

4.2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

4.2.1. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ

Нехай функція u = f(X) визначена в точці M0 та її околі.

78

Визначення

Функція u = f(X) має локальний максимум (мінімум) у точці M0, якщо всі значення функції з деякого δ-околу точки M0 менші (більші), ніж її значення у точці M0. Екстремум функції — її максимум або мінімум.

Теорема (необхідні умови екстремуму)

Якщо в деякій точці M0 функція u = f(X) має екстремум, то в цій точці

Точки, в яких виконуються необхідні умови екстремуму, називаються критичними точками функції u = f(X), а точки, в яких

— стаціонарними.

Розглянемо тепер функцію двох змінних u = f(x,y). Позначимо

функції достатні умови екстремуму.

79

Теорема (достатні умови екстремуму)

Нехай точка M0 — стаціонарна точка функції u = f(x, y). Якщо

то функція має максимум в цій точці, а якщо

то — мінімум.

4.2.2. ПРИКЛАД

Задана функція u = x3 + y3 – 9x y + 1. Знайти екстремуми функції.

існує мінімум — umin= –26.

80