Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

480.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

		31
Відповіді
1.розбіжний	6.	збіжний
2. збіжний	7.	збіжний
3. збіжний	8.	збіжний
4.розбіжний	9.	розбіжний
5. збіжний	10.розбіжний

3.2 Числові знакопочережні ряди

Запитання.

1.Які ряди називають знакозмінними та знакопочережними? Навести приклади

2.В чому полягає ознака Лєйбниця? Навести приклади збіжних та розбіжних знакопочережних рядів.

3.Який ряд називається абсолютно збіжним і який умовно збіжним? Навести приклади абсолютно збіжного і не абсолютно ( умовно) збіжного рядів.

Література [8], [9],[10],[11].

Розв`язання прикладів.

3.2.1 Ознака збіжності Лейбниця.

Приклади.

Користуючись ознакою Лейбниця, дослідити на збіжність знакопочережні ряди:

∞1

1.å(-1)n−1 × n

n=1

Розв`язання:

Так як члени	ряду за абсолютним значенням спадають і
загальний член	при n → 0 прямує до нуля:

а) 1 > 12 > 13 > 14 > 15 > ...

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) lim

= lim

= 0

n→∞

n→∞ n

то ряд збігається

∞

1,1 -1,01 +1,001 -1,0001 + ... = å(-1)n+1

× ç1 +

n 1

10n ø

Розв`язання:

Перша частина умови Лейбниця виконується:

а) 1,1 >1,01 > 1,001 >1,0001 > ...

Друга частина не виконується

б) lim

lim

ç1

÷ =1,

n→∞

n→∞è

10n ø

тому ряд розбігається.

Приклади для самостійної роботи.

Користуючись ознакою Лейбниця, дослідити на збіжність

наступні ряди:

∞

(-1)n

;

å(-1)n

−1

;

n=1

∞

ln n

(-1)n+1

;

å(-1)n

;

2n +1

n=1

∞

(-1)n−1

;

å(-1)n−1

100n +1

n=1

5 ö

æ 7

æ 9

æ 2n +1ö

- ç

+ ... + (-1)n−1 ç

+ ...

3n +

7 ø

è10 ø

è10

1ø

∞

sin 3

∞

(-1)n

;

å(-1)n

n2 +1

10.

n=1

å(-1)ntg 1

∞

n=1 n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			33
	Відповіді:
1.	Збіжний	2.	Збіжний	3.	Розбіжний
4.	Збіжний	5.	Збіжний	6.	Розбіжний
7.	Збіжний	8.	Збіжний	9.	Розбіжний

10.Збіжний

3.2.2 Абсолютна та умовна збіжність знакопочережного ряду

Приклади. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність наступні ряди:

1.1- 21! + 31! - 41! +...+ (-1)n−1 n1! +...

Розв¢язання.

Перевіряємо виконання умов ознаки Лейбниця:

а) 1 >

> ...

3! 4!

б) lim

= lim

= 0

n→∞

n→∞ n!

Обидві умови виконуються, тобто ряд збігається.

Розглянемо ряд, який складений з абсолютних величин членів

даного ряду:

+...+

+...

За ознакою Даламбера цей ряд збігається, так як

lim un+1 = lim

= lim

= 0 <1

n→∞ un

n→∞ (n +1)!

n→∞ n +1

Тому даний знакопочережний ряд збігається абсолютно.

2.1- 312 + 313 - 314 +...+ (-1)n−1 × 31n +...

Розв¢язання Перевіряємо виконання умов ознаки Лейбниця:

а) 1 > 312 > 313 > 314 > 315 > ...

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) lim	un	= lim	1		= 0



n→∞		n→∞ 3		n

Обидві умови ознаки Лейбниця виконуються, тобто ряд збіжний. Розглянемо ряд, який складений із абсолютних величин членів

даного ряду:
1 +			1			+	1		+			1	+ ... +			1		+ ....
						+
		3 2			3 3						3	4				3 n
		3 2			3 3						3	4				3 n
За інтегральною ознакою Коші маємо:
∞ dx								B		−	1			3			3			B	3	æ3			ö
											1									B
																			2					2
											3								2					2
ò				= lim				ò x				dx =			lim			x		=		lim ç	B		-1÷	= ¥	Ряд із
	3
	3
1		x				B→∞		1						2 B→∞						1	2 B→∞è				ø
1		x						1						2 B→∞						1	2 B→∞è

абсолютних величин членів ряду є розбіжним, тому даний знакопочережний ряд збігається умовно.

3. sin π

+ sin

2π

+ sin

3π

+...+ sin

nπ

+ ...

Розв¢язання:

nπ

Так як

lim

= lim

sin

не існує,

тобто одна із умов ознаки

n→∞

Лейбниця не виконується, то даний знакозмінний ряд розбігається.

Приклади для самостійної роботи.

З¢ясувати, які ряди збігаються абсолютно, які умовно, які

розбігаються:

∞

n 2n +1

∞

å(-1)

n=1

(3n +1)

∞

å(-1)n

ln n

n ×ln

n=1

n=2

5.3 - 3 × 5 + 3 × 5 × 7 + ... + (-1)n+1 3 × 5 ×... ×((2n + 1)) + ...

1 1× 4 1× 4 × 7 1× 4 ×... × 3n - 2

6.	-	2	+	2	× 7	-	2	× 7 × 12	+ ... + (- 1)n	2 × 7 × 12... × (5n - 3)	+ ...
					× 9			× 9 × 13		5 × 9 × 13 × ... × (4n + 1)
	5		5			5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7.	∞		n nn
	å(-1)			n!
	n=1			n!
	n=1
9.	∞
	å(-1)n ln n
	n=	2		n
	n=	2

8.	∞	æ		2	ön
	∞	æ	-	2	ön
	åç		-	3	÷
	n=1	è		3	ø
10.	n=1
10.	∞
	åsinnn
	n=1		2

æ n +1ön2 ç ÷ è n ø

Відповіді 1. Збіжний абсолютно; 2. Збіжний абсолютно; 3. Збіжний умовно; 4.

Збіжний абсолютно; 5. Збіжний абсолютно; 6. Розбіжний; 7. Розбіжний; 8. Розбіжний; 9. Збіжний умовно; 10. Збіжний абсолютно.

3.3Функціональні ряди. Запитання

1.Який ряд називається функціональним?

2.Яка точка називається точкою збіжності і яка точкою розбіжності

функціонального ряду? Навести приклади точок збіжності та точок розбіжності.

3.Що називається областю збіжності функціонального ряду?

4.Який ряд називається степеневим? Навести приклади степеневих рядів.

5.Теорема Абеля.

6.Що таке радіус збіжності та інтервал збіжності степеневого ряду? Навести приклади рядів з радіусом збіжності R=0, R=¥.

7.Сформулювати правило знаходження степеневого ряда.

8.Сформулювати задачу про розвинення функції f (x) в степеневий

ряд.

9.Який ряд називається рядом Тейлора і який рядом Маклорена?

10.Сформулювати достатню умову розвинення функції f (x) в

степеневий ряд.

11.Як визначаються коефіцієнти ряда Тейлора і ряда Маклорена?

12.Записати стандартні розвинення в ряд Маклорена елементарних

функцій ex ,sin x,cos x, (1+ x)m , ln(1+ x).

13. В яких задачах використовуються степеневі ряди?

Література: [12], [13],[14],[15].

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Розв¢язання прикладів.

1. Функціональні ряди.

Приклади. Знайти область збіжності наступних функціональних рядів.

∞

ålgn x;

Розв¢язання.

n=1

lgn

lgn+1 x

Так як п-ий член даного ряду un

, то un+1 =

. Згідно

n +1

з ознакою Даламбера:

lim

un+1

<1, то

n→∞

lim

lgn+1 x × n

= lim

lg x × n

lg x

× lim

lg x

<1,

тоді

1) ×lgn x

n→∞

(n +

n→∞

n→∞ n +

−1< lg x < 1, це означає, що

< x <10 .

Досліджуємо числові ряди, які отримаємо при підстановці в

даний функціональний ряд значень x =

та x=10.

∞

При

x =

маємо знакопочережний ряд å

(-1)

. Для нього

n=1

виконуються обидві умови ознаки Лейбниця:

а) 1>

1 >

> ... .

∞

б) lim 1

= 0,

тобто ряд å

(-1)

збіжний.

n→∞ n

n=1

∞

1 .

При

x=10

маємо

знакододатній

ряд

Цей

ряд є

n=1

гармонічним(він,

як

відомо,

розбігається).

Остаточно,

область

∞

lgn x

збіжності даного ряду å

; xÎ ê

;10

÷ .

n=1

ë10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

(x + 8)3n

Розв¢язання.

данному

n=1

un =

(x + 8)3n

(x + 8)3(n+1)

, un+1 =

. Тоді

(n +1)

lim

un+1

= lim

(x + 8)3n+3

= lim

(x + 8)3 ×n2

(n +1)2

(x + 8)3n

(n +1)2

n→∞

→∞

n→∞

x + 8

lim

x + 8

<1,

тоді

−1< x + 8 < 1, це

+1)2

n→∞

ряді

означає

−9 < x < 7 . Досліджуємо числові ряди, які отримаємо при x = - 9 та

x= 7:

∞

При x

= -

9, маємо знакопочережний ряд: å

(-1)

= å

(-1)

для якого виконується ознака Лейбниця:

n=1

а) 1> 1

> 1

> ... .

∞

б) lim

= 0,

тобто ряд å

збіжний. При x

= 7

маємо

n→∞ n

n=1

∞

знакододатній

ряд

який

еталонним

збіжним

рядом.

n=1 n

Остаточно область збіжності даного ряда: xÎ[- 9;-7].

Приклади для самостійної роботи.

Знайти область збіжності функціональних рядів.

∞

;

+ x

n=1 e

n=1 n

∞

2n−2

∞

ån=1

;

ån=1

;

1+ x2n−1

n(1+ x)n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

;

n=1 e

-1

∞

;

∞

åcos2nx

ålnn x;

n=1

10.

n=1

∞

å3nx ;

;

n=1

n=1 x

Відповіді:

[0;¥)

(- ¥;¥)

(-1; 1)

4. (- ¥;-2]

(0;¥)

(-¥;¥)

8. æ 1

;e÷

è e

9.(- ¥;0) 10. (- ¥;-1)U (1;¥)

3.3.1 Степеневі ряди

Приклади Знайти інтервал збіжності степеневих рядів:

∞

1. å

(-1)

n−1

n=1

Розв¢язання. Знаходимо п-ий та (п+1)–ий члени ряду:

(-1)n × xn

(-1)n+1 xn+1

un = 3n−1 ×

, un+1 =

;

3n ×

n +1

Використовуємо ознаку Даламбера:

n+1 ×3n−1 ×

ρ = lim

n+1

= lim

lim

n ×

n→∞

n→∞ 3n ×

n +1

3 n→∞

n +1

І визначаємо при яких значеннях x ця границя буде менше одиниці,

тобто розв¢язуємо нерівність	x	<1; - 3 < x < 3 . Таким чином, даний
	3

ряд збігається абсолютно в інтервалі (-3; 3).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Граничні точки x=±3 цього інтервала, для яких ρ =1 і ознака

Даламбера не дає відповіді про збіжність цього ряду, досліджуємо окремо.

∞

При

x = −3

отримуємо

числовий ряд

із

додатніми

членами

який є

розбіжним,

що випливає

порівнянням

його із

n=1

∞

розбіжним рядом å

n=1

∞

При

x = 3 отримаємо знакопочережний ряд å(-1)n

, який є

n=1

збіжним, так як для нього виконується ознака Лейбниця. Остаточно інтервал збіжності даного степеневого ряду : (-3;3].

∞

2. n = å(-1)n × 2n × x2n

n=1

Розв¢язання.

n-ий член ряду un = (-1)n × 2n × x2n

Використовуємо радикальну ознаку Коші:

γ = lim n

= lim n

2n × x2n

= 2x2

n→∞

Згідно ознаки Коші, ряд буде збіжним для тих значень x, для яких

γ < 1, тобто

2x2 <1;

; -

< x <

;

При x = ±

отримаємо ряд :

∞

= å(-1)n

å(-1)n ×2n ×ç ÷

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Так як загальний член цього ряду не прямує до нуля при n → ∞ , то ряд є розбіжним. Таким чином, інтервал збіжності даного ряду :

ç-

;

÷ .

Приклади для самостійної роботи.

Знайти інтервал збіжності заданих степеневих рядів:

å(- 4)n xn

å(-1)n−1

(x - 2)

∞

n=1

× n! × xn

n=1

(n!)

n=1

× xn

(-1)n−1

∞

n=1

(2n)!

n=1

(2n)!

n=1

(2n)!

n × (x + 4)n

(x -1)n

(x - 3)n

∞

(-1)n−1

(n +1)× 3

10.

n=1

∞

(-1)n−1

(n +1)

en−1

n=1

Відповіді:

(-1;1]

[1;3)

(- ¥;¥)

ö 2.

ç-

;

(- 4;4)

(- ¥;¥)

(- 7;1)

[0; 2]

(1;5]

10.

[-е;е]

3.3.2 Розвинення функцій в степеневі ряди.

Розвинення функцій в ряди Тейлора.

Приклад. Розкласти в ряд Тейлора за степенями (х-2) функцію f (x)= e5x .

Розв′язання. Обчислимо значення данної функції та її послідовних похідних при х=2:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201665.17 Кб23ВСТУП.docx
#
07.02.201638.35 Кб10Вступ22.docx
#
07.02.2016820.74 Кб31Выбор личного и группового снаряжения.doc
#
07.02.20161.42 Mб47Высокоскоростная обработка.pdf
#
07.02.2016645.63 Кб23Высшая математика, РГЗ №1.doc
#
07.02.2016480.33 Кб14Вышмат.pdf
#
07.02.20162.6 Mб16Гаджиев2.doc
#
23.11.20197.52 Mб5Гафрокартон стул.doc
#
07.02.2016152.95 Кб7ГДiК_КРзаоч2010.pdf
#
07.02.2016723.32 Кб6ГДiК_ЛР.pdf
#
07.02.2016717.64 Кб5ГДiК_ЛР.unlocked.pdf