Теория_Вероятностей_КР7
.pdf
67
Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.
На этом правиле основана приближенная оценка среднего квадратического отклонения. Из полученных данных наблюдения над случайной величиной выбирают максимальное и минимальное значения и их разность делят на 6. Полученное число является грубой оценкой среднего квадратического отклонения при условии, что распределение случайной величины является нормальным.
Пример 6.6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами а=0, σ =9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.
Решение. По формуле (6.20) для а=0, σ=9, ε=3 находим вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм. Имеем
P( X < 3)= 2Ф0 (3
9) ≈ 2Ф0 (0,33)= 0,2586 .
Вероятность того, что эта погрешность превышает 3 мм, равна
P( X > 3)= 1− P(X < 3)= 0,7414 .
Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм, по теореме умножения вероятностей равна произведению веро-
ятностей: [P(X )> 3]3 ≈ 0,4075.
Искомая вероятность равна |
1− [P( |
|
X |
|
)> 3]3 ≈ 0,5925. ► |
|
|
В заключение приведем теорему, которая будет использована для решения задач.
Алгебраическая сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых, и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых.
Пример 6.7. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a = 2 σ 2 = 4 . Найти плотность вероятности случайной величины Y g(x), если Y = 4X − 3. Вычислить P(Y − M (Y ) < 2,65σ Y ) и P{(Y < 5) (6 ≤ Y ≤ 10)}.
Решение. Случайная величина Y является также как и X нормально распределенной случайной величиной.
Чтобы найти плотность распределения случайной величины Y необходимо знать параметры закона распределения, но для этого достаточно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y.
M (Y ) = M (4X − 3) = M (4X ) − M (3) = 4M (X ) − 3 = 8 − 3 = 5 . Т.о. a = 5
68
D(Y ) = D(4X − 3) = D(4X ) + D(−4) = 16D(X ) = 16 4 = 64 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, σ Y |
2 = 64 и σ Y |
= 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Запишем |
|
плотность |
|
|
вероятности |
|
случайной |
величины |
Y |
|||||||||||||
g(x) = |
1 |
|
− |
(x−5)2 |
1 |
|
е− |
(x−5)2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
или g(x) = |
|
128 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
е 2 82 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Вычислим |
|
P( |
|
Y − M (Y ) |
|
< 2,65σ Y ) . |
По |
формуле (6.20) имеем |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
P( |
|
Y − M (Y ) |
|
< 2,65σ Y ) = 2Φ 0 (2,65σ Y ) = 2Φ 0 (2,65) = 2 0,496 = 0,992 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ Y |
P{(Y < 5) (6 ≤ Y ≤ 10)} |
необходимо вычис- |
|||||||||
|
|
Для вычисления вероятности |
||||||||||||||||||||||
лить вероятности P(Y < 5) и P(6 ≤ Y ≤ 10) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
P(Y < 5) = P(−∞ < Y < 5) = Φ0 ( |
5 − 5 |
) − Φ0 (−∞) = Φ0 (0) + Φ0 (+∞) = 0,5. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(6 ≤ Y ≤ 10) = Φ0 ( |
10 − 5 |
) |
− Φ0 ( |
6 − 5 |
) = Φ0 |
(5) − Φ0 (1) = Φ0 (0,625) − Φ0 (0,125) = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
8 |
|
|
||||
|
|
0,2324 − 0,0478 = 0,2046. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Поскольку |
|
события |
(Y < 5) |
|
|
и |
(6 ≤ Y ≤ 10) |
несовместные, |
то |
|||||||||||||
P{(Y < 5) (6 ≤ Y ≤ 10)} = P(Y < 5) + P(6 ≤ Y ≤ 10) = 0,5+ 0,2046 = 0,7046. ► |
|
|||||||||||||||||||||||
7. Предельные теоремы теории вероятностей
Приведем ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей. Они составляют основу математической статистики.
Предельные теоремы условно делятся на две группы. Первая группа называется законом больших чисел. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.
Вторая группа теорем устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
Неравенство Чебышева
Если случайная величина Х, имеет математическое ожидание, то для лю-
бого положительного ε справедливо неравенство Чебышева |
|
||||||
P( |
|
X − M (X ) |
|
< ε )> 1− |
D(X ) |
. |
(7.1) |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
69
Пример 7.1. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
Решение. Поскольку a = 50 , то условие 49,5 < X < 50,5 , в котором случайная величина X обозначает возможную длину детали, приводится в виду
| X − a |< 0,5.
Применяя неравенство (6.23) получаем P(X − a < 0,5)> 1 − 0,1 = 0,6 ► 0,52
Неравенство Чебышева зачастую дает грубую, а иногда тривиальную, не
представляющую интереса оценку. Пусть, например, ε = 
DX /2. Тогда неравенство Чебышева принимает вид
P(X − MX < ε ) > 1– 4D(X ) = −3.
D(X )
Получена заведомо известная оценка вероятности P( X − MX ≤ ε ), так как
вероятность любого события всегда неотрицательна. Тем не менее неравенство Чебышева имеет большое теоретическое значение. С его помощью доказываются теоремы и делаются теоретические выводы.
Теорема Чебышева.
Для независимых случайных величин X1, X 2 ,.., X n ,..., дисперсия каждой из
которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа ε справедливо неравенство
lim P n → ∞
n
∑ X i
i=1
n
n
∑ М(X i)
− i=1
n
< ε = 1. (7.2)
|
n |
|
n |
|
|
|
∑ X i |
|
∑ М(X i) |
|
|
Не следует считать, что предел величины |
i=1 |
при п → ∞ равен |
i=1 |
. |
|
n |
n |
||||
|
|
|
Равенство (7.2) означает, что вероятность отклонения по абсолютной величине
|
n |
|
n |
|
|
|
∑ X i |
|
∑ М(X i) |
|
|
|
i=1 |
от |
i=1 |
|
меньше чем на ε при неограниченном возрастании п стремится |
|
n |
|
n |
||
|
|
|
|
||
к 1, т.е. становится практически достоверным событием. |
|||||
Следствие. |
Если случайные величины X1, X 2 ,.., X n ,...независимы и одинаково |
||||
распределены, M (Xi ) = a , D(X i ) = σ 2 , то для любого ε > 0
70
|
|
|
|
|
n |
X i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
P |
|
|
|
i∑=1 |
− a |
|
< ε |
= 1. |
(7.3) |
||
n |
||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из следствия (7.3) теоремы Чебышева следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.
Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-нибудь параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра. Следствием из теоремы Чебышева является
Теорема Бернулли.
Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p*), то для произвольногоε > 0 справедливо неравенство
lim |
|
|
m |
− p |
|
|
= 1. |
(7.4) |
|
|
|||||||
P |
|
n |
|
< ε |
||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
где m-число появлений события А в n испытаниях.
Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытания. Из теоремы видно, что отношение m/n обладает свойством устойчивости при неограниченном росте испытаний.
Центральная предельная теорема
Вспоминая приведенные выше теоремы, можно сделать вывод, что при выполнении довольно «нежестких» требований некоторые случайные величины с увеличением числа испытаний приближаются к определенным предельным значениям, не зависящим от вида распределения самих величин. Каждая из этих теорем является одной из форм закона больших чисел. В рассмотренных теоремах, а значит, и в законе больших чисел ничего не говорится о виде распределения рассматриваемой случайной величины.
Другая группа теорем теории вероятностей, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой — нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой. Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных ве-
*) Так как вероятность события А от испытания к испытанию не изменяется (она остается равной p), то это с вероятностной точки зрения означает, что испытания проводятся в одинаковых условиях.
71
личин. Поскольку, эти условия на практике выполняются очень часто, нормальный закон является самым распространенным среди законов распределения, наиболее часто используемым при объяснении случайных явлений природы.
Приведем наиболее простой вариант центральной предельной теоремы. Рассмотрим последовательность независимых и одинаково распределенных случай-
ных величин X1, X2 ,..., Xn ,..., у которых существуют математическое ожидание m и отличная от нуля дисперсия σ2 . Рассмотрим последовательность сумм этих
n |
|
|
|
|
|
|
|
случайных величин Sn = ∑ Xi . Математическое ожидание M (Sn ) = nm , диспер- |
|||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
сия D (Sn ) = nσ2 . Справедлива следующая |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Распределение случайной величины |
Sn − nm |
— Fn (x) стремится к |
|||||
|
|
||||||
|
|
nσ2 |
|
|
|
||
стандартному нормальному распределению F (x) = |
1 |
|
x |
|
− t2 |
||
|
|
−∞∫ |
e |
2 dt при n → ∞ , рав- |
|||
2π |
|||||||
|
|
|
|
||||
номерно по x .
Эта теорема имеет большое практическое применение. На опыте было установлено, что уже при числе слагаемых большем 10, можно использовать нормальный закон распределения.
При решении многих практических задач, связанных со случайной величиной
X = Snn , являющейся средним арифметическим наблюдаемых значений случай-
ной величины X, применяется эта теорема. То есть, при достаточно больших n функция распределения случайной величины X —
Fn (x) ≈ |
1 |
|
|
2π |
σ2 |
||
|
|||
|
n |
||
|
|
x |
|
− |
(t − m)2 |
|
|
|
∫ exp |
2σ |
2 |
dt |
. |
||
−∞ |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
72
Контрольная работа № 7
У к а з а н и е : номер варианта - последняя цифра учебного шифра студента. Данные для выполнения заданий взять из таблицы.
Задача № 1
Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать события :
ωо = { выпадение "герба"},
ω р = { выпадение " решки"}.
1.Построить пространство элементарных событий опыта ( Ω ).
2.Описать событие В (см. таблицу).
3.Вычислить вероятность события В.
Задача № 2
В ящике имеется N деталей, среди которых M стандартных. Покупателю отправляют 2 детали. Найти вероятность того, что:
1)все нестандартные детали остались в ящике;
2)среди отправленных деталей одна деталь стандартная, а другая нестандартная;
3)хотя бы одна из двух отправленных деталей окажется стандартной.
Задача № 3
Имеются три одинаковые урны. Каждая урна содержит nj белых и mj черных шаров, где j = 1,2,3 - номер урны.
1.Найти вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым.
2.Из наудачу выбранной урны вынули белый шар. Какова вероятность того, что шар вынут из а) первой, б) второй, в) третьей урны?
Задача №4
Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна p.
1. Определить вероятность того, что:
а) объект будет поражен k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз; б) число попаданий в объект будет не менее трех; в) число попаданий в объект не более трех; г) объект будет поражен хотя бы один раз.
2.Получить ряд распределения и построить многоугольник распределения случайной величины X - числа попаданий в объект.
3.Получить функцию распределения случайной величины X и построить ее график.
73
4.Определить вероятнейшее число попаданий в объект по графику и по формуле.
5.Определить вероятность того, что число попаданий в объект будет заключено в пределах от 2 до 5.
6.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в объект.
Задача № 5
Случайная величина X задана функцией распределения:
|
0, x ≤ a |
|
||
|
(x − a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
F(x) = |
|
|
, a |
< x ≤ 2a |
a2 |
|
|||
|
|
|
. |
|
|
1, x > 2a |
|||
|
|
|
|
|
1.Найти M ( X ) , D(X ) и σ ( X ) .
2.Определите вероятность того, что X − MX < a2
3.С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что X − MX < a2 .
Задача № 6
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 мм и 2 мм. Найти вероятность того, что:
1)в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (b,c);
2)величина X примет значение меньше, чем c.
Задача № 7
Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a = c, σ 2 = b . Найти плотность вероятности g(x) случайной величины Y, если Y = b X − c . Случайные величины X и Y независимы.
Задача № 8
Магазин получил c 100 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна (1− p)
что магазин получит более двух разбитых бутылок.
Задача № 9
В среднем успешно сдают экзамены 10 p% абитуриентов. В приемную комиссию поступило d заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 0,7d поступающих успешно сдадут экзамен?
|
74 |
|
|
|
|
Данные для контрольной работы №7 |
|
|
|
|
|
Число деталей |
|
|
|
|
|
||
Номер варианта |
Событие В |
N |
M |
|
0 |
"Герб" выпал 1 раз |
10 |
5 |
|
1 |
"Герб" выпал 2 раза |
12 |
7 |
|
2 |
"Герб" выпал 3 раза |
14 |
9 |
|
3 |
"Герб" выпал не менее одного раза |
16 |
11 |
|
4 |
"Герб" выпал не менее двух раз |
18 |
13 |
|
5 |
"Герб" выпал не более двух раз |
20 |
15 |
|
6 |
"Герб" не выпал ни разу |
22 |
17 |
|
7 |
"Решка" выпала не менее двух раз |
24 |
19 |
|
8 |
"Решка" выпала не менее одного раза |
26 |
21 |
|
9 |
"Решка" выпала не более двух раз |
28 |
23 |
|
|
Первая урна |
Вторая урна |
Третья урна |
|
|
|
|
|
|||
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
варианта |
n1 |
m1 |
n2 |
m2 |
n3 |
m3 |
p |
a |
b |
c |
d |
0 |
2 |
21 |
2 |
19 |
1 |
12 |
0,95 |
1 |
6 |
22 |
800 |
1 |
5 |
19 |
4 |
17 |
2 |
11 |
0,9 |
2 |
4 |
16 |
700 |
2 |
8 |
17 |
6 |
15 |
3 |
10 |
0,85 |
3 |
3 |
13 |
900 |
3 |
11 |
15 |
8 |
13 |
4 |
9 |
0,8 |
4 |
5 |
11 |
750 |
4 |
14 |
13 |
10 |
11 |
5 |
8 |
0,75 |
5 |
8 |
15 |
850 |
5 |
17 |
11 |
12 |
9 |
6 |
7 |
0,94 |
6 |
3 |
20 |
950 |
6 |
20 |
9 |
14 |
7 |
7 |
6 |
0,89 |
7 |
7 |
12 |
1000 |
7 |
23 |
7 |
16 |
5 |
8 |
5 |
0,84 |
8 |
3 |
10 |
650 |
8 |
26 |
5 |
18 |
3 |
9 |
4 |
0,79 |
9 |
6 |
12 |
1050 |
9 |
29 |
3 |
20 |
1 |
10 |
3 |
0,74 |
10 |
8 |
14 |
1100 |
75
Приложение 1
Значение функции ϕ (x) = |
1 |
e− |
x2 |
2 |
|||
|
2π |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Сотые доли х |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
9 |
|
0,0 |
|
0,3989 |
|
3989 |
|
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
|
3982 |
|
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
|
3970 |
|
3965 |
|
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
|
3939 |
|
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
|
3910 |
|
3902 |
|
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
|
3857 |
|
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
|
3814 |
|
3802 |
|
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
|
3739 |
|
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
|
3683 |
|
3668 |
|
3653 |
3637 |
3721 |
3605 |
|
3588 |
|
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
|
3521 |
|
3503 |
|
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
|
3411 |
|
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
|
3332 |
|
3312 |
|
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
|
3209 |
|
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
|
3123 |
|
3101 |
|
3079 |
3056 |
3034 |
ЗОН |
|
2989 |
|
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
|
2897 |
|
2874 |
|
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
|
2756 |
|
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
|
2661 |
|
2637 |
|
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
|
2516 |
|
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
|
2420 |
|
2396 |
|
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
|
2275 |
|
2251 |
2227 |
2203 |
1.1 |
|
2179 |
|
2155 |
|
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
|
2036 |
|
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
|
1942 |
|
1919 |
|
1895 |
1872 |
1849 |
1827 |
|
1804 |
|
1781 |
1759 |
1736 |
1,3 |
|
1714 |
|
1692 |
|
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
|
1582 |
|
1561 |
1540 |
1518 |
1,4 |
|
1497 |
|
1476 |
|
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
|
1374 |
|
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
|
1295 |
|
1276 |
|
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
|
1181 |
|
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
|
1109 |
|
1092 |
|
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
|
1006 |
|
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
|
0941 |
|
0925 |
|
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
|
0848 |
|
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
|
0790 |
|
0775 |
|
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
|
0707 |
|
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
|
0656 |
|
0644 |
|
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
|
0584 |
|
0573 |
0562 |
0551 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
Десятые |
доли х |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
2, |
|
0540 |
|
0440 |
|
0355 |
0283 |
0224 |
0175 |
|
0136 |
|
0104 |
0079 |
0060 |
з, |
|
0044 |
|
0033 |
|
0024 |
0017 |
0012 |
0009 |
|
0006 |
|
0004 |
0030 |
0020 |
4, |
|
0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Приложение 2 Функция Лапласа (стандартизированное нормальное распределение)
|
|
|
1 |
|
u |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Φ 0 |
(u) = |
|
∫ e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
|
0 |
|
0,01 |
|
|
0,02 |
0,03 |
|
0,04 |
|
|
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|||
0 |
|
|
0 |
|
0,004 |
|
|
0,008 |
0,012 |
|
0,016 |
|
0,0199 |
0,0239 |
0,0279 |
0,0319 |
0 |
||||
0,1 |
|
0,0398 |
|
0,0438 |
|
0,0478 |
0,0517 |
|
0,0557 |
|
0,0596 |
0,0636 |
0,0675 |
0,0714 |
0,0398 |
||||||
0,2 |
|
0,0793 |
|
0,0832 |
|
0,0871 |
0,091 |
|
0,0948 |
|
0,0987 |
0,1026 |
0,1064 |
0,1103 |
0,0793 |
||||||
0,3 |
|
0,1179 |
|
0,1217 |
|
0,1255 |
0,1293 |
|
0,1331 |
|
0,1368 |
0,1406 |
0,1443 |
0,148 |
0,1179 |
||||||
0,4 |
|
0,1554 |
|
0,1591 |
|
0,1628 |
0,1664 |
|
0,17 |
|
0,1736 |
0,1772 |
0,1808 |
0,1844 |
0,1554 |
||||||
0,5 |
|
0,1915 |
|
0,195 |
|
0,1985 |
0,2019 |
|
0,2054 |
|
0,2088 |
0,2123 |
0,2157 |
0,219 |
0,1915 |
||||||
0,6 |
|
0,2257 |
|
0,2291 |
|
0,2324 |
0,2357 |
|
0,2389 |
|
0,2422 |
0,2454 |
0,2486 |
0,2517 |
0,2257 |
||||||
0,7 |
|
0,258 |
|
0,2611 |
|
0,2642 |
0,2673 |
|
0,2704 |
|
0,2734 |
0,2764 |
0,2794 |
0,2823 |
0,258 |
||||||
0,8 |
|
0,2881 |
|
0,291 |
|
0,2939 |
0,2967 |
|
0,2995 |
|
0,3023 |
0,3051 |
0,3078 |
0,3106 |
0,2881 |
||||||
0,9 |
|
0,3159 |
|
0,3186 |
|
0,3212 |
0,3238 |
|
0,3264 |
|
0,3289 |
0,3315 |
0,334 |
0,3365 |
0,3159 |
||||||
1 |
|
0,3413 |
|
0,3438 |
|
0,3461 |
0,3485 |
|
0,3508 |
|
0,3531 |
0,3554 |
0,3577 |
0,3599 |
0,3413 |
||||||
1,1 |
|
0,3643 |
|
0,3665 |
|
0,3686 |
0,3708 |
|
0,3729 |
|
0,3749 |
0,377 |
0,379 |
0,381 |
0,3643 |
||||||
1,2 |
|
0,3849 |
|
0,3869 |
|
0,3888 |
0,3907 |
|
0,3925 |
|
0,3944 |
0,3962 |
0,398 |
0,3997 |
0,3849 |
||||||
1,3 |
|
0,4032 |
|
0,4049 |
|
0,4066 |
0,4082 |
|
0,4099 |
|
0,4115 |
0,4131 |
0,4147 |
0,4162 |
0,4032 |
||||||
1,4 |
|
0,4192 |
|
0,4207 |
|
0,4222 |
0,4236 |
|
0,4251 |
|
0,4265 |
0,4279 |
0,4292 |
0,4306 |
0,4192 |
||||||
1,5 |
|
0,4332 |
|
0,4345 |
|
0,4357 |
0,437 |
|
0,4382 |
|
0,4394 |
0,4406 |
0,4418 |
0,4429 |
0,4332 |
||||||
1,6 |
|
0,4452 |
|
0,4463 |
|
0,4474 |
0,4484 |
|
0,4495 |
|
0,4505 |
0,4515 |
0,4525 |
0,4535 |
0,4452 |
||||||
1,7 |
|
0,4554 |
|
0,4564 |
|
0,4573 |
0,4582 |
|
0,4591 |
|
0,4599 |
0,4608 |
0,4616 |
0,4625 |
0,4554 |
||||||
1,8 |
|
0,4641 |
|
0,4649 |
|
0,4656 |
0,4664 |
|
0,4671 |
|
0,4678 |
0,4686 |
0,4693 |
0,4699 |
0,4641 |
||||||
1,9 |
|
0,4713 |
|
0,4719 |
|
0,4726 |
0,4732 |
|
0,4738 |
|
0,4744 |
0,475 |
0,4756 |
0,4761 |
0,4713 |
||||||
2 |
|
0,4772 |
|
0,4778 |
|
0,4783 |
0,4788 |
|
0,4793 |
|
0,4798 |
0,4803 |
0,4808 |
0,4812 |
0,4772 |
||||||
2,1 |
|
0,4821 |
|
0,4826 |
|
|
0,483 |
0,4834 |
|
0,4838 |
|
0,4842 |
0,4846 |
0,485 |
0,4854 |
0,4821 |
|||||
2,2 |
|
0,4861 |
|
0,4864 |
|
0,4868 |
0,4871 |
|
0,4875 |
|
0,4878 |
0,4881 |
0,4884 |
0,4887 |
0,4861 |
||||||
2,3 |
|
0,4893 |
|
0,4896 |
|
0,4898 |
0,4901 |
|
0,4904 |
|
0,4906 |
0,4909 |
0,4911 |
0,4913 |
0,4893 |
||||||
2,4 |
|
0,4918 |
|
0,492 |
|
0,4922 |
0,4925 |
|
0,4927 |
|
0,4929 |
0,4931 |
0,4932 |
0,4934 |
0,4918 |
||||||
2,5 |
|
0,4938 |
|
0,494 |
|
0,4941 |
0,4943 |
|
0,4945 |
|
0,4946 |
0,4948 |
0,4949 |
0,4951 |
0,4938 |
||||||
2,6 |
|
0,4953 |
|
0,4955 |
|
0,4956 |
0,4957 |
|
0,4959 |
|
|
0,496 |
0,4961 |
0,4962 |
0,4963 |
0,4953 |
|||||
2,7 |
|
0,4965 |
|
0,4966 |
|
0,4967 |
0,4968 |
|
0,4969 |
|
|
0,497 |
0,4971 |
0,4972 |
0,4973 |
0,4965 |
|||||
2,8 |
|
0,4974 |
|
0,4975 |
|
0,4976 |
0,4977 |
|
0,4977 |
|
0,4978 |
0,4979 |
0,4979 |
0,498 |
0,4974 |
||||||
2,9 |
|
0,4981 |
|
0,4982 |
|
0,4982 |
0,4983 |
|
0,4984 |
|
0,4984 |
0,4985 |
0,4985 |
0,4986 |
0,4981 |
||||||
3 |
|
0,4987 |
|
0,4987 |
|
0,4987 |
0,4988 |
|
0,4988 |
|
0,4989 |
0,4989 |
0,4989 |
0,499 |
0,4987 |
||||||
3,1 0,4990 |
3,5 0,4998 |
3,6 0,4998 |
3,7 0,4999 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3,8 0,4999 |
3,9 0,4999 |
4,0 0,4999 |
|
4,5 0,4999 |
5,0 0,4999 |
|
|
|
|||||||||||||