Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Karmanov_Trojanov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Глава 5. Химический потенциал ферми-газа
	(решение нелинейных уравнений)
Рассчитаем зависимость химического потенциала металлов от
температуры в рамках модели идеального ферми-газа.
			Распределение Ферми-Дирака
Согласно квантовой статистической механике [16], функция распре-
деления по состояниям для частиц с полуцелым спином (распреде-
ление средних чисел заполнения)				имеет вид:
k := 0.8617 10	− 4		− 1 ,	(	µ,ε,T	)	:=		1		.
k := 0.8617 10		eV K		f	µ,ε,T		:=	ε − µ
							exp	ε − µ			+ 1
							exp		k T		+ 1
									k T
Здесь T– абсолютная температура (K), ε – энергия (eV),										µ –хими-
ческий потенциал (eV). Определим функцию распределения по энер-
гии с учетом плотности состояний (с точностью до константы)
			g(µ,ε,T) := ε f(µ,ε,T) .
Зависимость функции распределения и средних чисел заполнения
от энергии для нескольких значений температуры показана на рис. 1.
ε := 0,0.01 .. 10			T1 := 100		T2 := 5000				µ := 5
f(µ,ε,T1)	2
f(µ,ε,T1)
g(µ,ε,T1)
f(µ,ε,T2)	1
	1
g(µ,ε,T2)
	0 0		2	4			6		8		10
					ε
Рис. 1.	Функция распределения и числа заполнения

Функция распределения удовлетворяет условию нормировки

		3		⌠	∞		ε
2 mc2			V				ε		dε = No

	2	3					ε − µ
π	2	3					ε − µ
		hc				exp		+ 1
		hc				exp	k T	+ 1
							k T
				⌡0

Здесь No– число ферми-частиц (например, электронов) в объеме V. Например, для серебра при V = 1 cm3:

ρ := 10.45 g cm− 3	A := 107.868	Na := 6.022 1023 mol− 1
No := ρ Na A− 1	No = 5.834 × 1022 cm− 3

Температурная зависимость химпотенциала ферми-газа

Если предполагать, что число частиц в объеме V постоянно, то условие нормировки можно рассматривать как уравнение для определения зависимости химического потенциала от температуры. При определении бесконечного верхнего предела интегрирования можно воспользоваться значением химпотенциала при нулевой температуре (энергией Ферми, см.[16]). Так для серебра энергия Ферми равна

hc := 1.9732858 10− 5eV cm			mc2 := 0.511 106	eV
Ef :=	hc2	3 (3 π2 No)2	Ef = 5.485	eV

	2 mc2

Анализируя рис. 1, можно утверждать, что при низких температурах функция распределения по энергии становится пренебрежимо малой при энергиях, слегка превышающих энергию Ферми, а при высоких температурах верхний предел интегрирования следует увеличивать в несколько раз. Поэтому выберем в качестве пробного варианта следующую зависимость Emax(T) от температуры:

Emax(T) := Ef 2 + 10000T .

Тогда для серебра условие нормировки можно переписать в виде

		3						Emax(T) – переменная
Co :=	2 mc2				Co = 0.117			верхняя граница
	π2 hc3 No							интегрирования.
		F(µ,T) := 1			⌠Emax(T)
		F(µ,T) := 1			− Co		g(µ,ε,T)dε
					⌡0
Чтобы воспользоваться встроенной функцией root(f,x) параметри-
чески (для разных температур), переопределяем с ее помощью функ-
цию пользователя и находим зависимость µ(T). В качестве начально-
го значения при поиске корня задаем найденное на предыдущем
шаге значение химпотенциала.
			µT(µ,T) := root(F(µ,T),µ)					µi := µT(µi−1,Ti)
µ0 := Ef		i := 1 .. 100			Ti := 200 + i 1100			µi := µT(µi−1,Ti)
			1	π k T		2	µt(T) :=	k T	3	9
µf (T) := Ef 1 −							µt(T) :=	−1.5 k T ln		2 π
			12		Ef			Ef		2 π
(kT << Ef)								(kT >> Ef)
		8
		6
µi		4
Ef		2
Ef
0		0
0
µf(Ti)		2
µt(Ti)		4
		6
		8
		10 0			2	4	6	8	10
							(k T)i
	Рис. 2. Зависимость химпотенциала (eV) от температуры

На рис. 2 наряду с рассчитанной зависимостью µ(T) представлены

асимптотические кривые (см.[16],с. 527), соответствующие прибли-

жениям

(kT<<Ef) и

(kT<<Ef). Интересно сопоставить также темпе-

ратуры,

при которых значения химпотенциала меняют знак.

Tsign := 0.98

Tsign = 6.238 × 104

Tcalc = 6.300 104

Средняя энергия

Определим зависимость средней энергии от температуры:

⌠Emax(T)

E(µ,T) := Co

ε g(µ,ε,T)dε,

:= E

µi,T

⌡

(

При низких температурах (kT<<Ef) имеет место равенство

Et(T) :=

π k T

1 +

а квазиклассический предел при высоких температурах (kT >> Ef)

π hc

Eqcl(T) :=

1.5 k T 1 −

mc2 k T

ETi

Et(Ti)

Eqcl(Ti)

10 0

(k T)i

Рис. 3. Зависимость средней энергии от температуры

	Теплоемкость ферми-газа
Теплоемкость как производная от средней энергии по температуре.
	C(T) = d							E(T)						при V = const
						dT
Для оценки производной воспользуемся простейшими конечно-
разностными соотношениями.									Пусть
CeVJ := 1.6 10− 19 6.022 1023														ET0 :=						0.6 Ef			J		T0 :=			0
Cf i := CeVJ (ETi − ETi−1) (Ti																− Ti−1)− 1							J
																						mol K
При низких температурах (kT<< Ef) имеет место равенство
	Ct(T) :=						CeVJ π2 k2					T						J
										2 Ef							mol K
Электронная теплоемкость серебра при kT<< Ef (см.[13], с. 266)
γ := 0.645 10− 3		J mol− 1 K− 2															Cexp(T) :=						γT
Квазиклассический предел для ферми-системы при (kT >> Ef)
				No					πhc					3								Clim := 1.5 k CeVJ
Cqcl(T) :=		−		No					πhc							CeVJ						Clim := 1.5 k CeVJ
Cqcl(T) :=	1.5 k 1	−			8											CeVJ
					8			mc2 k T														Clim = 12.454
	20
Cfi	15
Cexp(Ti)	15
Ct(Ti)	10
Cqcl(Ti)
Clim	5
	0			.		4		.		4		.			4			.			4	.		5		.		5
	0		2	.	10	4		.		4	6	.	10		4		8	.	10		4	.		5	1.2	.	10	5
	0		2		10			4 10			6		10				8		10			1 10			1.2		10
	Рис. 4.													Ti
	Рис. 4.	Зависимость теплоемкости от температуры
										54

Упражнения

1.На основе вычислительного эксперимента проведите апостериорную оценку погрешности расчета значений химпотенциала. Оцените влияние верхнего предела интегрирования Emax и параметра TOL на точность расчета.

2.Проанализируйте зависимость производной функции f(µ,ε,T) по энергии в окрестности ε = µ при kT<< Ef и получите использо-

ванные выше разложения для химпотенциала, средней энергии и теп лоемкости ферми-газа от температуры.

3. Рассчитайте зависимость от температуры химпотенциала, средней энергии и теплоемкости для двухмерного идеального ферми-

газа (см. [16], с. 554).

Указание. Уравнение для определения химпотенциала можно привести к виду

	=	1	⌠∞	(		)		,	Ef =	hc2	3		2 .
1				(	µ,ε,T	)	dε	,			2 π	No	2 .
1		Ef		f	µ,ε,T		dε			2 mc2	2 π	No
		Ef	⌡							2 mc2
			0

Средняя энергия и теплоемкость в расчете на одну частицу определяются следующими соотношениями:

	1	⌠	∞
EN(T) =	1		ε f(µ,ε,T)dε,	CN(T) =	d	EN(T) .
	Ef	⌡		dT
		0

Результаты Вашего расчета можно сравнить с точными решениями.

								Ef
µ(T) = Ef + k T ln 1		− exp					−
								k T
EN(T) = Ef		π		2		k T			2
	1 +
			3
2					Ef
CN(T) =	π2		k T
	3		Ef

Последние два соотношения представляют собой разложения, справедливые при низких температурах, т.е. при kT<< Ef .

4. Рассчитайте зависимость от температуры химпотенциала, средней энергии и теплоемкости для трехмерного ультрарелятивистского фермигаза с заданной связью энергии и импульса ε(p) = c p.

Указание. Условие нормировки функции распределения имеет вид

		⌠	∞
			2
2 V					4 π p			dp = No .
2 V					4 π p
(2 π hс)	3			ε(p) −		µ
	3			ε(p) −		µ	+ 1
				exp
				exp
				θ
		⌡0

Здесь	θ - абсолютная температура, измеряемая в MeV,
	µ - химический потенциал, включающий энергию покоя.
	3		2	No	граничный импульс (MeV)
	pf = hc		2	No	граничный импульс (MeV)
	pf = hc	3 π		V	для нулевой температуры.
Пусть	No = 2 1030	cm− 3 ,			V = 1cm3 ,	ε(p) = p ,	Ef = pf .

Результаты расчета химпотенциала можно сравнить с известными разложениями (см. [16], с. 557).

		1	π θ	2
µt(θ) = Ef	1 −					(при θ < Ef ),
		3	Ef
µcl(θ) = −T			θ			(при θ < Ef ).
	ln(6)		+ 3 ln
					Ef

5. "Белые карлики" –"старые" звезды, состояние которых близко к термодинамическому равновесию. Плотность релятивистского газа

электронов в них порядка No ≈ 2 1030 cm− 3, а температура T ≈107 K.

Рассчитайте зависимость от температуры химпотенциала, средней энергии и теплоемкости для трехмерного релятивистского фермигаза с заданной зависимостью энергии от импульса.

ε(p) = (p c)2 + mc22

6.Независимо от типа статистики (см.[16]) для идеального газа выполняется соотношение PV=2 E/3 в нерелятивистском и PV= E/3 в ультрарелятивистском случаях, соответственно. Для характерных параметров электронного газа звезды типа белого карлика, (упр. 5)

найдите связь давления, объема и внутренней энергии, если Ef ≈ mc2. Как этот результат зависит от плотности газа и температуры?

Глава 6. Химический потенциал бозе-газа

(решение нелинейных уравнений)

Рассчитаем зависимость химического потенциала, внутренней энергии и теплоемкости бозе-газа от температуры.

Распределение Бозе-Эйнштейна

Согласно квантовой статистической механике [16,17], функция распределения по состояниям для частиц с целым спином (распределение средних чисел заполнения) имеет вид

− 4

− 1

(

)

k := 0.8617 10

eV K

µ,ε,T

ε − µ

exp

− 1

k T

Здесь T– абсолютная температура (K), ε –энергия (eV), µ – химический потенциал (eV). Определим функцию распределения по энергии с учетом плотности состояний (с точностью до константы)

g(µ,ε,T) := ε f(µ,ε,T) .

Зависимость функции распределения и средних чисел заполнения от энергии для характерных параметров бозе-системы (например, жидкого He4 выше точки вырождения) показана на рис. 1. Отметим, что химпотенциал бозе-системы отрицателен и очень мал по абсолютной величине [16–17].

ε := 0,10− 5 .. 2.5 10− 3eV				T := 7	K	µ := −0.0005		eV
1
0.75
f(µ,ε,T)
g(µ,ε,T) 100 0.5
0.25
0	0	.	4	0.001	0.0015		0.002
		.	4
		5 10
					ε
Рис. 1.	Функция распределения и числа заполнения

Конденсация бозе-газа

Как известно, (см., например, [16–17]) при очень низких температурах в бозе-системе возникает своеобразное "двухфазное" состояние. Часть частиц находится на низшем энергетическом уровне, образуя бозе-конденсат. В тепловом движении системы участвуют лишь частицы с более высокой энергией. При этом химический потенциал системы тождественно равен нулю. Система находится в вырожденном состоянии. Оценим температуру вырождения бозе-газа.

Функция распределения удовлетворяет условию нормировки

		3		⌠	∞		ε
2 mc2			V				ε		dε = No

	2		3				ε − µ
2 π	2		3				ε − µ
		hc				exp		− 1
		hc				exp	k T	− 1
							k T
				⌡0

Здесь No – число частиц бозе-газа с нулевым спином в объеме V. Например, для He4 в жидком парасостоянии (хотя жидкий гелий и не газ, и его поведение лишь качественно можно описывать на

основе модели бозе-газа)	при V = 1 см3
ρ := 0.12 g cm− 3	A := 4.0	Na := 6.022 1023 mol− 1
No := ρ Na A− 1	No = 1.807 × 1022 cm− 3
hc := 1.9732858 10− 5eV cm		mc2 := 4 931.57 106 eV

Для определения температуры вырождения сделаем замену переменной ε в интеграле, определим функцию F32(α) и, собирая константы, перепишем условие нормировки при µ = 0 в виде

(k T)3 Co F32(0) = 1

				3		2	⌠	∞
Co :=	2 π mc2				F32(α) :=	2			x
										dx
	4 π	2	3	No		π			exp(x + α) − 1	dx
	4 π		hc	No			⌡
							0

Вычисляя интеграл F32(0) = 2.612, находим температуру вырождения:

To :=	1	1	To = 2.766	K
		k
3	(Co 2.612)2		k To = 2.383	× 10− 4 eV

Химический потенциал невырожденного бозе-газа
С учетом принятых выше обозначений уравнение для определения
химпотенциала невырожденного бозе-газа имеет вид
		(k T)	3			−µ	= 1 .
		(k T)		Co F32			= 1 .
					k T
Отсюда, переопределяя функцию пользователя, находим корни урав-
нения. Полученные результаты интересно сопоставить с больцма-
новской предельной кривой					[16–17]	для высоких температур µΒ(T).
	F(µ,T) := 1 −				(k T)3 Co F32 −µ
								k T
								3
	µB(T) := −k T ln Co (k T)
	µT(µ,T) := root(F(µ,T),µ)
I := 400	dT :=	To			µ0 := −10− 8			eV	i := 0 .. 2 I
		I				µi := if (i ≤ I,µ0,µT(µi−1,Ti))
Ti := if [ i ≤ I,i dT,To + (i − I) 0.025 ]						µi := if (i ≤ I,µ0,µT(µi−1,Ti))
	2
	0
µi
k To	2
µB(Ti)	4
k To	4
k To
	6
	8 0	1			2		3	4	5
						Ti
						To
	Рис. 2.	Зависимость химпотенциала (в ед. kT0)
		от относительной температуры
					59

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2016597.5 Кб433IMA_laboratorny_praktikum.doc
#
14.11.2019445.95 Кб7Inn_men методичка.doc
#
11.06.20151.18 Mб33integral tables.pdf
#
27.11.20192.74 Mб9Kalosha.doc
#
11.06.2015894.31 Кб23Karmanov_Reznichenko.pdf
#
11.06.20151.02 Mб31Karmanov_Trojanov.pdf
#
11.06.2015159 Кб44KIS_EMag_Fishchenkov.docx
#
22.09.2019188.43 Кб91Komplekt_zadach_i_testov_dlya_Obshey_khiurgii_4...docx
#
18.11.2019323.58 Кб2konspekt_t_1_zanyatie_1.doc
#
11.06.201512.54 Mб107Kratkaya_teoria_po_kursu_OTU.doc
#
13.11.2019277.5 Кб3laba1.doc