Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу
.pdf61
что и требовалось доказать.
Отметим, что, применяя операцию свертки к линейному оператору f = (ai ), мы получаем след оператора f, который, являясь скаляром, не зависитj от выбора базиса.
Теперь определим поле тензора в трехмерном евклидовом пространстве. В качестве линейного пространства L возьмем пространство векто-
ðîâ E3 пространства.
Определение 24. Говорят, что в некоторой области U пространства задано поле T тензора типа (p, q), если каждой точке M области U поставлен в соответствие тензор T (M) типа (p, q) в пространстве
E3.
Если в определении 24 положить p = q = 0 мы получим скалярное поле, если p = 1 è q = 0, мы получим векторное поле.
Для того, чтобы задать поле тензора типа (p, q) в области U, можно выбрать в U некоторую систему криволинейных координат u, v, w. Пусть эта система координат является ортогональной. Тогда в любой точке M
области U определен ортонормированный базис ~eu, ~ev, ~ew, и тензор T (M)
задается своими компонентами T i1...ip (M) относительно этого базиса. В частности, таким образом мы получаемj1...jq задание скалярного и векторного поля в ортогональных криволинейных координатах, использованное ранее. Если система координат не является ортогональной, для задания
T (M) можно воспользоваться базисом ~ru, ~rv, ~rw.
Литература
[1]А. Е. Либер, Н. Ф. Ржехина. Основы векторного анализа. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1966.
[2]А. Е. Либер, Н. Ф. Ржехина. Основы тензорного анализа. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975.
[3]И. А. Гольдфайн. Векторный анализ и теория поля. М.: ГИМФЛ,
1962.
[4]Б. Е. Победря. Лекции по тензоному анализу . Ì.: Èçä.-âî Московского óí-òà, 1979.
63
Оглавление
1.Векторные функции скалярных переменных
1.1.Векторная функция скалярной переменной и ее предел . .
1.2.Непрерывность и дифференцируемость векторной функции скалярного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.Геометрические свойства производной векторной функции
1.4.Векторные функции многих переменных . . . . . . . . . . .
1.5.Векторные параметрические уравнения поверхности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.Криволинейные системы координат . . . . . . . . . . . . . .
2.Скалярное поле
2.1.Определение скалярного поля, градиент . . . . . . . . . . .
2.2.Производная скалярного поля по направлению и геометрические свойства градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
7
9
10
12
17
17
19
3. Векторное поле |
25 |
3.1.Линейный оператор и его матрица . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.Векторное поле. Дифференцируемость, производная по направлению и дивергенция векторного поля. . . . . . . . . . 27
3.3.Поток векторного поля через поверхность и теорема Гаусса-Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.Оператор Гамильтона r и его свойства . . . . . . . . . . . . 35
3.5.p-линейные и билинейные кососимметрические формы . . 38
3.6.Ротор векторного поля и теорема Стокса . . . . . . . . . . . 40
3.7.Линейный интеграл векторного поля, циркуляция и теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.Необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальности векторного поля . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.Дивергенция и ротор векторного произведения и градиент скалярного произведения векторных полей . . . . . . . . . . 50
3.10.Дифференциальные операции второго порядка . . . . . . . 51
3.11.Выражение дивергенции и ротора векторного поля в ортогональных криволинейных координатах . . . . . . . . . . . 51
65
|
66 |
4. Элементы тензорного анализа |
57 |
4.1. Определение тензора и примеры тензоров . . . . . . . . . . |
57 |