MatAn1semestr

Теорема 8.1. Пусть f имеет непрерывную вторую производную f′′(x) на [a, b].

1) f выпукла вверх на [a, b] тогда и только тогда, когда x

[a, b], f′′(x) ≤ 0.

2) f выпукла вниз на [a, b] тогда и только тогда, когда x [a, b], f′′(x) ≥ 0.

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть f(x) выпукла вверх. Выберем x1 [a, b] и h > 0 так, чтобы x1 < x1 + h < x1 + 2h. Запишем уравнение хорды, проходящей через точки (x1, f(x1)), (x1 + 2h, f(x1 + 2h))

y = f(x1 + 2h) − f(x1)(x − x1) + f(x1). 2h

Так как f выпукла вверх, то в точке x = x1 + h

f(x1 + 2h) − f(x1)(x1 + h − x1) + f(x1) ≤ f(x1 + h) 2h

f(x1 + 2h) − f(x1) + f(x1) ≤ f(x1 + h) 2

f(x1 + 2h) − f(x1) + 2f(x1) ≤ 2f(x1 + h)

f(x1+2h)+f(x1) ≤ 2f(x1+h) f(x1+2h)−f(x1+h) ≤ f(x1+h)−f(x1)

(8.1)

Выберем a ≤ x1 < x2 ≤ b. Положим h = x2−nx1 . По неравенству (8.1):

f(x1 + h) − f(x1) ≥ f(x1 + 2h) − f(x1 + h) ≥ f(x1 + 3h) − f(x1 + 2h) ≥

≥ . . . ≥ f(x2) − f(x2 − h).

Поделим обе части на h > 0, получим

Перейдем к пределу при h → 0, получим f′(x1) ≥ f′(x2).

Таким образом, x1 < x2, f′(x1) ≥ f′(x2) f′(x) – убывающая функция на [a, b], значит, f′′(x) ≤ 0.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть f′′(x) ≤ 0 x [a, b]. Выберем произвольный отрезок [x1, x2] [a, b]. Выпуклость вверх означает, что функция

Покажем, что F (x) ≥ 0 на [x1, x2]. Предположим, что это не так, т.е.x [x1, x2], в которой F (x) < 0. Тогда в некоторой точке x0 (x1, x2)

101

Правая часть в этом равенстве < 0, а левая = 0. Получили противоречие.

9. Асимптоты графика функции

Определение 9.1. Прямая l называется асимптотой Γ(f), если d(M, l) → 0, когда точка M → ∞ (M Γ(f)), где d(M, l) → 0 – расстояние от точки M до прямой l.

Теорема 9.1. Пусть f определена на (x0, x0 + δ) и lim f(x) = +∞

(или −∞). Тогда прямая l : x = x0 является асимптотой Γ(f). Такую асимптоту называют вертикальной асимптотой.

Доказательство. Пусть l : x = x0 – вертикальная прямая и M Γ(f). Ясно, что d(M, l) = (x − x0) и d(M, l) → 0 |x − x0| → 0 x → x0. Но

M → ∞ lim f(x) = +∞, следовательно, l : x = x0 – асимптота.

b = lim (f(x) − kx).

x→+∞

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть l : y = kx + b является

102

Таким образом, y = x + 1 – наклонная асимптота.

10. Построение графиков функций

Для построения графика необходимо

1)Найти область определения.

2)Найти характерные точки (точки пересечения с осями)

3)Найти асимптоты.

4)Найти участки возрастания и убывания функции.

5)Найти интервалы выпуклости.

6)Найти точки перегиба.

7)Найти область значений.

8)Построить эскиз графика.

Пример. f(x) = xx−21 .

1)Область определения: x ≠ 1.

2)Пересечение с осями: с ОХ: xx−21 = 0 x = 0, с осью OY: x = 0 y = 0.

3)Асимптоты: вертикальная: x = 1, наклонная: y = x + 1.

2x] = 2(x−1) , следовательно, на (−∞, 1) f′′(x) ≤ 0 Γ(f) выпукла вверх.

(x−1)4

На (1, +∞) f′′(x) ≥ 0 Γ(f) выпукла вниз. 7) Точек перегиба нет.

Строим график.

1)рисуем асимптоты x = 1 и y = x + 1 2)отмечаем характерные точки:(0, 0)

3)отмечаем точку максимума (0, 0). Рисуем ветвь графика, двигаясь от

103

точки (0, 0) налево вниз приближаясь к асимптоте y = x + 1. Эта ветвь графика выпукла вверх. Теперь рисуем ветвь графика, двигаясь от точки (0, 0) направо вниз приближаясь к асимптоте x = 1. Эта ветвь графика тоже выпукла вверх.

4)отмечаем точку минимума (2, 4). Рисуем ветвь графика, двигаясь от точки (2, 4) налево вверх приближаясь к асимптоте x = 1. Эта ветвь графика выпукла вниз. Теперь рисуем ветвь графика, двигаясь от точки (2, 4) направо вверх приближаясь к асимптоте y = x + 1. Эта ветвь графика тоже выпукла вниз.

11. Правило Лапиталя для неопределенности 00

и g непрерывны на [a, b], f(a) = g(a) = 0; f(x), g(x) дифференцируемы на

104

ствует функция α(x), определенная на (a, b), возрастающая на (a, b),

Доказательство. Пусть α(x) – функция, определенная в в лемме 11.1.

105

Будем строить функцию α(x), определенную на (a, b) следующим образом.

′

limx→0+0 f(x) = limx→0+0 eln f(x) = e0 = 1.

Литература

1.В.А.Зорич. Математический анализ, т.1-2, МЦНМО., 2007 г.

2.В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математическипй анализ т.1- 2, Наука, 1985.

3.Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. т.1-3, М.: Дрофа, 2003.

4.С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1-2, Наука, 1973.

5.Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Наука, 2000.

6.Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-3.Физматгиз, М.:2001

106