Lektsii_Fizika_chast_III

поэтому можно сказать, что магнетон Бора представляет собой наименьшую величину, которую может иметь проекция магнит-

ного момента электрона на заданное направление H .

5.2. Собственный момент импульса (спин)

Понятие спина было введено в 1925 г. американскими учеными Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом при изучении расщепления спектральных линий в спектрах излучения атомов.

Из общих принципов квантовой механики следует, что кроме массы и заряда электрон должен обладать собственным момен-

том импульса LS (спином), наличие которого не связано с при-

сутствием электрона в атоме. По аналогии с обозначениями предыдущего параграфа запишем:

40

Заметим, что понятие спина характерно не только для электрона, но и для других элементарных частиц и даже для ядер и атомов.

Таким образом, состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами, которые определяют следующие параметры:

1)главное n – энергию E(n);

2)орбитальное l – орбитальный момент импульса L0(l ) и связанный с ним гиромагнитным отношением орбитальный маг-

нитный момент 0(l );

3) магнитное m – проекцию орбитального момента импульса

L0H(m) на выделенное направление H и проекцию орбитального магнитного момента 0H(m) на это же направление;

4) спиновое mS – проекцию собственного момента импульса

LS(mS) на выделенное направление H и проекцию собственного магнитного момента SH(m) на это же направление;

Первые три квантовых числа были получены при решении уравнения Шредингера в общем виде. Четвертое квантовое число вытекает из теории Дирака, учитывающей релятивистские эффекты.

5.3. Эффект Зеемана

Если атомы, испускающие свет, поместить в магнитное поле, то в спектрах излучения этих атомов обнаруживается расщепление линий на несколько компонент (эксперимент поставлен голландским ученым Зееманом в 1896 г.). Напрашивается предположение, что обнаруженное расщепление линий вызвано расщеплением под действием магнитного поля энергетических уровней атомов. Такое предположение действительно возможно, исходя из того, что электрон в атоме обладает магнитным мо-

где 0H – проекция магнитного момента на заданное направление

вектора B .

Согласно классическим представлениям, в условиях, когда

отсутствует пространственное квантование, 0 принимает лю-

бые значения и направления, поэтому полная энергия электрона в атоме E En Em меняется плавно. В квантовомеханическом случае величина 0H определяется магнитным квантовым числом m (5.4), поэтому энергетический уровень Em расщепляется в магнитном поле на (2l 1) равноотстоящих друг от друга подуровня, в связи с чем и происходит расщепление спектральных линий излучения атомов.

Пример подобной ситуации для двухуровневой системы с l 0, 1, помещаемой в магнитное поле, показан на рис. 5.5. При зеемановских переходах также работает правило отбора, согласно которому m 0, ±1.

числе и спиновый). В этом случае расщеплений должно быть больше, и соответствующее расщепление спектральных линий также может быть зафиксировано в эксперименте (аномальный эффект Зеемана).

Таким образом, эффект Зеемана экспериментально доказывает наличие пространственного квантования. Аналогичное по сути расщепление энергетических уровней атомов под действием электрического поля было открыто Штарком (эффект Штарка).

42

рамка с током, помещенная в неоднородное магнитное поле), определяется выражением:

которой меняется вдоль оси х (между полюсами магнита); –

угол между направлениями векторов и B .

При хаотичном распределении магнитных моментов атомов по направлениям в пучке имелись бы частицы, для которых угол

этому следовало бы ожидать, что узкий атомный пучок после прохождения между полюсами оставит на экране растянутый след. В нашем случае пучок атомов лития расщепляется на 2 пучка. Тем самым опыт Штерна и Герлаха показал, что проекция магнитного момента на направление поля квантуется, и по-

ченный результат доказывает существование у электрона спина.

Вопросы для повторения

1.В чем заключается явление пространственного квантования?

2.Как в квантовой механике вводится понятие спина?

3.Что характеризуют квантовые числа n, l, m, mS, и какие значения они могут принимать?

4.Опишите эффект Зеемана. Как он объясняется?

5.В чём заключается суть опыта Штерна и Герлаха?

Литература: [1 – 8]

44

Лекция № 6

6.1. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули

В квантовой механике в случае многоэлектронных атомов действует не имеющий аналога в классической физике принцип, сформулированный в 1925 году швейцарским физиком В. Паули и получивший название принципа Паули: в данный момент времени в определенном квантовом состоянии в атоме может находиться лишь один электрон. Иными словами у каждого электрона в атоме имеется свой индивидуальный набор квантовых чисел n, l, m и mS. В дальнейшем принцип был выведен теоретически в рамках релятивистской квантовой механики и распространен на все фермионы. Работы В. Паули в этом направлении были удостоены Нобелевской премии 1945 года.

Рассмотрим водородоподобный атом. На его низшем (основном) энергетическом уровне могут располагаться только два электрона, поскольку этот уровень двукратно вырожден:

1s1 – водород H

n 1, l 0, m 0, mS ½ два состояния

1s2 – гелий He

В принятых атомных обозначениях цифры вверху показывают число электронов в каждом состоянии (s, p и т. д.).

Если n 2, то имеем 8 возможных квантовых состояний:

Таким образом, состоянию с n 2 отвечают четыре различных пространственных атомных орбиталей с различными наборами орбитальных и магнитных квантовых чисел. С учетом спи-

45

на в этих состояниях может размещаться восемь электронов – по два на каждую атомную орбиталь. Появляющаяся периодичность заполнения состояний с различными n приводит к возможности систематизации элементов по их физическим и химическим свойствам и созданию так называемой периодической таблицы (периодической системы элементов Д.И. Менделеева).

При заполнении различных квантовых состояний работает принцип «минимизации» энергии. В качестве примера рассмотрим относительное расположение уровней с n 3 и 4s уровня в атоме натрия, рис. 6.1.

трон уже располагается на уровне 3d и т.д. Сильное отщепление уровня 3d связано с тем, что у многоэлектронных атомов существует кулоновское и магнитное взаимодействие между электронами, которое вносит заметный вклад в реальные значения их энергии.

Степень вырождения энергетического уровня водородоподобного атома равна 2n2. Так, если n 3, то число возможных квантовых состояний будет равно 18.

В более сложных, чем водород, атомах, имеющих несколько электронов, полагают, что каждый из электронов движется в усредненном поле ядра и остальных электронов. Это поле уже не будет чисто кулоновским, но обладает центральной симметрией, зависит только от r. Решение уравнения Шредингера для электрона, движущегося в этом поле, дает результат, аналогичный результату, полученному для атома водорода, но с тем характерным отличием, что положение энергетического уровня

46

зависит не только от n (главного квантового числа), но и от l (орбитального квантового числа).

Отличие в энергии между состояниями с различными l и одинаковыми n меньше, чем между состояниями с различными n. С увеличением l энергия уровней с одинаковыми n возрастает. Для того, чтобы наблюдать переходы электронов с одного энергетического уровня на другой необходимо выполнение правила отбора l 1.

6.2. Спин-орбитальное взаимодействие

В реальной ситуации полный момент импульса электронов в атоме определяется суммой орбитального и собственного (спи-

тального и спинового момента импульса электронов проводится по квантовым законам L ћ j( j 1) , где j – внутреннее квантовое число, j l S или l S .

l 0

Рис. 6.2

Энергия взаимодействия орбитального и спинового магнитных моментов импульса электрона (спин-орбитальное взаимодействие) зависит от взаимной ориентации орбитального и соб-

47

ственного моментов. Следовательно, состояния с разными j должны обладать различной энергией:

где ES0 – энергия спин-орбитального взаимодействия (ES0 << En). На рис 6.2 представлен пример расщепления спектральных линий излучения (как бы внутренний эффект Зеемана), обусловленный наличием внутреннего магнитного поля. В данном случае также выполняется правило отбора, переходы электронов

где mj – полное магнитное квантовое число, которое принимает значения j, j 1, ... , 1, 0, 1, ... , j 1, j.

В заключение заметим, что в многоэлектронном атоме надо учитывать взаимодействие орбитальных и спиновых моментов всех электронов атома.

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Статистическая физика занимается описанием систем, состоящих из большого числа частиц. Существует две статистики (классическая и квантовая):

–классическая Максвелла-Больцмана;

–квантовая Ферма-Дирака (объекты, ей описываемые, принято называть фермионами);

–квантовая Бозе-Эйнштейна (справедлива для объектов, которые принято называть бозонами).

Для фермионов справедлив принцип Паули и спиновое квантовое число у них принимает полуцелые значения. Фермионами являются: электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и целые ядра, состоящие из нечетного числа нуклонов.

Бозоны – это частицы, которые могут неограниченно заселять одно и то же квантовое состояние и имеют целое значение спи-

48

нового квантового числа. Бозонами являются: фотоны, фононы (кванты энергии колебаний атомов в кристаллической решетке), мезоны и ядра, состоящие из четного числа нуклонов.

Специфическое «отталкивание» фермионов и «притяжение» бозонов обычно называют обменным взаимодействием.

6.3.Невырожденные и вырожденные коллективы

Пусть на N одинаковых микрочастиц приходится Q различных квантовых состояний, в которых может находиться отдельная микрочастица. Если N << Q, то подобные коллективы называют невырожденными. Так как в невырожденных коллективах частицы находятся далеко друг от друга, их трудно спутать, они являются в значительной мере классическими и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана. Если Q N, то специфика фермионов и бозонов проявляется в полной мере, и такие коллективы называют вырожденными. Вырожденные коллективы могут образовываться только квантовомеханическими объектами.

6.4. Функция распределения. Фазовое пространство

Допустим, что частица движется вдоль оси x («одномерный» случай). Нас интересует вероятность того, что она находится в интервале (x, x dx), см. рис. 6.3:

В данном случае f(x) – функция распределения (функция плотности вероятности или сокращённо плотность вероятности), которая показывает вероятность того, что частица находится в единичном интервале вдоль оси x при данном x.

49