физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
любых двух элементов, находящихся на противоположных концах диаметра, уничтожаются, а параллельные составляющие складываются.
Тогда сумма параллельных составляющих
F 
dFi cos ,
или,
|
|
l |
|
|
|
G m |
r 2 |
l 2 2 R |
|
F |
|
|
|
|
dFi |
|
|
|
dl . |
|
|
|
|
R2 |
l 2 3 |
|
|||
R2 |
|
||||||||
|
|
l 2 |
0 |
||||||
Окончательно получим:
F G |
2 2 m |
r 2 R l |
. |
||
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
R2 |
l 2 |
|
|
|
2 |
|||||
Проверка размерности расчетной формулы:
F |
м3 |
кг кг м2 м м |
|
кг м4 3 |
|
кг м |
Н . |
|
кг с2 м3 м3 |
|
с2 м3 |
|
с2 |
||
|
|
|
|
|
Вычисление:
F 6,67 10 |
11 |
2 |
3,142 |
2 10 3 |
8,9 103 |
10 6 |
20 10 2 |
5 10 |
2 |
2,57 10 |
14 |
(Н ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 10 2 |
2 |
5 10 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: сила, с которой кольцо притягивает шарик, равна 2,57 
10 14 Н.
Задача 4. Шарик, масса которого 500 г, находится на расстоянии 10 см от тонкого однородного стержня длиной 1 м и массой 2 кг. Определить силу взаимодействия стержня и шарика. Размерами шарика пренебречь.
Дано: m1 500г 0,5кг; a 10см 0,1м;
l1м;
m2 2кг.
____________________
F ?
|
|
|
dr |
|
r |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
a |
|
|
|
Рис. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
|
|
|
||
|
Между любыми |
двумя материальными точками действуют силы |
||||
взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними (закон Всемирного тяготения):
|
|
F |
G |
m1 m2 |
, |
(1) |
|
|
|
||||
|
|
12 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
где F12 |
- сила тяготения, действующая на точку с массой |
m1 , |
|||
m2 |
- масса |
второй материальной точки, R – расстояние между ними; |
||||
G |
6,67 10 11 м3 / кг с2 – гравитационная постоянная. |
|
||||
Формула (1) справедлива также для расчета силы тяготения, действующей между двумя твердыми телами шарообразной формы.
Достаточно малые элементы двух тел произвольной формы и размеров можно считать материальными точками, массы которых равны произведению их объемов на плотности.
В нашем примере первое тело имеет форму шара, а второе – стержень.
Выделим из стержня малый участок dr |
с массой, равной |
|
|
dm2 |
dV |
S dr |
(2) |
|
|
|
|
Будем считать, что плотность материала, из которого изготовлен стержень постоянна (материал однороден), площадь сечения стержня также постоянна (
const , S const ).
Тогда согласно закону Всемирного тяготения
dF G |
m1 dm2 |
. |
|
||
|
r 2 |
|
Или с учетом формулы (2):
.
dF G m1 
r 2S 
dr .
Интегрируя это выражение в пределах от a |
|
|
до (a |
l) , |
получаем: |
||||||||||||||
|
a l dr |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
G m |
S l |
|
m m |
2 |
|
||
F G m1 S |
|
|
G m1 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
G |
1 |
|
|||
a |
r 2 |
a a l |
|
|
a a l |
a (a l) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
F |
м3 |
кг кг |
|
кг |
м |
|
Н |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
кг с2 м м |
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найденная единица измерения является единицей измерения силы. Произведем вычисления:
F |
6,67 |
10 |
11 |
м3 |
|
0,5кг 2кг |
6,06 10 |
10 Н |
|
кг с2 |
|
0,1м 1,1м |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: сила взаимодействия стержня и шарика равна 6,06 
10 10 Н .
Алгоритм решения задач к разделу «Закон сохранения импульса»
1.Указать тела, входящие в систему.
2.Выбрать систему отсчета, в которой решается задача.
3.Указать момент взаимодействия тел системы.
4.Рассмотреть состояние системы до взаимодействия и найти
импульс системы до взаимодействия P1 .
5. Рассмотреть состояние системы после взаимодействия и найти
импульс системы после взаимодействия P2 .
6.Указать, замкнута система или нет, объяснить сделанный вывод.
7.Найти изменение импульса системы:
|
|
|
P |
P1 |
P2 . |
В случае, если система замкнута, изменение импульса системы приравнять к нулю.
Если система не замкнута,
|
|
t . |
P |
F |
Полученное уравнение записать в проекции на оси координат. 8. Решить полученную систему уравнений.
9. Проанализировать ответ.
Алгоритм решения задач к разделу «Закон сохранения энергии»
1.Указать тела, входящие в систему.
2.Выбрать систему отсчета, в которой будет решена задача.
3.Указать начальное и конечное состояния исследуемой системы физически тел.
4.Выбрать нулевой уровень потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей.
5.Рассмотреть начальное состояние системы физических тел и найти полную энергию Е1.
6.Рассмотреть конечное состояние системы физических тел и найти полную энергию Е2.
7.Указать замкнута ли система и объяснить сделанный вывод. Консервативны ли силы в системе?
8.Найти изменение полной энергии системы:
E E2 E1 .
Полученное изменение полной энергии системы приравнять к нулю, если система замкнута и силы консервативны; Если же рассматриваемая система незамкнута найденное значение
изменения полно энергии приравнять к работе движущих сил, взятой со знаком «+» или к работе сил сопротивления, взятой со знаком «-».
Ели работу совершает постоянная сила, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
A |
F S |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F - сила; |
S |
- перемещение; |
|
|
|
|
||||
Скалярной форме формула (1) примет вид: |
|
|
|
|||||||
|
|
A |
F S cos |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - угол между направлениями векторов |
F |
и |
S . |
|||||||
Работа, совершаемая переменной силой, |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
r cos , |
|
|
|
||
|
|
A |
Fdr |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
где 
- угол между направлением силы и перемещения.
9.Решить полученные уравнения.
10.Проанализировать ответ.
Примеры решения задач по теме «Работа и мощность. Законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса»
Задача 1. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы однородный свинцовый кубик с ребром L 10см, находящийся на горизонтальной плоскости, повернуть с одной грани на другую (соседнюю грань)? Плотность свинца 
11,3
103 кг / м3 .
Дано: L 10см,
11,3
103 кг / м3
____________________
А - ?
Решение.
L
2
2
L |
h |
|
L |
||
|
||
|
2 |
1 2
Для совершения работы куб необходимо (достаточно) вывести из устойчивого положения (1) в неустойчивое положение (2). При этом центр тяжести куба поднимется на высоту h.
h |
L 2 |
|
L |
|
L 2 |
1 |
0,2L . |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|||||
Тогда,
Amin F 
h ,
где F mg - сила тяжести куба.
|
Amin |
mg |
h mg |
0,2L . |
(1) |
||||||
Массу куба определим через плотность: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
V , |
|
|
|
|
где V L3 - объем куба (L – длина ребра куба); |
|
||||||||||
|
|
m |
|
L3 . |
|
|
(2) |
||||
Подставим (2) в (1), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
L3 |
g 0,2L |
0,2 |
g L4 . |
|
||||
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|||||||||
|
|
кг |
м |
м4 |
|
Дж . |
|
||||
|
A |
|
|
|
|
|
Н м |
|
|||
|
м3 |
с2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0,2 11,3 103 |
9,8 (0,1)4 |
2,26( Дж). |
|
|||||||
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: минимальная совершаемая работа равна 2,26 Дж.
Задача 2. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять землю на поверхность при рытье колодца, если его глубина h 10м , а площадь поперечного сечения S 2м 2 . Плотность земли равна 
2,0 
103 кг / м3 . Считать, что вынимаемый грунт рассыпается тонким слоем по
поверхности Земли.
Дано: |
x |
S |
|
||
|
|
|
|||
dx |
|
|
|||
|
10м ; |
|
|
||
h |
|
|
|
|
|
S |
2м 2 ; |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
2,0 103 кг / м3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____________
А - ?
Рис.
Решение.
Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту h, на которую поднимается тело массой m. Для вычисления работы, которую надо совершить, чтобы поднять землю на поверхность при рытье колодца, выделим слой земли dх, находящийся на глубине х от поверхности Земли. Тогда масса этого слоя:
|
dm |
dV |
S dx , |
(1) |
где |
- плотность земли; |
dV - |
объем слоя земли, толщиной dx ; |
S - |
площадь поперечного сечения колодца.
Работа, необходимая для подъема этого слоя земли на поверхность, выражается формулой:
dA g 
x 
dm ,
или с учетом (1),
dA g |
S x dm . |
(2) |
Полную работу найдем интегрированием выражения (2) в пределах от 0
до h.
|
|
x2 |
h |
|||
A g S |
h x dx g S |
|
1 |
g Sh2 . |
||
2 |
2 |
|||||
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0
Проведем проверку размерности расчетной формулы:
А |
м кг м2 |
м2 |
|
кг м2 |
Н м Дж . |
с2 м3 |
|
|
с2 |
||
|
|
|
|
Вычисление:
А 12 
9,8 
2 
103 
2 
102 2 
106 ( Дж) .
Ответ: для того, чтобы поднять землю на поверхность при рытье колодца, необходимо совершить минимальную работу, равную 2 МДж.
Задача 3. Какую работу совершает сила 30 Н, подняв по наклонной плоскости груз массой 2 кг на высоту 2, 5 м с ускорением 7 м/с2? Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь.
Дано: |
|
|
|
|
F |
20H ; |
Y |
|
X |
|
|
|
|
|
m |
2кг; h 2,5м; |
|
|
|
|
||||
а 7 м / с2 . |
N |
|
||
F |
h |
|||
_________________ |
|
|
||
|
|
|||
А -? |
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
Рис.
Решение.
Работу можно вычислить по формуле
A F 
l 
cos ,
где - угол между вектором силы и вектором перемещения.
0 ; cos
1.
|
A |
F |
l |
|
F h |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin |
, |
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
- угол наклона наклонной плоскости. |
|
|
|||||||
Рассмотрим движение груза по наклонной плоскости. На груз действуют |
||||||||||
сила тяжести |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и приложенная сила |
mg; сила нормальной реакции опоры |
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F . Под действием этих сил груз движется с ускорением. Запишем уравнение |
||||||||||
движения груза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
N |
F |
|
|
m a . |
|
(2) |
||
Спроецируем уравнение (2) на ось X . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
mg sin |
|
F |
|
m a . |
|
|
|||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
F |
|
|
ma |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
. |
|
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим выражение (3) |
в формулу (1), получим |
||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
F h m g |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
m a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Н |
м кг |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Н 2 |
м |
|
|
|
||||||||||
А |
|
с2 |
|
Н м |
Дж |
||||||||||||||||
Н |
кг |
м |
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
30Н 2,5м 2кг 9,8 |
м |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
с2 |
91,87 Дж . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2кг 7 |
м |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
30Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: работа силы по подъему груза по наклонной плоскости равна
91,87 Дж.
Примеры решения задач по теме «Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса»
Задача 1. |
На |
рельсах стоит |
платформа с |
песком массой m1 1,0т . |
|
Снаряд массой |
m |
2 |
50кг , летящий |
со скоростью |
V2 800 м / с попадает в |
платформу и не взрывается. Снаряд летел вдоль рельсов под углом 
30 к горизонту. Найдите скорость платформы после попадания снаряда и расстояние, пройденное платформой до остановки, если коэффициент трений
0,20 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
Vx |
|
|
m2 |
|
m |
1,0т |
103 |
кг; |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
50кг ; |
|
|
|
|
|
|
|||
V2 |
800 м / с ; |
|
|
|
V2 |
|||||
|
30 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,20 |
|
|
|
|
|
|
Vy |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
_________________ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
V |
?; |
|
S |
? |
|
|
|
|
|
|
|
V |
m2 |
|
|
|
|||||
X
Рис.
Решение
Запишем закон сохранения импульса (система является замкнутой):
n |
|
miVi const . |
(1) |
i 1 |
|
Платформа находилась в состоянии покоя (начальная скорость платформы равна нулю); соударение снаряда с платформой будем считать абсолютно неупругим, тогда формулу (1) запишем в виде:
|
|
|
m2 V2 |
(m1 m2 ) V1 . |
(2) |
Формулу (2) перепишем в проекции на ось Х.
m2 V2 cos (m1 m2 ) V1 . |
(3) |
Из формулы (3) выразим скорость платформы после соударения со снарядом:
V1 |
m2V2 |
cos |
. |
|
m1 |
m2 |
|||
|
|
Проверяем размерность расчетной формулы:
|
V |
|
кг |
м / с |
|
м / с . |
|
|
|
|
|
||
|
|
кг |
кг |
|||
|
|
|
|
|
||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
50 800 cos30 |
|
||||
V1 |
|
|
|
|
|
33(м / с) . |
|
1000 |
50 |
|
|||
|
|
|
|
|||
Определим расстояние, пройденное платформой до остановки. При равнозамедленном движении
|
V 2 |
V 2 |
V 2 |
|
* |
|
||
S |
|
1 |
|
1 |
, |
(3 |
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
2а |
|
2a |
|
|
|
|
где V - конечная скорость платформы (по условию задачи V = 0); |
|
|
|
|||||
V1 - скорость, которую приобрела платформа после соударения |
со |
|||||||
снарядом; a – ускорение платформы.
Из второго закона Ньютона определяем ускорение платформы: