теорет электр контр 1
.pdf
U = |
U |
m |
|
|
I = |
I |
m |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
2 |
|
|
и |
|
|
|
2 – действующие значения напряжения и тока. |
|||||||||
Комплекс полного сопротивления участка цепи, состоящего из последовательно |
|||||||||||||||||
включенных r, L и C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z = r + jx |
|
|
|
− jx |
|
= r + j(x |
|
− x ) = r + jx = z e jϕ |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
C |
|
|
|
|
|
L |
C |
|||
где xL |
= ωL – индуктивное сопротивление; |
|
|||||||||||||||
x = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
ωC – емкостное сопротивление; |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
ω = 2πf – угловая частота;
z = 
r2 + x2 – модуль комплексного сопротивления;
ϕ = arctg(x / r) – аргумент комплексного сопротивления.
Для расчёта цепей синусоидального переменного тока комплексным методом применяются все методы, известные из теории электрических цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что вместо действительных чисел, соответствующих токам, напряжениям и сопротивлениям в цепях постоянного тока, при расчёте цепей переменного тока используются комплексные числа. При умножении и делении комплексных чисел необходимо использовать показательную форму записи, а при сложении и вычитании – алгебраическую форму.
Пример. Для электрической цепи (рис. 3) найти действующие значения токов; активные, реактивные и полные мощности всей цепи с проверкой баланса мощностей; построить векторную диаграмму токов и напряжений.
6
|
|
|
. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
r2 |
. |
. |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
I2 xС 3 |
I3 |
|
U |
|
|
|
|||
|
|
|
xL 2 |
|
|
|
1 |
r1 |
2 |
xL1 |
xС1 |
б |
|
|
3 |
4 |
|
|||
Рис. 3
11
Дано: U = 380 В, |
r1 |
= 6 Ом, |
xL1 =12 Ом, xC1 = 4 Ом, |
||||
r2 = 10 Ом, |
xL2 = 8 Ом, xC3 |
= 6 Ом. |
|||||
Решение. Записываем комплексы сопротивлений ветвей |
|||||||
Z1 |
= r + jx |
L1 |
− jx |
= 6 + j12 − j4 = 6 + j8 =10ej530 |
|||
|
1 |
|
C1 |
|
|
Ом, |
|
Z2 |
= r2 + jxL2 =10 + j8 =12,8ej390 |
Ом, |
|||||
Z3 |
= − jx |
= − j6 = 6e− j900 |
|
|
|||
|
C3 |
|
|
|
Ом. |
|
|
Найдём комплекс полного сопротивления параллельного участка цепи
|
|
Z2 Z3 |
|
12,8e j390 |
6e− j900 |
|
76,8e- j510 |
|
76,8e- j510 |
||
Z 23 |
= |
|
= |
|
|
|
= |
|
= |
|
= |
Z 2 +Z3 |
|
10 + j8 − j6 |
10 + j2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
10,2ej11 |
|||||
= 7,53e- j620 = (3,54 − j6,65 ) Ом.
Найдём комплекс полного сопротивления всей цепи
Z = Z1 + Z23 = 6 + j8 + 3,54 − j6,65 = 9,54 + j1,35 = 9,64ej80
Приняв U& = U , найдем комплексы токов в ветвях и напряжение на параллельном
участке U&аб . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
380e |
j00 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
I&1 = |
|
|
= |
|
|
|
= 39,4e− j8 |
|
A |
|
|||||||||||||
|
Z |
9,64e j80 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
U&аб |
= I&1 Z23 = 39,4e− j80 |
7,53e- j620 |
= 297e-j700 B, |
||||||||||||||||||||
& |
|
|
|
U&аб |
|
|
|
297e-j700 |
|
|
− j1090 |
||||||||||||
I2 |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
23,2 e |
|
A |
|||||||||
|
|
|
Z 2 |
12,8e j390 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
& |
|
|
|
U&аб |
|
|
|
297e-j700 |
|
j200 |
|
||||||||||||
I3 |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= 49,5e |
|
A |
||||||||||||
|
|
Z3 |
|
6e− j900 |
|
||||||||||||||||||
Комплекс полной мощности источника |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
источн. |
= U& I |
1 |
= P |
|
|
|
+ jQ |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
источн. |
|
источн. |
|
|||||||||||
|
|
* |
= 39,4ej8O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
I |
1 |
А |
– комплексно-сопряжённый ток. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Sисточн. = U& I1 = 380ej00 39,4ej8O |
=14972ej8O =14826 + j2084 , |
||||||||||||||||||||||
12
|
Откуда Pисточн. =14826 Вт, |
|
Qисточн. = 2084 вар. |
|
|
||||||||||||||
|
Активная мощность приемника |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
P |
|
|
= I 2r + I 2r + I |
2r |
|
= 39,42 6 + 23,22 10 + 0 =14696 Вт, |
|
|||||||||||
|
приемн. |
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
= I2 (X |
L1 |
− X |
C1 |
) + I 2 X |
L2 |
− I2 X |
C3 |
= 39,42 8 + 23,22 |
8 − 49,52 |
6 = 2023 вар |
||||||||
|
приемн. |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S |
приемн. |
= P2 |
|
|
+ Q2 |
|
=14835 ВА . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
приемн. |
|
приемн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Баланс мощностей выполняется
Ристочн. ≈ Pприемн.; Qисточн. ≈ Qприемн.; Sисточн. ≈ Sприемн..
Для построения топографической диаграммы вычислим напряжения на всех элементах
цепи:
Ur1 = I1 r1 = 39,4 6 = 236 B;
UL1 = I1 XL1 = 39,4 12 = 473 B;
UC1 = I1 XC1 = 39,4 4 =158 B;
Ur2 = I2 r2 = 23,2 10 = 232 B;
UL2 = I2 XL2 = 23,2 8 =186 B;
UC3 = I3 XC3 = 49,5 6 = 297 B.
I& , I&
Задавшись масштабом токов, отложим на комплексной плоскости векторы токов 1 2
и I&3 (рис. 4). Сумма векторов токов I&2 + I&3 равна вектору тока I&1 .
Примем потенциал точки 1 равным нулю, обходить схему будем навстречу положительному направлению токов. Выберем масштаб напряжений.
Построим из точки 1 вектор напряжения на сопротивлении |
r |
U& |
1 |
r1 , который совпадает |
|
по направлению с током I&1 , получим на диаграмме точку 2. |
|
|
Из точки 2 построим вектор напряжения на индуктивности |
L |
U& |
1 |
L1 (по фазе опережает |
|
ток I&1 на 90°), получим точку 3. |
|
|
Построим из точки 3 вектор напряжения на емкости C1 U&C1 (по фазе отстаёт от тока
I&1 на 90°), получим на диаграмме точку 4. Из этой точки дальше пойдут 2 вектора.
Из точки 4 построим вектор напряжения на индуктивности |
L |
U& |
2 |
L2 (по фазе опережает |
|
ток I&2 на 90°), получим точку 5. |
|
|
13
Построим из точки 5 вектор напряжения на сопротивлении |
r |
U& |
|
|
2 |
r2 , который совпадает |
|||
по направлению с током I&2 , получим на диаграмме точку 6. |
|
|
|
|
Вернемся к точке 4 и построим вектор напряжения на емкости |
C3 U&C3 |
(по фазе |
||
отстаёт от тока I&3 на 90°), и попадем в точку 6. |
|
|
|
|
Вектор, соединяющий точку 1 с точкой 6 и направленный |
из |
точки 1 к |
точке 6, |
|
изображает напряжение U& на зажимах цепи. Вектор, проведённый из начала координат в какую-либо точку диаграммы, изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.
Рис. 4
14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. для вузов. – М.: Гардарики, 2006.
2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. для бакалавров. – М.: Юрайт, 2012.
3.Сборник задач по теоретическим основам электротехники/ Под ред. Бессонова Л.А. – М.: Высшая школа, 2006.
4.Серебряков А.С., Шумейко В.В. MATHCAD и решение задач электротехники: Учебное пособие для вузов ж.-д. транспорта. – М.: Маршрут, 2005.
5.Частоедов Л.А., Гирина Е.С. Теоретические основы электротехники. Ч.I. Учебное пособие. – М.: РГОТУПС, 2007.
6.Частоедов Л.А., Ручкина Л.Г., Гирина Е.С. Теоретические основы электротехники. Электротехника и электроника. Часть 1. Методические указания по решению задач для
студентов 2 и 3 курсов инженерно-технических специальностей. – М.: РГОТУПС, 2006.
Дополнительная
1.Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники: Уч. пос. для втузов. – М: Издательство физико-математической литературы, 2006.
2.Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. для вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2007.
3.Рекус Г.Г.Основы электротехники и электроники в задачах с решениями: Уч. пос. – М.: Высшая школа, 2005.
15