контр.работа.№1-3_1курс
.pdfв)
7.1.13. a)
в) 7.1.14. a)
в)
7.1.15. a)
в) 7.1.16. a)
в) 7.1.17. a)
в)
y = (cos2x)sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y = t3 + arctg3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x4tg2x; |
б) |
1 |
|
|
при |
t = |
1 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x = |
|
|
t − arcctg3t |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (cos x5 )sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y = t − 65arctgt3 , |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
y = x5e4x ; |
б) |
|
|
|
|
|
при |
t = |
; |
|||||||
|
|
+ arcctgt |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x = t2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (cos2x)tg3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y = t5 |
+ ln 25t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = x4ctg5x ; |
б) |
1 |
|
|
при |
t = |
1 |
; |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x = |
|
|
t − arccos3t |
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (sin x7 )sin 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x3 sin5x; |
б) y = t + arctg3t, при |
t = 1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
x = t2 |
− 2arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = (cos3x)sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x |
4 |
ln7x; |
б) |
y = 7t − arctgt3 , |
при t |
= 2; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x = t5 + arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (cos5x)sin 7x .
|
|
y = t5 |
|
+ arctg4t, |
|
|
|
||||
7.1.18. a) |
y = x5tg4x ; |
б) |
|
5 |
|
при |
t = |
1 |
; |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
x = |
|
|
|
|
t − arcctg4t |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||
в) |
y = (cos x4 )sin 8x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t −17arctgt2 , |
|
|
|
||||||
7.1.19. a) |
y = x6e5x ; |
б) |
|
1 |
|
|
при |
t = 2; |
|
||
|
|
x = |
|
|
|
|
t5 + arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
в) y = (cos4x)tg6x .
7.1.20. a) y = x7ctg10x ; б)
( 2 )sin 7x
в) y = sin x .
y = t2 |
− arcsin5t, |
1 |
|
|
|
|
при t = |
; |
|
|
2 |
|
||
|
||||
x = |
|
t + arccos5t |
25 |
|
|
|
|||
|
25 |
|
|
|
7.1.41–7.1.50. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
7.1.41. |
lim |
1− 2sin x |
. |
7.1.42. |
lim |
cos2x |
. |
||
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
1− 3tgx |
|
x→π |
1− tgx |
||||
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
11
1− e2x 7.1.43. lim ( ).
x→0 ln 1− 2x
7.1.45.lim ex − e− x − 2x .
−sin xx→0 x
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|||
7.1.47. |
lim |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
ex −1 |
|
x |
|||||
7.1.49. |
lim |
x + ln(1+ x) |
. |
||||||
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
ex −1 |
|
|
|
7.1.44.lim1− x2 .
x→1 ln x
7.1.46.lim x3 ln x.
x→0
7.1.48. |
lim |
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ e2x |
|
|
|
|
|||
7.1.50. |
lim |
|
ex |
− e |
−x |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 ln(1− x) |
|
7.3.1–7.3.10. Исследовать методами дифференциального исчисления
функцию y = f (x) и, используя результаты исследования, построить ее
график.
7.3.1.y = x2 − 2ln x .
7.3.2.y = (x2 −1)/(x2 +1) .
7.3.3.y = (x2 + 1)/(x2 −1) .
7.3.4.y = x2 /(x −1).
7.3.5.y = x3 /(x2 + 1).
7.3.6.y = (4x3 + 5)/ x.
7.3.7.y = (x2 − 5)/(x − 3) .
7.3.8.y = x4 /(x3 −1).
7.3.9.y = 4x3 /(x3 −1) .
7.3.10. y = (2 − 4x2 )/(1− 4x2 ) .
12
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.
8.2.11–8.2.20. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат проверить дифференцированием.
8.2.11.
a) |
∫ecos2 x sin2xdx; |
б) |
|
|
∫xarctgxdx; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
dx |
; |
г) |
∫ |
|
|
3 x |
+1 |
|
dx; |
||
x |
3 |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
+ 27 |
|
|
+3 x+1 |
|||||||||
д) |
∫sin2 xcos3 xdx.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2.12.
a) |
∫ |
x2dx |
; |
б) |
∫ex ln1( +ex )dx; |
||||
|
|
||||||||
(x3 +4)6 |
|||||||||
в) |
∫ |
|
xdx |
; |
|
г) |
∫ |
dx |
; |
|
|
|
|||||||
x3 +8 |
|
sinxcosx |
|||||||
д) |
∫cos2 |
x sin3 |
xdx. |
|
|
|
8.2.13.
a) |
∫ |
|
|
x2dx |
|
; |
|
б) |
∫x2x dx; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1− x6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
∫ |
|
|
|
|
(5x+ 6)dx |
г) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x+1 |
+ 3 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ x +1 |
|
|
|
(x +1)2 |
|||||||
д) |
∫sin3 xcos3 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2.14.
а) ∫ |
dx |
б) ∫ |
x |
arccos x |
dx; |
||
|
; |
|
|
|
|||
sin2 x(2ctgx +1) |
|
|
|
||||
|
1− x2 |
13
dx
в) ∫ x3 − x2 + 2x − 2;
д) ∫sin 2 xcos2 xdx.
8.2.15.
sin 2xdx а) ∫5 − cos2x;
(x +1)dx в) ∫ x3 − 2x2 + x;
д) ∫cos4 xdx.
8.2.16.
а) ∫ cos xdx ; sin3 x
(2x +1)dx в) ∫ x3 + 3x2 − 4x;
д) ∫sin4 xdx.
8.2.17.
а) ∫arcsin xdx; 1− x2
xdx
в) ∫ x4 + 5x2 + 6 ;
д) ∫sin5 xcos2 xdx.
8.2.18.
arctgx а) ∫ x2 +1 dx;
xdx
в) ∫ x4 − 81;
д) ∫sin2 xcos5 xdx.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x + 3 1 |
+ x |
|||||
г) |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
x +1 |
б) ∫x2e5xdx;
sin xdx г) ∫1+ sin x;
б) ∫x arccos |
1 |
dx; |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
(4 |
|
|
−1)dx |
|
|
|||||
x |
|
|
||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
; |
||||
( |
|
|
− 2)4 |
|
|
|||||
|
|
x3 |
||||||||
x |
б) ∫xln(x2 +1)dx;
г) ∫ |
|
|
6 |
x + 5 |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ |
3 |
x + |
5 |
||||
|
|
|
|
б) ∫xcos2xdx;
dx
г) ∫cos x + 3sin x;
14
8.2.19.
cos xdx а) ∫38 + 3sin x;
(x2 + x −1)
в) ∫ x4 + 3x2 − 4 dx;
д) ∫sin3 xcos4 xdx.
8.2.20.
|
|
|
а) ∫ |
|
|
3 + ln x |
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|||
в) ∫ |
(x3 + x)dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
x |
4 |
+ 5x |
2 |
+ 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
д) ∫sin4 xcos3 xdx.
б) ∫xln2 xdx;
г) ∫ |
( |
|
+ |
1)(6 |
|
−1)dx; |
|
x |
x |
||||||
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x +1 |
б) ∫x2 sin3xdx;
dx
г) ∫sin x + 2cos x +1;
8.3.1–8.3.10. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
|
+∞ |
xe− x2 |
|
|
|
|
−3 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
||||||||||
8.3.1. |
∫ |
dx . |
8.3.2. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x2 +1)2 |
|
|
|
||||||||||||
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.3.3. |
∫ |
|
|
|
. |
8.3.4. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−1 |
x2 + x +1 |
|
0 1− x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
8.3.5. ∫ |
|
|
|
. |
|
|
8.3.6. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 (x −1)2 |
|
|
|
|
−3 (x + 3)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||
8.3.7. |
∫ |
|
. |
|
|
|
8.3.8. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
xln x |
|
|
|
|
0 |
(x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
||||||||
8.3.9. ∫ |
|
|
|
. |
|
8.3.10. |
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 3 (x − 3)2 |
|
|
−∞ x2 + 4x + 5 |
||||||||||||||||||||
9.1.31–9.1.40. Дана функция двух переменных |
z = f (x; y) . Найти все |
частные производные первого и второго порядков. Обосновать равенство
zxy″ = zyx″.
9.1.31. |
z = |
|
|
y |
|
. |
9.1.32. z = ln(x2 − 4y3 ) . |
|
|
|
|
||||
x |
2 |
− y |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
15
9.1.33. |
z = arctg |
y |
. |
9.1.34. z = ex2 y − x2 y . |
|
||||
|
|
x |
|
9.1.35. |
z = cos(x2 − y2 ) |
|
|
z = arcsin |
y |
|
|
|
|
||||
. |
9.1.36. |
x2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.1.37. z = ln(x3 − 5y2 ) |
9.1.38. z = x3 + x2 y +1 . |
|
|||||||||||
9.1.39. z = arcsin(x2 y) . |
9.1.40. z = arctg(x2 y) . |
|
|||||||||||
9.1.61–9.1.70. Вычислить двойной интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.1.61. |
∫∫ |
2xydxdy ; где область D – прямоугольник |
0 ≤ x ≤ 2 |
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y |
≤ 3 |
|
||||
9.1.62. ∫∫xydxdy ; где область D ограничена параболой |
|
y = x2 |
и прямыми |
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.63. |
∫∫ |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 3 |
|
||||||
xydxdy ; где область D – прямоугольник |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 2 |
|
|||||
9.1.64. |
∫∫ |
xy2dxdy ; где область D – прямоугольник |
0 ≤ x ≤ 1 |
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y |
2 |
|
||||
9.1.65. |
∫∫ |
x2 ydxdy ; где область D – прямоугольник |
0 ≤ x ≤ 1 |
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y |
4 |
|
||||
9.1.66. |
∫∫ |
xy3dxdy ; где область D – прямоугольник |
0 ≤ x ≤ 4 |
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y |
1 |
|
||||
9.1.67. ∫∫x2 ydxdy ; где область D ограничена параболой |
y = x2 |
и прямыми |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.68. ∫∫xy2dxdy ; где область D ограничена параболой |
|
|
y = x2 |
и прямыми |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.69. |
∫∫ |
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x +1)ydxdy ; где область D – прямоугольник |
|
|
|
. |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 2 |
||||||
9.1.70. |
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x2 +1)y2dxdy ; где область D – прямоугольник |
|
|
≤ y ≤ |
. |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
9.2.21–9.2.30. Найти стационарные точки функции F(x, y) и исследовать
их на локальный экстремум.
9.2.21.F(x, y) = −9x2 − 2y2 + 6xy + 54x − 24y − 85.
9.2.22.F(x, y) = 4x2 + 2y2 − 4xy + 36x − 28y +100.
9.2.23.F(x, y) = −4x2 −10y2 −12xy + 52x + 84y −170 .
16
9.2.24.F(x, y) = −4x2 − 8y2 −12xy − 52x − 72y −154 .
9.2.25.F(x, y) = 4x2 + 2y2 + 4xy + 28x +12y + 46 .
9.2.26.F(x, y) = −9x2 − 26y2 − 30xy +18x + 36y −10 .
9.2.27.F(x, y) = 4x2 + 26y2 + 20xy + 44x +116y +122 .
9.2.28.F(x, y) = x2 + 8y2 + 6xy +18x + 46y + 60 .
9.2.29.F(x, y) = −4x2 − 3y2 + 8xy + 56x − 50y −180 .
9.2.30.F(x, y) = x2 +10y2 + 6xy + 2y + 5.
Задания на контрольные работы № 1 – 2 для студентов 1 курса заочной формы обучения направления
190700.62 – Технология транспортных процессов, профиль – ТЕ.
№ |
Контрольная работа №1 |
Контрольная работа №2 |
1 |
2.1.51–2.1.60 |
7.3.1–7.3.10 |
2 |
3.1.1–3.1.10 |
8.2.11–8.2.20 |
3 |
6.2.1–6.2.10 |
8.3.1–8.3.10 |
4 |
6.3.11–6.3.20 |
9.1.31–9.1.40 |
5 |
7.1.11–7.1.20 |
9.2.21–9.2.30 |
Контрольные работы содержат 5 типов задач. Выбор производится следующим образом. Последняя цифра учебного шифра студента совпадает с последней цифрой номера задачи каждого типа.
17