Sapunov_Prikladnaya_teoriya_uprugosti_2008

+ (τxyl + σym + τzyn −Y )δv + (τxzl + τyzm + σzn − Z )δw ]d Σ = 0 .

Как и при построении метода Рэлея – Ритца, перемещения u , v , w задаются в форме рядов (3.10), содержащих аппроксими-

рующие функции fm (x , y , z), ϕm (x, y , z), ψm (x, y , z), удовлетворяющие граничным условиям, и неизвестные параметрыam , bm , cm , подлежащие определению. В этом случае в вариационном уравнении Лагранжа остается только объемный интеграл

в котором вариации перемещений δu , δv , δw будут определяться теми же соотношения (3.10), но с заменой параметров am , bm , cm на их вариации δam , δbm , δcm .

В силу произвольности возможных перемещений, определяемых вариациями δam , δbm , δcm , уравнение (3.21) распадается на совокупность уравнений, общее число которых равно числу коэффициентов am , bm , cm . Приведем три уравнения для отыскания одной группы коэффициентов am , bm , cm :

131

В эти соотношения вместо напряжений должны быть подставлены их представления через перемещения, получаемые с использованием зависимостей Коши и уравнения линейного физического закона.

На уравнения, составляемые по методу Бубнова – Галеркина, можно смотреть как на уравнения, вытекающие из условий ортогональности функций1.

Метод интегрирования уравнений Бубнова – Галеркина сводится к тому, что в эти уравнения вместо искомых функций подставляются принятые для них соотношения с неопределенными (неизвестными) коэффициентами. После этого каждое уравнение умножают поочередно на каждый член ряда (3.10), полагая в нем значения коэффициентов am , bm , cm равными единице, или, что то же

самое, умножают на производные рядов (3.10) по переменным am , bm , cm и интегрируют полученные соотношения по объему тела.

Отметим, что если метод Рэлея – Ритца построен на использовании того или иного вариационного принципа и не требует знания, например, дифференциальных уравнений равновесия, то метод Бубнова – Галеркина не связан непосредственно с вариационной проблемой, и его можно рассматривать как некоторый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений вообще (и не только в теории упругости).

1 Две функции ψ(x) и ϕ(x) ортогональны на интервале [a, b ], если

∫abψ(x)ϕ(x)dx = 0 .

132

Задачи

3.4. Изгиб шарнирно опертой прямоугольной пластины под действием распределенной поперечной нагрузки p (x , y).

Метод Бубнова – Галеркина использует представление принципа Лагранжа в форме уравнения, включающего дифференциальные уравнения равновесия в области, занятой телом, и статические граничные условия на части поверхности, где заданы поверхностные силы.

Напомним, что определяющим уравнением при изгибе жестких пластин является бигармоническое уравнение

где ϕmn (x, y)= sin(mπx / a)sin(nπy / b).

Как уже отмечалось, подобное представление прогиба, с одной стороны, дает возможность удовлетворить граничные условия (и геометрические, и статические) на шарнирно опертых краях пластины, а с другой − включает параметры Amn ,

позволяющие варьирование функции w = w(x , y).

Соответственно, определяющее уравнение метода Бубнова – Галеркина (3.11) для рассматриваемой задачи принимает вид:

Оставляя конечное число слагаемых в соотношении для прогиба, получим соответствующее число уравнений для отыскания параметров Amn :

∫∫ [D 2 2 w − p (x, y)]ϕmn dA = 0 ( m =1, 2, ..., k ; n =1, 2, ..., k ) .

A

133

Процедуру дальнейшего решения задачи рассмотрим в первом приближении, принимая, что пластина нагружена равномерно распределенным давлением p0 , и

оставляя в соотношении для прогиба пластины только один член ряда:

Соответственно, после преобразований в квадратной скобке подынтегрального выражения, уравнение для определения параметра A11 будет иметь вид:

Отметим, что полученное значение параметра A11 совпадает с его значением, ранее найденным при решении задачи 3.2 методом Рэлея − Ритца.

Рассмотрим решения задачи во втором приближении, принимая, что пластина нагружена равномерно распределенным давлением p0 , и оставляя в соотношении

для прогиба пластины два слагаемых ряда:

Отметим, что все члены ряда с четными индексами m и n обращаются в нуль, поскольку при равномерном нагружении пластины изогнутая поверхность пластины будет симметричной относительно осей x = a / 2 и y = b / 2 . Слагаемые, определяемые четными значениями m и n , являются несимметричными относительно этих осей и, соответственно, должны быть приравнены нулю.

Принимая во внимание, что вариация функции прогибов определяется соотношением

134

определяющее уравнение метода Бубнова – Галеркина будет иметь вид:

В силу независимости вариаций δA11 и δA13 уравнение (3.21) распадается на два уравнения, позволяющие определить два неизвестных параметра A11 и A13 :

Проведем предварительно преобразования соотношения, стоящего в квадратной скобке подынтегрального выражения. Будем иметь:

D 2 2 w − p 0 = π4D A11 a12 + b12 2 sin πax sin πby +

Подставляя полученное соотношение в систему уравнений относительно параметров A11 и A13 , после интегрирования получим:

Отметим, что при решении задачи об изгибе шарнирно опертой прямоугольной пластины под действием распределенной поперечной нагрузки методами Рэлея − Ритца и Бубнова – Галеркина прогиб пластины w = w (x , y) представлялся в

виде двойного тригонометрического ряда, и при этом использовались одни и те же аппроксимирующие функции. Поскольку в обеих методах определяющим являет-

135

ся вариационное уравнение Лагранжа (хотя и в разных формах записи), то, естественно, что при одинаковых аппроксимирующих прогиб функциях результаты решения задачи совпадают.

В большинстве случаев использование метода Бубнова – Галеркина при решениях задач рассмотренного типа приводит к менее громоздким выкладкам, чем применение метода Рэлея − Ритца.

3.5. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки p0 .

Размеры пластины и направления координатных осей в рассматриваемой задаче примем такими же, как и для шарнирно опертой прямоугольной пластины (см.

рис. 2.1).

Из характера закрепления пластины следует, что прогиб w и соответствующий угол поворота ( ∂w / ∂x или ∂w / ∂y ) в точках края пластины должны быть равны нулю:

136

Подобная форма представления прогиба, с одной стороны, дает возможность удовлетворить граничные условия (и геометрические, и статические) на шарнирно опертых краях пластины, а с другой − включает параметры Amn , позволяющие

варьирование функции w = w (x , y).

Определяющее уравнение метода Бубнова – Галеркина (3.11) для рассматриваемой задачи принимает вид:

Оставляя конечное число слагаемых в соотношении для прогиба, получим соответствующее число уравнений для отыскания параметров Amn :

∫∫ [D 2 2 w − p0 ]ϕmn dA = 0 ( m =1, 2, ..., k ; n =1, 2, ..., k ) .

A

Процедуру дальнейшего решения задачи рассмотрим в первом приближении, оставляя в соотношении для прогиба пластины только один член ряда:

Соответственно, после преобразований в квадратной скобке подынтегрального выражения уравнение для определения параметра A11 будет иметь вид:

или после упрощений

137

Окончательно, для определяемого параметра A11 получаем:

Максимальный прогиб в центре квадратной пластины ( a = b ), найденный при коэффициенте Пуассона ν = 0,3 , будет равен:

Полученное приближенное значение максимального прогиба отличается от точного wmax = 0,0138p0 a4 / Eh3 меньше чем на 1,5% .

138