umf

14 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка

y0 проекция на Rnx точки P = (y0, p0(y0), u0(y0)) R2n+1.

Точки P поверхности задаются условием L(P ) = 0, соответственно, касательное пространство TP задаётся условием dL(ξ) = 0, или (Lx · ξx) + (Lp · ξp) + Lwξw = 0. Далее, плоскости ΦP задаются условием α = 0, откуда для любого ξ ΦP имеем (p · ξx) − ξw = 0. Ввиду нехарактеристичности лежандровой задачи Коши пересечение TP ∩ ΦP = MP имеет размерность 2n − 1. Векторы из пересечения удовлетворяют обоим указанным условиям, поэтому:

(Lx · ξx) + (Lp · ξp) + Lwξw = 0, (p · ξx) − ξw = 0

(Lx · ξx) + (Lp · ξp) + Lw(p · ξx) = 0 ((Lx + Lwp) · ξx) + (Lp · ξp) = 0

Вектор из поля lP тоже лежит в рассматриваемом пересечении. Рассмотрим такое векторное поле, удовлетворяющее всем уравнениям:

vx = Lp, vp = −Lx − Lwp, vw = (p · vx) = (p · Lp)

Для любого вектора ξ TP ∩ ΦP = MP выражение ω(ξ, v) даст как раз левую часть последнего уравнения; это означает, что поле v лежит в ортогональном дополнении к этому пересечению, а потому v и есть характеристическое поле.

Характеристическое поле найдено, по нему составляется характеристическая система (из 2n + 1 уравнений) и проделываются все те же операции, что и при решении задачи Коши для уравнения Гамильтона– Якоби. Осталось, однако, показать, что найденное решение существует и единственно.

Задача. Показать, что из нехарактеристичности задачи Коши следует нехарактеристичность и лежандровой задачи Коши.

Тогда согласно доказанной выше теореме решение существует и единственно.

Задача. Последнее, что осталось сделать показать, что у поверхности Λ, составленной из траекторий векторного поля v, πx будет диффеоморфизмом.

Итог. Итак, пусть задано уравнение ( ) и начальные условия u(r(y)) = u0(y). Тогда составляем характеристическую систему:

При этом функцию p0(y) узнаём из условий L(r(y), p0(y), u0(y)) = 0, ∂u∂y0 = (p0(y) · ∂y∂r ). Решая систему, получаем:

x = x(t) = X(y, t), p = p(t) = P (y, t), w = w(t) = U(y, t)

Отсюда выражаем y = y(x), t = t(x) и получаем ответ u(x) = U(y(x), t(x)).

Глава 2

Волновое уравнение

2.1Общие сведения о волновых уравнениях

Заметим, что волновое уравнение по своим свойствам заметно отличается от уравнений теплопроводности и Пуассона, что связано с тем, что оно описывает распространение волн. Логично ожидать, что для решения волнового уравнения не существует принципа максимума, так как при распространении волны максимум в разные моменты времени находится в разных точках. По этой причине доказательство теоремы единственности решения волнового уравнения отличается от предыдущих случаев.

Мы будем рассматривать волновое уравнение в неограниченном пространстве. Требуется найти функцию u(x, t), удовлетворяющую уравнению

∂2u = c2 u ∂t2

где x Rn, t - переменная времени. Реально мы рассмотрим размерности физические, где n = 1, 2, 3. Определение. Классическая задача Коши для волнового уравнения - задача отыскания функции u(x, t)

C2(Rn, (0, +∞)) T C(Rn, [0, +∞)) где x Rn, t > 0, удовлетворяющей условию:

Для решения этой задачи удобно воспользоваться следующим соображением. Пусть u(x, t) - решение классической задачи Коши. Тогда u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + z(x, t) где функции v(x, t), w(x, t), z(x, t) удовлетворяют уравнениям

Замечание. В силу линейности волнового уравнения решение классической задачи сводится к решению трех задач по-отдельности.

Замечание. Оказывается, что для решения классической задачи Коши для волнового уравнения необходимо решить лишь одну из трех задач, а именно задачу для функции w(x, t) для любой функции u1(x).

Пусть w(x, t) решение второй задачи Коши. Для того чтобы подчеркнуть, что u1(x) любая, обозначим ϕ(x) = u1(x). Рассмотри v(x, t) = ∂w∂t . Тогда

Таким образом функция v(x, t) = является решением первой задачи Коши, где надо лишь положить ϕ(x) = u0(x). Для того чтобы решить третью задачу Коши, зная решение второй задачи, необходимо воспользоваться принципомRДюамеля.

Определение. z(x, t) = 0t ω(t, τ, x)dτ - интеграл Дюамеля

Будем искать рещение третьей задачи в виде интеграла Дюамеля, где ω(t, τ, x) решение следующей некоторой задачи Коши, условия которой мы сейчас получим.

Преобразуем уравнение на z(x, t) в уравнение на ω(t, τ, x), наложив условие ω|t=τ = 0:

15

Общее решение этого уравнение пишется в виде w = f(ξ)+ g(η). Эта формула показывает, как распространяются волны с постоянной скоростью в одномерном случае: это волны, бегущие по и против оси x со скоростью c. Таким образом мы доказали следующее утверждение:

Утверждение. Пусть w(x, t) - произвольное решение одномерного волнового уравнения. Тогда w(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct).

Осталось подобрать такие функции f(x, t), g(x, t), удовлетворяющие условию задачи Коши. А именно

f(x) + g(x) = 0

−cf′(x) + cg′(x) = ϕ(x)

Из этих условий легко получить явные формула для f(x) и g(x):

g(x) = 1 R x ϕ(ζ)dζ, f(x) = − 1 R x ϕ(ζ)dζ

2c 0 2c 0

xZ+ct

w = 21c ϕ(ζ)dζ

x−ct

Таким образом разрешающий оператор для волнового уравнения в одномерном случае действует на ϕ(x) следующим образом:

xZ+ct

Stϕ = 21c ϕ(ζ)dζ

x−ct

Само же решение задачи Коши волнового уравнения в одномерном случае имеет вид

и называется формулой д’Аламебра.

2.3Решение волнового уравнения в одномерном случае. Формула Кирхгофа

Стоит отметить, что оператор сферически симметричен. Логично предположить, что в трехмерном случае, как и в одномерном, при наличии точеченого возмущения в точке x волны начнут распространяться во все стороны со скоростью c, то есть через какое-то время t это возмущение будет сосредоточено на сфере радиуса ct. В физике этот принцип называется принципом Гюйгенса-Френеля. Идея отыскания решения волнового уравнения в трехмерном пространстве такова: чтобы найти решение u(x,t) необходимо собрать начальное возмущение по сфере с центром в точке x радиуса ct.

Утверждение. Пусть имеется произвольная функция f(x) C2(R3) . Тогда

Доказательство. Для доказательства надо лишь убедиться, что функция w(x, τ) удовлетворяет волновому уравнению. Проблемы возникают при дифференцировании, так как x и τ стоят в пределах интегрирования, соотвественно необходимо переписать функцию в других переменных, а именно использовать замену

Последнее слагаемое стоит преобразовать, используя первую формулу Грина:

Последнее слагаемое в точности совпадает с выражением для w. Тем самым остается проверить, что остальные три слагаемых равны 0, что легко видеть, если подставить выражение для wτ .

при τ → 0 имеет особенность. Легко видеть, что никакой особенности нет, так как dσ → 0 как τ2, в силу чего w(τ) → 0 при τ → 0.

Таким образом мы получили довольно большой запас решений волнового уравнения в трехмерном пространстве, так как функция f(y) любая. Из этого большого запаса решений теперь необходимо выбрать те, которые будут решениями задачи Коши. Перепишем решение w(x, τ) положив τ = ct:

Таким образом разрешающий оператор волнового уравнения в трехмерном случае имеет вид:

- классическое решение задачи Коши.

2.4Решение волнового уравнения в двумерном случае. Формула Пуассона

В двумерном случае цель остается той же самой: необходимо найти разрешающий оператор St для решения задачи Коши:

Для решения данной задачи удобно воспользоваться методом спуска. Суть его заключается в том, что, зная решение задачи в R3, можно спроектировать его на подпространство R2. Формально это означает, что мы можем решать задачу Коши в R3, но только функция ϕ(x) не зависит от третьей переменной x3.

Обозначим z = (x, x3), где x R2, и будем решать следующую задачу:

полусфера

А интеграл по полусфере стоит переписать через координаты ξ R2, y = (ξ, y3).

Полусфера параматризуется следующим образом:

r = (y1, y2, y3) y1 = ξ1

y2 = ξ2 p

y3 = c2t2 − (ξ1 − x1)2 − (ξ2 − x2)2

Форма площади, как известно, имеет вид dσ = √gdξ1 dξ2, где g = det(gij ), gij - матрица первой квадратичной формы.

А для определителя этой матрицы получаем следующее выражение:

|ξ−x|≤ct

|y−x|≤ct

Теорема. (Формула Пуассона) Рассмотри задачу Коши

- классическое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что формула Пуассона хоть и похожа на формулу Кирхгофа, но качественно от нее отличается. В трехмерном случае возмущения, которые имели место при t0 < t не оказывают никакого влияния на решение u(x, t). Говорят, что в трехмерном случае волна имеет резкий фронт. В двумерном же случае возмущения, которые имели место при t0 < t, влияют на решение u(x, t), так как интеграл берется не по окружности, а по целому кругу |y − x| ≤ ct. Говорят, что в двумерном случае волна имеет нерезкий фронт. Так же стоит отметить, что скорость распространения волн во всех случаях конечна и равна c. Возмущения, имеющие место при t0 > t не влияют на u(x, t), в то время как для уравнения теплопроводности скорость является бесконечной. Формулы д’Аламбера, Пуассона и Кирхгофа автоматически дают теоремы существования решения волнового уравнения в R1, R2, R3 соотвественно.

2.5Закон сохранения энергии. Теорема единственности волнового уравнения.

Предположим, что функция u(x, t), x Rn, убывает по переменным x достаточно быстро при |x| → ∞ (вместе со своими производными). Тогда для волны u(x, t) можно определить функцию энергии:

Z

Rn

Теорема. (Закон сохранения энергии). Пусть u(x, t) C2 достаточно быстро убывает |x| → ∞ и удовлетворяет волновому уравнению utt = u. Тогда энергия этой волны сохраняется во времени.

|x|≤R

Для интеграла по области |x| ≤ R теперь можно применить первую формулу Грина:

|x|=R

Если для функции u(x, t) справедливо |ut ∂u∂r | ≤ R2+C α , α > 0, то имеет место следующая оценка

Z

|ut ∂u∂r dσ| ≤ 4π R2+C α R2

|x|=R

И тем самым

˙

E = 0