Vse_bomby_s_dokazatelstvami

Тогда

Получаем утверждение теоремы.

Интегральная теорема Коши.

Теорема. Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D и её производная непрерывна в D. Тогда интеграл от f(z) по любой замкнутой

кривой γ, лежащей в области D, равен нулю:. Доказательство. Если f(z) = u(x,y) + iv(x,y), то по формуле

Имеем,где.

Так как функция f(z) имеет непрерывную производную в области D, то частные производные первого порядка функции u,v непрерывны в

области D и выполняется условия Коши-Римана

В силу применимости формулы Грина следует, что J1 = J2 = 0. Таким образом

34. Интегральная формула Коши.

Пусть функция f(z) дифференцируема в односвзяной области D и пусть простая замкнутая кривая γ лежит вD и ориентирована положительно. Тогда для любой точки z, лежащей внутри γ, справедлива формула

- это называется интегральной формулой Коши. Доказательство. Функция f(ζ) / (ζ − z) дифференцируема в области D с выколотой точкой z. Выберем ρ так, чтобы круг | ζ − z | < ρ вместе с его границей Cρ: | ζ − z | = ρ лежал внутри γ. Тогда используя следствие из интегральной теоремы Коши, получаем

где .

Так как , то

и поэтому для доказательства достаточно установить, что J1 = 0.

В силу непррывности функции f(ζ) в точке z для любого найдется такое , что неравенство выполняется при | ζ

− z | < δ. Следовательно, если . Учитывая, что J1 не зависит от ρ, получаем J1 = 0, т.е. J = f(z). Формула доказана.

Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.

Если функция f регулярна в круге Br(a), где , то она представима в этом круге Br(a) в виде суммы сходящегося ряда Тейлора, т.е.

,где.

Доказательство.

Фиксируем произвольную точку . Тогда существует число r1 >

0 такое, что | z − a | < r1 < r. Пусть - ориентированная движением против хода часовой стрелки. Запишем интегральную формулу

Коши:. Преобразуем функцию , где ,к

виду Получаем разложение в сходящийся ряд

В итоге подинтегральная функция представима сходящимся на рядом

.

Ряд сходится равномерно на окружности . Поэтому ряд можно почленно интегрировать по окружности . В результате получаем равенство

.т.е. степенной ряд вида с

коэффициентамиЭти коэффициенты cn не зависят от выбора точки z или окружности , так как воспользовавшись формулой для производной получаем для cn необходимую формулу.

35. Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.

Всякая функция ω = f(z), регулярная в кольце ρ < | z − a | < R,

где , представима в этом кольце суммой сходящегося ряда Лорана,коэффициенты которого определяются по

формулам, где ,

причем ориентация окружности | ζ − a | = r положительная. Доказательство.Покажем что каждый коэффициент cn в формулу не

зависит от выбора . Функция регулярна в кольце ρ < | ζ − a | < R. Для любых чисел определим

окружности . По обобщенной теореме Коши получаем равенство

что и требовалось для доказательства независимости интеграла от выбора при каждом . Зафиксируем произаольную точку z0 в кольце ρ < | z − a | < R. Выберем числа r1,r2 такие, что ρ < r1 < | z0 − a | <r2 < R, и окружности ориентированные положительно. Тогда контур , является границей кольца r1 < | z − a | < r2, в к-ом по интегр. формуле Коши получаем

. Рассмотрим интеграл I2. Повторяя рассуждения для вывода ф. Тейлора,

где Рассмотрим интеграл I1. Представим в виде ряда

По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно , его можно почленно

интегрировать, получаем

Заменяя в формуле номера (n + 1) на ( − m) получаем равенство

,где

Так как точка z0 была выбрана в данном кольце произвольно, то складывая ряды получаем ряд Лорана.

Изолированные особые точки однозначного характера.

Определение 1. Пусть функция f не регулярна в точке , но регулярна в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда точку a называют изолированной особой точкой функции f.

Определение 2. Изолированная точка функции называется1)устранимой особой точкой, если существует конечный

предел ;

2)полюсом, если существует ; 3)существенно особой точкой, если не существует конечного или

бесконечного предела .

36. Вычеты.

Определение 1. Пусть - изолированная особая точка регулярной

функции . Пусть - положительно ориетированная окружность, причем 0 < r < ρ. Тогда вычетом функции f в

точке a называется число

Для получения более удобных выражений вычисления вычета функции, представим функцию её рядом Лорана с центром в точке a

.Получаем, что интеграл (1) равен коэффициенту c − 1. Определение 2. Пусть функция регулярна. Тогда вычетом

функции f в бесконечности называется число

Удобно записывать в виде

Лемма 1. Пусть a - полюс функции f порядка . Тогда справедлива

формула

Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов

Пусть дана область с кусочно-гладкой положительно ориетированной границей Γ. Пусть функция f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек и пусть к тому же функция f непрерывно продолжима на границу области G.

Тогда справедлива формула . Доказательство.Пусть область G ограничена. Так как число особых точек конечно, то существует числоr > 0 такое,

что , причем замыкание этих кругов попарно не

пересекаются. Определим множество . Множество тоже является областью с кусочно-гладкой

границей , где γk суть окружности ,

ориентированные по ходу часовой стрелки. Получили, что f регулярна на и непрерывна на

что и дает формулу 14.