Векторная Алгебра-2013
.pdf
|
75 |
|
44 |
117 |
|
23 |
|
|
|
Получаем a0 = ¡21 , a1 |
= |
21 , a2 = |
84 è |
a3 = ¡84 . |
|
|
|
||
|
|
75 |
44 |
117 |
23 |
|
|
|
|
ОТВЕТ: |
p(x) = ¡21 |
+ 21x + |
84 x2 ¡ 84x3 . |
|
|
|
|||
Действительно, взглянем на график. |
|
|
|
|
|
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
H2,4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H-2,0L |
|
|
|
|
|
|
|
H6,0L |
|
-2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
H-1,-4L |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
75 |
44 |
117 |
2 |
23 |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
pHxL=-€€€€€€€+€€€€€€€x+€€€€€€€€€€x |
|
-€€€€€€€x |
|
|||
|
|
|
|
21 |
21 |
84 |
|
84 |
|
|
-15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Для произвольных n различных точек на
плоскости существует единственный многочлен степени n ¡ 1, проходящий через каждую из этих точек.
Доказательство. Пусть (x1; y1), (x2; y2), . . . , (xn; yn) заданные точки. Обозначим искомый многочлен через
p(z) = a0 + a1z + a2z2 + : : : + an¡1zn¡1 :
Покажем, что n коэффициентов a0 , a1 , . . . , an¡1 можно по- добрать так, что будут выполняться равенства
p(x1) = y1; p(x2) = y2; : : : ; p(xn) = yn ;
или другими словами, что следующая СЛАУ будет иметь единственное решение:
> |
|
+ x1a1 |
+ x12a2 |
¡ |
; |
8 a0 |
+ : : : + x1n¡1an¡1 = y1 |
||||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
; |
> |
|
+ x2a1 |
+ x22a2 |
|
|
> a0 |
+ : : : + x2n¡1an 1 = y2 ; |
||||
> |
|
|
|
¡ |
|
< |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
|
|||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
+ xna1 |
+ xn2 a2 |
+ : : : + xnn¡1an 1 = yn : |
|
> a0 |
|||||
Рассмотрим главный определитель этой квадратной СЛАУ: |
||||||||||||
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
¢ ¢ ¢ |
n |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
x2 x2 |
x2 |
¢ ¢ ¢ |
x2 |
¡ |
¯ |
|
||||
|
¯ |
1 |
x1 x12 |
x13 |
x1n¡1 |
¯ |
|
|||||
|
¯ |
|
¯ |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
n |
1 |
|
||
|
¯ |
|
|
|
2 |
|
3 |
¢ ¢ ¢ |
n |
1 |
¯ |
|
¢ = |
¯ |
1 |
|
|
4 |
|
4 |
¢ ¢ ¢ |
4 |
¡ |
¯ |
: |
¯ |
x3 x3 |
x3 |
|
x3 |
¯ |
|||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
x ¡ |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
x4 |
x |
|
x |
|
|
¯ |
|
||
|
¯ |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
¯ |
|
||||||||
|
¯ |
1 |
x x2 |
x3 |
¢ ¢ ¢ |
xn 1 |
¯ |
|
||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
n |
|
n |
|
n |
|
n¡ |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|||||
Åñëè ¢ 6= 0, то согласно правилу Крамера, система всегда
будет иметь единственное решение. Следовательно, доказательство теоремы сводится к вычислению ¢, называемого
определителем Вандермонда в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда (1735 1796).
Определитель Вандермонда
|
Теорема 3. |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
¯ |
|
|
|
2 |
¢ ¢ ¢ |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
¯ |
1 |
x1 x12 |
¢ ¢ ¢ |
x1n¡1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
3 |
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|||||
¯ |
1 |
¢ ¢ ¢ |
|
¯ |
|
|
|
|
|||||||
¯ |
x2 |
x2 |
|
x2 |
¡ |
|
¯ |
|
|
Y |
|
|
|||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
· |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· ¡ |
|
|
||||
¯ |
1 |
x x2 |
|
xn 1 |
¯ |
= |
|
(xi |
|
xj) |
|||||
¯ |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||||||
¯ |
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
xn xn |
|
xn¡ |
|
¯ |
|
1 |
j<i n 1 |
|
|
|||||
¯ |
|
|
|
|
¢ ¢ ¢ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Смотри пример 4 главы 3 в задачнике Ефимова-Демидовича (в моем издании это стр. 122).
Åñëè âñå xi различны, то из Теоремы 2 вытекает, что ¢ 6= 0. Следовательно, через любые n различных точек плоскости проходит единственный многочлен степени n ¡ 1. ¥
10 сентября 2013 г. |
54 |
°c В. Мнухин |
8. Задачи и Упражнения
Упражнение. |
|
Решить СЛАУ методом Гаусса: |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
1) |
> |
2x1 ¡ 4x2 + x3 |
= ¡4 |
|||||||
|
|
8 |
||||||||||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
4x1 ¡ 8x2 + 7x3 = 2 |
||||||||
|
|
|
> ¡2x1 + 4x2 ¡ 3x3 = 5 |
|||||||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
2x1 + 4x2 ¡ 6x3 = 10 |
||||||||
|
|
2) |
> |
3x1 + 6x2 ¡ 9x3 = 15 |
||||||||
|
|
8 |
||||||||||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> ¡2x1 ¡ 3x2 + 4x3 = ¡6 |
|||||||||
|
|
3) |
8 |
x1 + x2 |
+ x3 |
= 24 |
||||||
|
|
> |
< |
3x1 |
+ 4x2 |
+ 9x3 |
= 125 |
|||||
|
|
x |
|
+ |
7x |
|
+ 3x |
+ |
x |
= 5 |
||
|
|
> |
2: |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
¡ |
|
|
||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
> |
x1 |
+ 3x2 + 5x3 ¡ 2x4 = 3 |
|||||||||
|
|
> |
x |
|
+ 5x |
|
|
9x + 8x = 1 |
||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
x + 5x + 4x + 3x = 1 |
|||||||||
|
|
: |
||||||||||
|
|
> |
5x1 |
+ 18x2 |
+ 4x3 |
+ 5x4 |
= 12 |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
5) |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
= 0 |
|
> |
2x1 ¡ x2 |
+ 2x3 ¡ x4 |
|||
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
+ 3x2 |
+ 8x3 |
+ x4 |
= 1 |
|
> 5x1 |
|||||
6) |
> |
x1 |
¡ x2 |
+ 2x3 |
|
¡ 2x5 |
= 3 |
8 |
|
||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
> |
¡2x1 |
+ 2x2 |
¡ 4x3 |
¡ x4 |
+ x5 |
= ¡5 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
: |
3x1 |
¡ 3x2 |
+ 7x3 |
+ x4 |
¡ 4x5 |
= 6 |
|
> |
Упражнение. Определить, при каком значении k система
имеет бесчисленное множество решений. Найти все эти ре-
шения. |
8 |
2x ¡ |
y = 2 |
|
: |
4x + |
ky = 4 |
|
< |
Упражнение. |
Решить методом Гаусса, а затем по Крамеру. |
|||||||||
|
||||||||||
1) |
8 |
3x + y ¡ 2z = ¡1 |
2) |
8 |
x1 |
¡ x2 |
+ x3 |
= 1 |
||
|
> |
x |
¡ z = ¡2 |
|
> |
|
2x2 ¡ x3 |
= 1 |
||
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
= 4 |
|
: |
|
+ 3x2 |
|
= 1 |
|
> ¡2x + 3y |
|
> 2x1 |
|
||||||
Упражнение. |
Вычислить определители |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
¡5 2 |
|
|
¯ |
|
1 |
3 |
¡ |
2 |
¯ |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
4 |
||
1) |
¯ |
¯ |
|
|
2 |
0 |
1 |
3) |
¯ |
2 |
|
3 |
¡2 ¡1 |
¯ |
||||||
7 3 |
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
2 |
|
1 |
|
1 |
3 |
¯ |
|||||||
|
¯ |
¯ |
2) |
¯ |
|
3 |
5 |
|
2 |
¯ |
|
¯ |
¡ |
¡ |
¯ |
|||||
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
¡ |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|||||
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
1 |
|
3 |
|
2 |
2 |
¯ |
||
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
¡ |
¯ |
||||
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
Упражнение. Вычислить определители приведением к тре-
угольному виду. |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
2 |
0 |
0 |
1 |
¯ |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
1 |
3 |
2 |
1 |
|
¯ |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
¯ |
||
1) |
¯ |
¯ |
2) |
¯ |
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
¯ |
||||
¯ |
1 |
2 |
3 |
2 |
¯ |
¯ |
¯ |
|||||||
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
2 |
3 |
3 |
2 |
¯ |
|
¯ |
1 |
3 |
4 |
4 |
4 |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
1 |
3 |
4 |
5 |
5 |
¯ |
||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
|||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
Упражнение. Показать, что ¯ |
1 |
b |
b |
2 |
¯ |
|
|
|
||
|
|
¯ |
1 |
c |
c2 |
¯ |
|
¡ |
¡ ¡ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= (b a)(c a)(c b). |
||
|
|
¯ 1 a a2 |
¯ |
|||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
Упражнение. Решить для каждого¯ |
значения¯ |
параметра a. |
||||||||
|
> |
2ax1 ¡ 23x2 |
+ 29x3 |
= 4 |
|
|
||||
8 |
|
|
||||||||
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
7x1 + ax2 + 4x3 |
|
= 7 |
|
|
|||||
> |
5x1 + 2x2 |
+ ax3 = 5 |
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение. Решить для каждого a è b.
> |
2x1 |
+ 3x2 |
|
= 1 |
> |
|
+ 4x2 |
+ x3 |
= 0 |
8 ax1 |
||||
< |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
: |
3x1 |
¡ bx2 |
|
= ¡2 |
> |
|
|||
Упражнение. Показать, что система
< |
= 0 |
8 (3 ¡ k)x + 4y |
:4x ¡ (3 + k)y = 0
имеет ненулевые решения только при k = ¡5 èëè k = 5.
Упражнение. Показать, что система
> |
5x1 |
+ 2x2 |
|
= 1 |
> |
|
|
+ 2x3 |
= 2 |
8 ax1 |
|
|||
< |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
: |
|
¡ 2x2 |
+ bx3 |
= 3 |
> x1 |
||||
Iимеет единственное решение при ab 6= 12;
Iимеет бесчисленное множество решений при a = 3 è b = 4
Iне имеет решений, если ab = 12, íî a 6= 3 èëè b 6= 4.
Упражнение. |
Вычислить определитель |
||||||||||
|
|||||||||||
¯ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
: : : |
n |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
1 |
|
0 |
|
3 |
: : : |
n |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
2 |
|
0 |
: : : |
n |
¯ |
: |
||
¯ |
|
|
|
¯ |
|||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
: : : : : : |
¯ |
|
||
¯ |
: : : : : : : : : |
¯ |
|
||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
: : : |
0 |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
¡ |
¡ |
¯ |
|
||||||
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
10 сентября 2013 г. |
58 |
°c В. Мнухин |
9. Базис на плоскости и в пространстве
Определение 15. |
|
Линейной комбинацией векторов |
¡! |
|||||||||||||||
|
a |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
¡! |
, . . . , |
¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
называется выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
¡! |
+ ® |
|
¡! |
¡! |
ãäå |
® |
; ® |
; : : : ; ® |
n 2 R |
: |
|
|
||||
|
|
a |
2 |
a |
2 |
+ : : : + ® a |
n |
; |
|
|
||||||||
|
1 1 |
|
|
n |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
Другими словами, линейная комбинация есть сумма произведений векторов на какие-нибудь числа ®1 , ®2 ,. . . ,®n .
Определение 16. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Утверждение 4. Векторы ¡! 6 |
¡! |
|
|
||
|
|
a = £ è |
b коллинеарны тогда |
||
и только тогда, когда |
¡! ¡! |
|
2 R |
|
|
|
|
a = ¸ b для некоторого числа ¸ |
|
. |
|
Доказательство. Вспомним определение произведения век-
¡! j b j
тора на число и заметим, что ¸ = ¡!
j a j .
¡! ¡!
Следствие. Если векторы a è b не коллинеарны, то ра-
венство
¡! ¡!
® a + ¯ b = £
возможно только при условии, что ® = ¯ = 0.
Доказательство. |
Действительно, пусть ® = 0 è |
®¡! ¡! |
|
||||||||||
|
a +¯ b = £. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
®¡! |
¡ |
¡! |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
a = |
|
|
¯ b , и значит |
¡! ¡! |
¡® |
|
|
|||||
|
¡! |
|
¡® ¢ |
¡! |
|
|
|||||||
|
a = |
|
¯ |
|
b èëè |
a = ¸ b ; ãäå ¸ = |
|
¯ |
: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
¡! |
||||||
Согласно предыдущему утверждению, это означает, что |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a è |
¡! |
|
b коллинеарны. Полученное противоречие доказывает спра- |
|
ведливость следствия. |
¥ |
Определение 17. |
Базисом на плоскости называют произ- |
|||||||||
|
||||||||||
вольную упорядоченную пару неколлинеарных векторов |
¡! |
|
||||||||
e |
1 |
è |
||||||||
¡!2 |
|
|
|
|
D¡!1 |
¡!2 E |
.) |
|
||
. |
(Иногда записывают |
B |
|
|
|
|||||
e |
|
= e |
; e |
|
|
|
|
|||
10 сентября 2013 г. |
60 |
°c В. Мнухин |
10. Задача о делении отрезка в заданном отношении
Задача 1. |
|
Даны точки M1(x1; y1; z1) è M2(x2; y2; z2). Говорят, |
|||||
что точка |
M |
|
|
¡¡¡¡¡! |
в отноше- |
||
|
делит направленный отрезок M |
M |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
íèè 1 : ¸ (или просто в отношении ¸), åñëè |
|
|
|
||||
|
|
j¡¡¡¡1 !j = ¸j¡¡¡¡!2 j |
ãäå ¸ > 0: |
|
|
||
|
|
M M |
MM ; |
|
|
||
Требуется найти координаты точки M , делящей отрезок в заданном отношении.
Решение.
ОТВЕТ: |
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!: |
|
M |
x |
11 + ¸ 2 |
; |
y |
11 + ¸ 2 |
; |
z |
11 + ¸ 2 |
|||
|
|
|
+ ¸x |
|
+ ¸y |
|
+ ¸z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. |
|
Даны точки M1(x1; y1; z1) è M2(x2; y2; z2). Середи- |
||||||||||||||||||
íà |
M |
отрезка |
¡¡¡¡¡! |
имеет координаты |
|
|
||||||||||||||
|
M |
M |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 ; |
|
|
2 ; |
|
|
|
|
!: |
|||
|
|
|
|
MÃ |
|
|
1 |
2 |
y1 |
2 |
z1 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ x |
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
+ z |
|
|
|