МАТ

АВ –плоская кривая, заданная параметрич. ур-ями

3)АВ:y = y(x), a ≤ x ≤ b

АВ – плоская кривая, заданная явным. ур-ем x = t, y = y(t), a ≤ t ≤ b

, = ( , ) 1 + 2( )

4)АВ: r = r(φ), α ≤ φ ≤ β

АВ – плоская кривая, заданная полярнымуравнением

, , limλ → 0 (2)

АВ , , (3) –криволинейный интеграл

АВ , , (4)–по координатам (2), (3), (4) – частные случаи криволинейного интеграла 2-го рода

Пусть Р(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) интегр. на этой кривой либо

А(x,y,z) = Р(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) (5)

А-векторное поле

АВ + + (6)

Физический смысл

Пусть –силовое поле, = (P,Q,R) =>работа, совершенная этой силой вдоль кривой АВ, вычисляется с помощью кратного интеграла

А = АВ + +

Cвойства криволинейного интеграла 2-го рода

Св. 1 При изменении направления интегрирования интеграла 2-го рода меняется знак на противоположный т.е.

АВ – простр. кривая, заданная параметрич. ур-ми

1св-во Адитивность:

Пусть z=f(x,y) интегр. в области D и пусть D при помощи кривой L разбивается на 2 непересекающиеся облD1 и D2 f(x,y) интегрируема в D1 и D2, причем:

Св-во 2 Линейность:

Пусть f(x,y) и g(x,y) интегрируема в обл. D и пусть , R * f (x, y) * q(x, y)

-интегрируемы в D, причем:

( * f ( x, y) * q( x, y))dxdy f ( x, y)dxdy q( x, y)dxdy

D D D

Cв-во 3:

Пусть f(x,y) и q(x,y) интегрируема в обл. D f(x,y)*q(x,y)-интегрируема в D. Св-во 4:

Пусть f(x,y) и q(x,y)- интегрируема в области D и всюду в D f ( x, y) q( x, y) f ( x, y)dxdy q( x, y)dxdy

D D

Св-во 5:

Пусть f(x,y) интегрируема в обл. D |f(x,y)| тоже интегрируемы в обл. D, причем:

f ( x, y )dxdy | f ( x, y) | dxdy D D

Св-во 6 Теорема о среднем:

Пусть f(x,y) интегр. в обл. D и m, M-точная верхн. и точная нижн. грани этой функции в обл. D

:

Св-во 7 Обобщенная теорема о среднем:

Пусть f(x,y) и q(x,y) интегрируемы в D и q(x,y) 0 в D( или q(x,y) 0-не мешает знак), и m и M- точная верх. И точная нижн. грани ф-ииf(x,y) в D : m M , что:

f ( x, y)q( x, y)dxdy q( x, y)dxdy D D

Св-во 8 Важное геометрическое св-во:

dxdy S , где S-площадь D

D

Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.

1) f ( x, y, z )ds , где S-поверх., заданное уравн. z=f(x,y) и она однозначно проектируема на пл.

S

XOYи DXYее проекция на эту пл.

xy

2)( x, y, z )ds , где S: x=f(y,z) и однозначно проектируется на коорд. пл. Oyz и Dyzпроекция

S

yz

3)( x, y, z )ds , где S: y=f(x,y) и однозначно проектируема на коорд. пл. Oxy иDxy-проекция

S

Sна коорд. пл.Oxz

yz

18)Поверхностные интегралы 2-го рода, свойства и вычисление

рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какуюлибо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

замкнуто плоскую кривую Lравна потоку ротора этого векторного поля через область D, ограниченного этим контуром.

21.Формула Стокса.

Пусть S ограниченная кусочно-гладкая поверхность с границей L, представляющей собой замкнутую кусочно-гладкую линию. = .

Т. Стокса. Пусть функции P,Q,Rперпендикулярны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка на S =>

где интеграл справа является криволинейным интегралом 2-го рода с положительным направлением обхода L.

1)Формула называется формулой Стокса. Она выражает связь между поверхностью

положительным направлением.

2)Функции P,Q,Rчасто являются компонентами векторного поля А=(P,Q,R).

3)Ф-ла Грина является частным случаем ф-лы Стокса, если векторное поле плоское А=(P,Q).

4)Ф-лу Стокса можно записать в след виде

5) Ф-лу Стокса можно записать в символах операций векторного поля.

22. Поток векторного поля.

Пусть в некоторой области D из R3определено векторное поле А=(P,Q,R). Потоком векторного поля А=(P,Q,R). Через поверхность Sназывается поверхностный интеграл 2 рода:

div > 0 — точка поля является источником; div < 0— точка поля является стоком;

div = 0 — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Величина div характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля

Используя понятие дивергенции можно вывести формулу Остроградского-Гаусса в виде:

24) Циркуляция векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором. Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Пусть = + + − радиус − вектор точки на контуре . Известно, что вектор =

+ + направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода и |d |=dl, где dl – дифференциал дуги кривой

( dl= ( )2 + 2 + ( )2 )

Криволинейный интеграл по замкнутом контуру L от скалярного произведения вектора на вектор d , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора вдоль L, то есть

C= = + +

25) Ротор векторного поля

Ротором векторного поля = ; ; + ; ; + ; ; называется вектор, обозначаемый rot (M) и определяемый формулой

rot (M)=( - ) + ( - ) + ( − )

Формулу можно записать с помощью символического определителя

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем формулу Стокса:

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора и ограниченную контуром L.

Направление ротора – это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.