Л_03_ГСЧ
.pdfМетод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
Идея метода: требуется сложить случайные числа с любым законом распределения, нормализовать их и перевести в нужный диапазон нормального распределения
Алгоритм получения случайных чисел x, распределенных по нормальному закону с
заданными математическим ожиданием mx и среднеквадратичным отклонением σx :
n
1. Сложить n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ: V ri
i 1
Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n (n берут равными 6 или 12)
2.С помощью формулы z = (V – mV)/σV нормализуем этот ряд. Получим нормализованный закон нормального распределения чисел Z. То есть mz = 0, σz = 1.
3.Формулой (сдвиг на mx и масштабирование на σx) преобразуем ряд Z в ряд x: x = z · σx + mx.
Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
Идея метода: требуется сложить случайные числа с любым законом распределения, нормализовать их и перевести в нужный диапазон нормального распределения
Алгоритм:
1. Сложить n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ
Числа V образуют ряд значений, распределенный по нормальному закону. Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n (n берут равными 6 или 12). Закон распределения чисел V имеет математическое ожидание mV = n/2, σV = sqrt(n/12).
Поэтому он является смещенным относительно заданного произвольного
2.С помощью формулы z = (V – mV)/σV нормализуем этот ряд. Получим нормализованный закон нормального распределения чисел Z. То есть mz = 0, σz = 1
3.Формулой (сдвиг на mx и масштабирование на σx) преобразуем ряд Z в ряд x: x = z · σx + mx Пример. Смоделируем поток заготовок для обработки на станке. Известно, что длина заготовки
колеблется случайным образом. Средняя длина заготовки составляет 35 см, а среднеквадратичное отклонение реальной длины от средней составляет 10 см
По условиям задачи mx = 35, σx = 10. Тогда значение случайной величины будет рассчитываться по формуле:
V = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6,
где r — случайные числа из ГСЧрр [0; 1], n = 6
X = σx · (sqrt(12/n) · (V – n/2)) + mx = 10 · sqrt(2) · (V – 3) + 35 или X = 10 · sqrt(2) · ((r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6) – 3) + 35
Метод Мюллера
Нормальные числа методом Мюллера получают с помощью формулы:
Х 
2 * Ln r1 * cos 2 * r2
где r1 и r2 — случайные числа из ГСЧрр [0; 1]
Можно также воспользоваться аналогичной формулой
Х 
2 * Ln r1 * sin 2 * r2
где r1 и r2 — случайные числа из ГСЧрр [0; 1]
Пример. Материал поступает в цех один раз в сутки по 10 штук сразу. Расход материала из цеха случайный по нормальному закону с математическим ожиданием m = 10 и среднеквадратичным отклонением σ = 3.5. Вычислить вероятность дефицита на складе при запасе материала в начальный момент времени 20 штук
Для N дней подсчитаем число дней с дефицитом на складе:
Нормальное нормализованное случайное число : Х 
2 * Ln r1 * cos 2 * r2 Ежедневный расход материалов (нормальное число): Z= σ Х + m
Дефицит наступит , если (запас материала+10)-Z<0 (в первый день запас материала=20) Количество дней, в течение которых наблюдался дефицит, К
Вероятность дефицита на складе Р=К/N
Распределение |
Рекомендации по использованию |
|
Равномерное |
Используется при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, |
|
распределение |
т.е. значения переменной равномерно распределены в некоторой области |
|
|
|
|
Нормальное |
Используется для моделирования реальных явлений, в которых имеется сильная |
|
распределение |
тенденция данных группироваться вокруг центра; |
положительные и отрицательные |
|
отклонения от центра равновероятны; частота отклонений быстро падает, когда |
|
|
отклонения от центра становятся большими |
|
|
|
|
Биномиальное |
Используется для описания распределения биномиальных событий (количество |
|
распределение |
мужчин и женщин в случайно выбранных компаниях). Особую важность имеет |
|
|
применение биномиального распределения в игровых задачах |
|
|
|
|
Распределение |
Используется как распределение редких событий (число несчастных случаев, число |
|
Пуассона |
дефектов в производственном процессе и т.д). Если число событий имеет распределение |
|
|
Пуассона, то интервалы между событиями имеют экспоненциальное или показательное |
|
|
распределение |
|
Бета-распределение |
Стандартное бета-распределение сосредоточено |
на отрезке от 0 до 1. Применяя |
|
линейные преобразования, бетавеличину можно преобразовать так, что она будет |
|
|
принимать значения на любом интервале |
|
|
|
|
Гамма- |
Используется для моделирования таких событий, как интервалы между приходами |
|
распределение |
покупателей в магазин или заходами на сайт |
|
Экспоненциальное |
Используется для описания интервалов между последовательными случайными |
|
распределение |
редкими событиями (например, интервалов между заходами на непопулярный сайт). |
|
|
|
|
Распределение |
Используется для описания времен отказов разного типа в теории надежности и |
|
Вейбулла |
страховании если вероятность отказа меняется с течением времени |
|
Распределение |
Используется при моделировании экстремальных событий (уровней наводнений, |
|
экстремальных |
скоростей вихрей, максимума индексов рынков ценных бумаг за данный год и т.д.), в |
|
значений |
теории надежности для описания времени отказа электрических схем, а также в в |
|
|
актуарных расчетах |
|
Распределение |
Рекомендации по использованию |
|
|
Распределение Эрланга |
Является распределением суммы n независимых, одинаково |
|
распределенных случайных величин, каждая из которых имеет |
|
показательное распределение с параметром nµ. При n = 1 распределение |
|
Эрланга совпадает с показательным или экспоненциальным распределением. |
|
|
Распределение Лапласа (двойное |
Используется для описания распределения ошибок в моделях регрессии |
экспоненциальное распределение) |
|
|
|
Логнормальное распределение |
Используется при моделировании таких переменных, как доходы, возраст |
|
новобрачных или допустимое отклонение от стандарта вредных веществ в |
|
продуктах питания (если величина x имеет нормальное распределение, то |
|
величина у=еx имеет Логнормальное распределение) |
|
|
Хи-квадрат-распределение |
Используется при анализе данных (сумма квадратов t независимых |
|
нормальных величин со средним 0 и дисперсией 1 имеет хи-квадрат- |
|
распределение с t степенями свободы) |
|
|
Распределение арксинуса |
Распределение связано со случайным блужданием. Это распределение |
|
доли времени, в течение которого первый игрок находится в выигрыше при |
|
бросании симметричной монеты, то есть монеты, которая с равными |
|
вероятностями S падает на герб и решку. По-другому такую игру можно |
|
рассматривать как случайное блуждание частицы, которая, стартуя из нуля, с |
|
равными вероятностями делает единичные скачки вправо или влево |
|
|
Геометрическое распределение |
Если проводятся независимые испытания Бернулли и подсчитывается |
|
количество испытаний до наступления следующего «успеха», то это число |
|
имеет геометрическое распределение (число подбрасываний, которое вам |
|
нужно сделать до выпадения очередного герба, подчиняется |
|
геометрическому закону) |
|
|
Распределение |
Рекомендации по использованию |
Гипергеометрическое распределение |
Связано с выбором без возвращения и определяет, например, |
|
вероятность найти ровно т черных шаров в случайной выборке объема n |
|
из генеральной совокупности, содержащей N шаров, среди которых М |
|
черных и N - М белых |
|
|
Отрицательное биномиальное |
Распределение интерпретируется как распределение времени ожидания |
распределение |
r-го «успеха» в схеме испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р, |
|
например, количество бросков, которые нужно сделать до второго |
|
выпадения герба, в этом случае оно иногда называется распределением |
|
Паскаля и является дискретным аналогом гамма-распределения. При r = 1 |
|
отрицательное биномиальное распределение совпадает с геометрическим |
|
распределением |
|
|
Полиномиальное распределение |
Это совместное распределение вероятностей случайных величин |
|
X1,...,Xk, принимающих целые неотрицательные значения n1,...,nk, |
|
удовлетворяющие условию n1 + ... + nk = n, c вероятностями (когда |
|
бросается игральная кость и имеется больше двух возможных исходов) |
|
|
Распределение Парето |
Используется в страховании или в налогообложении, когда интерес |
|
представляют доходы, которые превосходят некоторую величину c0 |
|
|
Хотеллинга Т2 -распределение |
Используют в математической статистике в той же ситуации, что и Хи- |
|
квадрат-распределение и Стьюдента, но только в многомерном случае |
|
|
Распределение Коши |
Такие распределения называют распределениями с тяжелыми хвостами. |
|
Если вам нужно придумать распределение, не имеющее среднего, то сразу |
|
называйте распределение Коши |
|
|
Распределение Максвелла |
Возникло в физике при описании распределения скоростей молекул |
|
идеального газа |
|
|