Л_04_Поток случайных событий

Потоки с последействием (потоки Эрланга)

Если события в потоке следуют точно одно за другим каждые 12 минут без отклонений, то интенсивность такого потока будет равна 5 событий в час.

Если события будут идти случайно каждые 12 ± 2 минуты, то и они в среднем дадут также 5 событий в час

Только по интенсивность нельзя отличить потоки друг от друга Первый поток называется детерминированным, регулярным, второй — случайным

Мера случайности с увеличением дисперсии (разброса величины интервала между событиями) будет возрастать

В детерминированном потоке дисперсия равна нулю

Дисперсия определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления

Если предсказать каждое следующее событие трудно, то поток — без последействия (или с малым последействием, связь между событиями отсутствует, события случайны)

Если поток детерминирован, то последействие велико — каждой событие практически предсказывает момент появления следующего

Поток Эрланга k-го порядка — поток случайных событий, получающийся, если в простейшем случайном потоке сохранить каждое k-е событие, а остальные отбросить

Порядок потока — мера последействия потока (порядок потока является обратной величиной к мере случайности )

Просеивание событий приводить к тому, что между точками появляется последействие, детерминация, которая тем выше, чем больше k. С увеличением k точки ложатся на ось времени все более равномерно, разброс их уменьшается, регулярность увеличивается

Интервал между событиями в потоке Эрланга k-го порядка: Эрк k Эрi

i

i 1

Плотность вероятности распределения интервалов между случайными событиями в потоке

Эрланга k-го порядка: f T ( t)k 1 e t

Параметры закона Эрланга вычисляются по формулам:

Mk = 1/λk, σk = 1/(sqrt(k)*λk), к=1/(σk2*λk2)

Поток Эрланга 1-го порядка: m = σ1 — поток без последействия

Поток Эрланга i-го порядка: m ≠ σ2, при этом (σ2 > 0) и (σ1 > σ2) разброс уменьшается, последействие увеличивается

Поток Эрланга ∞-го порядка: m ≠ σ = 0 — регулярный поток

Пример. Рассмотрим выход из строя лампочек на опоре уличного освещения. Примем время наблюдения 100 лет. Из паспортных данных на эти изделия известно, что среднее время работы изделия на отказ составляет 1.5 года и среднеквадратическое отклонение — 0.5 года, то есть, задано: Mk = 1.5, σk = 0.5.

Поскольку Mk ≠ σk, то k ≠ 1, то есть мы имеем дело с потоком с последействием

Интенсивность этого потока λk = 1/Mk = 1/1.5 = 0.67

- в течение года в среднем перегорает 0.67лампочки или 67 лампочек за 100 лет

Вычислим σk = 1/(sqrt(k)*λk)= 0.5

Вычислим порядок потока Эрланга: k =1/σ2/λk2=1/0.52/0.672≈9

Вычислим интенсивность порождающего потока Пуассона

λ = λk · k = 0.67 · 9 = 6