LabTAU7-9

Можно видеть, что полюса расположены приблизительно в области собственной частоты 9pi/20T (рад./выб.) и скорости затухания 0,25.

Принимая, что время выборки составляет 1/20 с (что приводит к Wn = 28.2 рад/с), и используя приведенные выше три уравнения, определяем, что рассматриваемая система должна иметь время нарастания 0,06 с, время установления 0,65 с и максимальное перерегулирование 45% (установившегося значения). Получим переходную характеристику и покажем, что эти утверждения верны. Для этого добавим приведенные ниже команды в m-file и вернемся в командное окно. После запуска получим переходную характеристику.

[х] = dstep (numDz, denDz, 51); t = 0:0.05:2.5;

stairs (t, x)

Рис. 7.4. Переходная характеристика дискретной ПФ

На графике видно, что время нарастания, время установления и перерегулирование таковы, как и предполагалось. Таким образом, мы доказали, что можно использовать расположение полюсов и приведенные три уравнения для анализа переходной характеристики.

Средство просмотра LTI для анализа реакции системы.

Синтаксис: Ltiview

11

Ltiview (sysl, sys2, ..., sysn)

Ltiview (’plottype’, sysl, sys2, ..., sysn) Ltiview (’plottype’, sys, extras) Ltiview (’ clear’, viewers)

Ltiview (’current’, sys1, sys2, ..., sysn, viewers)

Вызов Ltiview без параметров инициализирует новое LTI-средство просмотра для LTI анализа реакции системы.

Ltiview (sysl, sys2, ..., sysn) открывает LTI Средство просмотра, содержащее реакцию на скачок LTI-моделей sysl, sys2, ..., sysn. Для каждой из систем можно определить отличительный цвет, тип линии

имаркер:

>>Sysl = rss (3, 2, 2);

>>Sys2 = rss (4, 2, 2);

>>Ltiview (sysl, ’ r- * ’, sys2, ’ м. - ’);

Ltiview (’plottype’, sys) инициализирует LTI-средство просмотра, содержащее тип реакции, обозначенный как plottype для модели системы. Значение plottype может быть любым из:

–’step’

–’impulse’

–’initial’

–’lsim’

–’pzmap’

–’bode’

–’nyquist’

–’nichols’

–’sigma’

Кроме того, plottype может представлять собой вектор размерностью до шести из таких типов. Например, команда Ltiview ({ ’step’ ; ’nyquist’ }, sys) показывает графики обоих типов реакции для данной системы. Ltiview (plottype, sys, extras) допускают наличие дополнительных входных аргументов, поддерживаемых различными частотными характеристиками модели LTI, которые будут переданы к команде Ltiview. Extras - один или более входных аргументов, определенных функцией в plottype. Эти аргументы могут быть обязательными или опциональными в зависимости от типа LTI реакции. Например, если plottype - ’step’, тогда extras может представлять собой

12

желаемое время завершения Tfinal, как показано ниже. Ltiview (’step’, sys, Tfinal)

Однако если plottype - ’initial’, аргументы extras должны содержать начальные условия х0, а также могут содержать аргументы типа Tfinal:

Ltiview (’initial’, sys, x0, Tfinal)

Ltiview (’ clear ’, viewers) очищают графики и данные от LTIсредств просмотра с дескрипторами viewers.

Ltiview(’current’, sysl, sys2, ..., sysn, viewers) добавляет новые записи реакции систем sysl, sys2, ..., sysn на LTI-средства просмотра с дескрипторами viewers.

Если эти новые системы имеют размерность входа/выхода, отличную от текущей размерности LTI-средства просмотра, то оно предварительно очищается, после чего отображаются новые реакции систем.

Команды

Ltiview(plottype, sysl, sys2, ..., sysN) Ltiview(plottype, sysl, PlotStylel, sys2, PlotStyle2, ...) Ltiview(plottype, sysl, sys2, ..., sysN, extras)

инициализируют LTI-средство просмотра, содержащее реакции множества моделей, используя графические стили, указанные в PlotStyle.

7.3. Задание к лабораторной работе

Выполнение лабораторной работы подразумевает осуществление следующих действий:

1.Задание модели в виде непрерывной передаточной функции.

2.Проведение дискретизации передаточной функции с использованием:

–экстраполятора нулевого порядка;

–экстраполятора первого порядка;

–преобразованием Тастина.

3.Получение переходных характеристик непрерывных и дискретных систем.

4.Получение переходных характеристик при разных шагах дискретизации по времени.

13

5.Проведение исследования колебательного годографа и определение устойчивости системы.

6.Преобразование системы к пространству состояний и получение дискретной модели системы в пространстве состояний.

7.Применение команды Ltiview с различными параметрами.

Варианты заданий

Исследуемая передаточная функция системы:

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение дискретных систем. Какова структура и классификация импульсных систем?

2.Поясните методы определения передаточных функций дискретных систем.

3.Каким образом определяются частотные характеристики импульсных систем?

14

4.Какими способами определяются переходные процессы в дискретных системах?

5.Сформулируйте условия устойчивости импульсных систем.

8. Исследование дискретного ПИД-регулятора

Цель работы: исследование дискретного ПИД-регулятора средствами Matlab (пакет Simulink).

8.1. Методические указания

Структура цифровой системы управления включает аналоговый или цифровой регулятор в прямой цепи или цепи обратной связи. Для решения задачи синтеза используют два альтернативных подхода: по первому выполняют аналоговую аппроксимацию цифровой части системы, а затем для полностью непрерывной системы решают задачу непрерывного синтеза. По второму получают дискретную модель аналоговой части и затем для полностью цифровой системы используют специальные дискретные методы синтеза.

Непрерывный ПИД-регулятор получил широкое распространение при конструировании систем управления линейными объектами. Алгоритм работы ПИД-регулятора описывается выражением

где kП; kИ; kД – коэффициенты передачи соответственно для пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих выходного сигнала.

В цифровых системах управления входная величина e(t) регулятора квантуются в аналого-цифровом преобразователе (АЦП) по времени с интервалом дискретизации T , и на его вход поступает дискретная последовательность e(n). Выходная последовательность u(n) дискретного ПИД-регулятора формируется в виде суммы

u(n) = uП(n) + uИ(n) + uД(n);

где uП; uИ; uД – соответственно пропорциональная, интегральная и дифференциальная составляющие. В зависимости от выбранного метода перехода от непрерывных операторов к их дискретным аналогам

15

возникают различные варианты уравнений, описывающих дискретные ПИД-регуляторы.

Пропорциональная составляющая определяется формулой

uП(n) = kПe(n):

Интегральную составляющую можно аппроксимировать конечной суммой, применив метод прямоугольников или трапеций. При использовании метода прямоугольников (рис. 8.1, а) получаем

n=1

X uИ(n) = kИT e(m):

m=0

В том случае, когда для выполнения операции интегрирования применяется метод трапеций (рис. 8.1, б ), будем иметь

m=1

Рис. 8.1. Геометрическое представление интегрирования: а – по методу прямоугольников; б – по методу трапеций

Производная функции e(n) в момент времени t = Tn аппроксими-

Таким образом, при использовании метода прямоугольников алгоритм работы дискретного ПИД-регулятора описывается выражением

16

Предполагается, что регулятор реализуется с помощью цифровых устройств и эквивалентная структурная схема включает дискретный фильтр (регулятор), реализующий требуемый закон управления, простейшее импульсное звено и передаточную функцию приведенной непрерывной части (ПНЧ):

Рис. 8.2. Эквивалентная схема системы управления с дискретным регулятором

Типовые законы управления в дискретном случае определяются следующим образом.

Пропорциональный закон был описан выше, его передаточная

функция имеет вид

WР(z) = kП:

Пропорционально-суммарный закон (аналог ПИ-закона), или ПСзакон (ПС-регулятор):

где E 1 – обратный оператор сдвига: E 1[k0] = [(k 1)T0]; n = kT0.

Пропорционально-разностный закон (аналог ПД-закона), или ПР-закон (ПР-регулятор):

u[kT0] = kП + kР 1 E 1 e[kT0]; WР(z) = kП + kР z z 1:

Передаточная функция пропорционально-суммарно-разностного закона (аналог ПИД-закона), или ПСР-закона (ПСР-регулятора):

Дискретная аппроксимация непрерывной части системы может быть выполнена с использованием z-преобразования или алгебраической дискретизации с помощью конечно-разностных алгоритмов:

17

В общем виде дискретная передаточная функция непрерывной части определяется следующим образом:

WП(z) = ZT fWП(s)g:

В нашем случае оригинал будет иметь вид

X(s) = BA((ss));

B(s) и A(s) – полиномы от s степени m и n соответственно, причем m < n.

Если все полюсы si(i = 1; 2; :::; n) данной функции (т. е. корни уравнения A(s) = 0) различны, то

изображение.

Так как передаточная функция (в изображениях Лапласа) формирующего звена имеет вид

WФ(s) = AИ(1 e T0s); s

тогда, приняв AИ = 1, = 1, передаточная функция (в изображениях Лапласа) ПНЧ запишется в виде

WП(s) = WФ(s)WН(s) = 1 e T0s WН(s): s

Дискретная передаточная функция ПНЧ имеет следующий вид:

18

Учитывая формулу для вычисления ZT -изображения от оригинала, содержащего множитель e s, = kT0:

no

Y (z) = ZT e kT0 X(s) = z kZT fX(s)g = z kX (z);

Используя эту передаточную функцию, можно построить структурную схему дискретной модели цифровой системы управления.

Пример. Рассмотрим пример построения дискретной системы управления. Дискретный элемент представляет фиксатор нулевого порядка, период квантования равен T0 = 0; 1 и передаточная функция непрерывной части есть

1 WН(s) = s + 1:

Необходимо определить тип и параметры регулятора, при котором статическая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов.

Чтобы статическая ошибка была равна нулю, выберем пропорционально-суммарный закон управления:

WР(z) = kП + kС z z 1:

Передаточная функция формирующего звена имеет вид

WФ(s) = 1 e T0s ; s

передаточная функция приведенной непрерывной части –

19

Полюсами данной передаточной функции (т.е. корнями уравнения A(s) = s(s + 1) = 0) являются s1 = 0, s2 = 1 . Производная A’(s) = 2s + 1. Тогда

a0 = 1; a1 = 0; 1(kП + kC) 1; 9; a2 = 0; 9 0; 1kП;

b0 = 0; 1(k + kC); b1 = 0; 1kП:

Условие окончания переходного процесса за конечное число шагов a1 = a2 = ::: = an = 0 принимает вид

a1 = 0; 1(kП + kС) 1; 9 = 0;

a2 = 0; 9 0; 1kП = 0:

Следовательно: kП = 9; kС = 10:

8.2. Задание к лабораторной работе

1. Осуществить синтез регулятора для объекта управления в соответствии с вариантом задания (см. табл. 8.1).

20