Finansovaya_matematika_v_Excel_Levin_L_A
.pdf21
3. Простые проценты используются в случаях:
A – реинвестирования процентов;
B – выплаты процентов по мере их начисления;
C – краткосрочных ссуд, с однократным начислением процентов; D – ссуд, с длительностью менее одного года.
4.Точный процент – это:
A – капитализация процента; B – коммерческий процент;
C – расчет процентов, исходя из продолжительности года в 365 или 366 дней; D – расчет процентов с точным числом дней финансовой операции.
5.Точное число дней финансовой операции можно определить:
A – по специальным таблицам порядковых номеров дней года; B – используя прямой счет фактических дней между датами;
C – исходя из продолжительности каждого целого месяца в 30 дней; D – считая дату выдачи и дату погашения ссуды за один день.
6.Французская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции; B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции. 7. Германская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции; B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции. 8. Английская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции; B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
9.Расчет наращенной суммы в случае дискретно изменяющейся во времени процентной ставки по схеме простых процентов имеет следующий вид:
A – FV = PV (1 + Σn*кrк) B – FV = PV Σ (1 + nк*rк)
C – FV = PV (1 + n1*r1)(1 + n2*r2) : (1 + nк*rк) D – FV = PV (1 + n* rк)
10. Срок финансовой операции по схеме простых процентов определяется по формуле:
A – n = I / (PV * r)
B – n = [(FV - PV) / (FV * t)]* r
C – t = [(FV - PV) / (PV * r)] T D – n = [(FV - PV) / (FV *r)] T
11. Если в условиях финансовой операции отсутствует простая процентная ставка, то:
A – этого не может быть;
B – ее можно определить по формуле i = [(FV - PV) / (PV • t)]•T C – ее невозможно определить
D – ее можно определить по формуле i = Σ процентных чисел / дивизор
1.2.5.Задачи для самостоятельного решения
22
Для выполнения заданий создавайте таблицы, подобные приведенной на рисунке.
Вячейках А3:А11 размещаются наименования показателей финансовой операции (наименования показателей могут изменяться в зависимости от постановки задачи);
в ячейках В3:В9 размещаются исходные данные;
в ячейке В7 рассчитывается срок кредита =B6-B5, (если он не задан конкретно);
в ячейках В10:В11 записываются формулы
вычисления наращенной суммы и процентных денег (=B9*(1+B4*B7/B8) и =B10-B9, соответственно)
Примечание:
Вячейках столбцов C и D размещаются исходные данные и результаты решения задачи при различных значениях (вариантах) исходных данных.
Задание 1-1
1. Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 28% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
Ответ: FV= 57000; I= 7000 (руб.)
Задание 1-2
2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01.06 до 05.10.06 под 18% годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Ответ:
Английская схема – 127232,88 (руб.); Германская схема – 127500 (руб.); Французская схема – 129000 (руб.)
Задание 1-3
3. Кредит в размере 200000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
Ответ: kn = 1.83; FV = 165000
Задание 1-4
4. Ссуда выдана под 10% годовых сроком: а) на 5 месяцев; б) на 3 месяца. Определить процентную ставку за срок ссуды
Ответ: а) r =0, 0417; б) r = 0,025
Задание 1-5
5. Определить проценты, множитель наращения и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 тыс. руб., срок долга - 2 месяца, номинальная процентная ставка - 10%.
Ответ: PV = 101667 руб.
Задание 1-6
6. Вклад в 500 тыс. руб. был размещен в банке 11,06,2006 г. По ставке 80% годовых. При востребовании вклада 20.09.2006 г. вкладчику были начислены проценты в размере 110 тыс. руб. определите, какую практику начисления процентов использовал банк.
Ответ: Использовалась германская практика начисления процентов
23
Задание 1-7
7. Банк принимает вклады до востребования по ставке 10% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их начисления для вклада 500 тыс. руб., размещенного на срок с 5.01.2006 г. по 25.10.2006 г.
Ответ: FV=540136.99 руб.; I = 40136.99руб.
Задание 1-8
8. Определить процентную ставку, которую использует банк для вкладов до востребования, если при первоначальной сумме вклада 1000 руб. через 6 месяцев начислено 1084 руб.
Ответ: r = 16,8%
Задание 1-9
9. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: за I квартал – 230% годовых,
за 2-ой и третий – 240% годовых, за четвертый – 200% годовых.
Определить множитель наращения за год. Ответ: kn =4.55
Задание 1-10
10. Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб., чтобы накопить 700 тыс.руб. Ставка процентов банка составляет 60% годовых. Определите срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму (число дней в году равно 360).
Ответ: t = 240 дней
Задание 1-11
11. Вкладчик, решивший положить на депозит 250 тыс. руб., хочет накопить через год не менее 400 тыс. руб. Определить ставку процентов, на основании которой он может выбрать подходящий для этой цели банк.
Ответ: r =60%
1.3.СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
В финансовой практике основная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга.
За первый период начисления
FV1 = PV +I = PV *r = PV*(1+ r);
За два периода начисления при условии капитализации ранее наращенной суммы
FV2 = FV1 *(1+r)=PV*(1+ r)2
|
24 |
|
|
|
|
|
|
……. |
|
|
|
|
|
|
|
за n периодов начисления формула примет вид: |
|
|
|
|
|
||
FV = PV • (1 + r)n = PV • kн , |
( 1-20) |
|
|
|
|
|
|
где: |
|
|
|
|
|
|
|
FV – наращенная сумма долга; |
|
|
|
|
|
|
|
PV – первоначальная сумма долга; |
|
|
|
|
|
|
|
r – ставка процентов в периоде начисления; |
|
|
|
|
|
||
n – количество периодов начисления; |
|
|
|
|
|
|
|
kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов10. |
|
|
|||||
Эта формула (1-20) называется формулой сложных процентов. |
|
|
|||||
Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов образует |
|
||||||
возрастающую числовую последовательность PV, FV 1 , FV2 ,… FVn которая представляет |
|||||||
собой геометрическую прогрессию с первым членом –PV . |
|
|
|
|
|||
Геометрический рост по правилу сложных процентов при n > 1 обгоняет |
|
|
|||||
арифметическую прогрессию простых процентов. Так, например, трижды заработав на |
|
||||||
вложенные 10 тыс. руб. проценты (процентные деньги) по 1,5 тыс. руб. в год, вкладчик |
|
||||||
имеет в конце срока = 10 000 + 3*1 500 = 14,5 тыс. руб., тогда как |
наращение сложными |
||||||
процентами приносит ему будущую стоимость 15,209 тыс. руб. При удлинении срока |
|
||||||
вклада эта тенденция |
|
|
|
|
|
|
|
усиливается. |
20000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1-4 Рост вложенной |
|
Сложные |
|
|
|
|
|
17500 |
|
|
|
|
|
|
|
суммы при начислении простых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и сложных процентов по |
|
|
|
|
|
|
|
одинаковой ставке r. |
15000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12500 |
|
|
|
Простые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время (год) |
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10 Как и в случае простых процентов, множитель наращения показывает будущую стоимость 1 денежной единицы, вложенной на n периодов. Для обозначения этого финансового коэффициента часто используется стандартная аббревиатура FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель будущей стоимости). Будущая стоимость определяется умножением размера первоначально инвестированной суммы на этот коэффициент: FV =PV*FVIF (n,r)
r
Рис. 1-5 Фрагмент рисунка 1-4
25 |
Простые |
ро |
Сложные |
Как видно из рисунка 1-54, при краткосрочных ссудах (менее одного года) начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом r,
если 0 < n < 1, то (1 + n*r) > (1 +r)n; если n = 1, то (1 +n*r) = (1 + r)n . если n > 1, то (1 + n*r) < (1 + r)n;
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,рубль при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 рублей!!!
На рис. 1-6 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
7.0р. |
|
|
|
|
|
|
FV |
|
|
|
|
6.0р. |
|
|
|
|
|
|
|
10% |
|
|
|
5.0р. |
|
15% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20% |
|
|
|
4.0р. |
|
|
|
|
|
3.0р. |
|
|
|
|
|
2.0р. |
|
|
|
|
|
1.0р. |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
|
|
Периодывремени |
|
|
|
Рис. 1-6 Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов |
|||||
26
Примечание
Как мы уже отмечали, различие начисления простых и сложных процентов состоит в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.
Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + r).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста,
имеет вид:
(1 + r) n .
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, могут быть легко табулированы ( Приложение 2)и использованы при проведении финансовых расчетов. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной
процентной ставке r.
Пример 1-12
Сумма в размере 15 000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение: Наращенная сумма
FV = PV * (1 + r)*n =15000 *(1 + 0'1)2 = или
FV = PV * kн = 15000 * 1,21 = 18150 рублей, где kн11 = 1,21
Сумма начисленных процентов
I = FV - PV = 18150 - 15000 = 3150 рублей
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 18150 рублей, из которой 15000 рублей составляет долг, а 3150 рублей– "цена долга".
Пример 1-13
11 Напомним, что величина kн = (1 + r)*n – множитель наращения, экономический смысл которого состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.
27
Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?
Решение
По условиям данной операции известными величинами являются: Первоначальная сумма вклада PV = 10000,
процентная ставка r = 10%, срок n = 4 года.
Определим будущую величину вклада:на конец первого периода:
FV1 = PV + PV* r = PV*(1 + r) = 10000*(1 + 0,1) = 11000.
для второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1* r = PV*(1 + r) + PV*(1 + r)*r = PV*(1 + r)2 =
= 10000*(1 + 0,1)2 = 12100.
Для последнего периода (n = 4):
FV4 = FV3 + FV3 * r = PV*(1 + r)4 = 10000*(1 + 0,1)4 = 14641.
1.3.1.Начисление процентов при дробных периодах
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
FV = PV * (1 + r)n, n = a + b,
где n – период сделки; a – целое число лет;
b – дробная часть года.
смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части
года – формулу простых процентов: FV = PV * (1 + r)a * (1 + b*r).
Так как b < 1, то (1 + b*r) > (1 + r)*a, то, следовательно, при использовании смешанной схемы наращенная сумма будет больше.
Пример 1-14
В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев.
Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение:
Общий метод:
FV = PV *(1 + r)n = 250 * (1 + 0,095)2,9 = 325,26 тыс. долларов.
Смешанный метод:
FV = PV * (1 + r) a * (1 + b*r) =
= 250 *(1 + 0,095)2 * (1 + 270/360 * 0,095) = 321,11 тыс. долларов.
28
Таким образом, процентные деньги (проценты) по кредиту составят:общий метод
I = FV - PV = 325,26 - 250,00 = 75,26 тыс. долларов,смешанный метод
I = FV - PV = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.
Таким образом, смешанная схема начисления процентов для кредитора оказывается менее выгодной.
1.3.2.Эффективная ставка процентов
При более частом, чем один раз в год, начислении сложных процентов внутри года, размер номинальной годовой ставки r пропорционально уменьшают (традиция приближенных вычислений восходит к правилу простых процентов), а длину срока в процентных периодах увеличивают во столько же раз.
Обозначим внутригодовую частоту начисления сложных процентов буквой m. При ежемесячной капитализации (m = 12) календарный срок (например, n = 2 года)
выражается числом расчетных периодов, т.е n*m (например, при n = 2 года m = 12 число расчетных периодов составит n*m =24 месяца), а ежемесячная процентная ставка
получается из номинальной годовой делением на число периодов капитализации – n/m.
Ясно, что при одинаковой номинальной годовой ставке r увеличение частоты начисления сложных процентов m приводит в конце каждого года к большему финансовому результату в виде будущей стоимости FV.
Таким образом, через N полных лет величина FV может быть определена
как: |
|
FVN = PV*(1+r/m)m*n |
( 1-21) |
Пример 1-15
Изменим условия предыдущего примера 4-11 и будем считать, что начисление процентов производится ежеквартально.
В этом случае:
FV4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.
В банковской практике часто используется понятие эффективной ставки Эффективная ставка (effective percentage rate – EPR) – характеризует процентный
доход, получаемый инвестором за один год в результате вложения одной денежной
единицы по номинальной годовой ставке сложных процентов r при частоте начисления m раз в год.
reff (EPR)= (1 + r/ m)m – 1 |
( 1-22) |
Абсолютная величина эффективного процента, отнесенная к одной целой денежной единице, дает годовую эффективную норму процента.
Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие
29
различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора
Пример 1-16
Сумма в размере 2 000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Капитализация накопленных сумм производится
ежеквартально;ежемесячно
Определить величины эффективной ставки
Решение
а)Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 10% годовых, составит:
reff (EPR) = (1 + r/ m)m - 1 = (1 + 0,1 / 4)4 - 1 = 0,1038.
Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна: reff (EPR) = (1 + r / m)m - 1 = (1 + 0,1 / 12)12 - 1 = 0,1047.
Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47% против 10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения.
Пример 1-17
У Вас есть свободная сумма PV = 1000 руб., которую Вы намерены пустить в рост на 12 месяцев под сложные проценты. Куда вы положите свои деньги, если доступные альтернативы таковы:
Отделение иностранного банка "Carabas" дает 10% годовых, выплачиваемых каждые полгода
Банк "Алиса" принимает вклады от населения под 10% годовых, начисляемых ежеквартально.
Банк "Базилио" предлагает 10% годовых при ежемесячном начислении. Банк "Мальвина" предлагает 10% годовых при ежедневном начислении
Решение
Наименованиебанка |
Carabas |
Алиса |
Базилио |
Мальвина |
|
|
|
|
|
r –номинальная годовая ставка |
|
|
|
|
сложных% |
10% |
10% |
10% |
10% |
|
|
|
|
|
m –частота внутригодового |
|
|
|
|
начисления %; |
2 |
4 |
12 |
365 |
|
|
|
|
|
соответствующая длине |
|
|
|
|
внутригодовогопериода |
|
|
|
|
начисления |
5.00% |
2.50% |
0.83% |
0.03% |
|
|
|
|
|
FV=PV*(1+r/m)^m–будущая |
|
|
|
|
стоимость вклада через 1 год (N |
|
|
|
|
=1) |
1.1025 |
1.1038 |
1.1047 |
1.1052 |
Таким образом, наиболее целесообразно поместить деньги в банк «Мальвина»
30
1.3.3.Непрерывное начисление процентов
Всовременных условиях в связи с развитием систем электронных платежей проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом
(
) дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном наращении сложных процентов получается показательный закон роста).
Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
kн = (1 + r / m)m = (1 + r / 365)365
Но так как проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e r:
|
r |
|
|
r m* n |
|
|
|
|
|
|
e |
|
= lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m → ∞ |
|
m |
|
|
( 1-23) |
|
||
|
|
В этом случае наращенная сумма FV может быть записана как: |
||||||||
FV = PV * |
|
|
|
r m*n |
= PV *e |
r *n |
= PV *ks |
|||
lim 1+ |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
m → ∞ |
m |
|
|
( 1-24) |
||||
Где ks –коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов по
номинальной годовой ставке r.
В банковской практике ставку непрерывных процентов называют часто силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( r ).
FV = PV * er * n = PV * e δ * n |
( 1-25) |
Пример 1-18
Кредит в размере 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты
будут начисляться:
а) один раз в год; б) ежедневно; в) непрерывно.
Решение:
Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:начисление один раз в год
FV = 100000 • (1 + 0,08)3 = 125'971,2 долларов;ежедневное начисление процентов
FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)365 • 3 = 127'121,6 долларовнепрерывное начисление процентов
FV = 100'000 • e0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.
Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид: