Общая топология (лекции)
.pdfx0. ®é®áâì ¬®¦¥áâ¢
1. ¥ ®¯à¥¤¥«ïï á ¬®£® ¯®ïâ¨ï "¬®é®áâì", ¤ ¤¨¬ á«¥¤ãî饥
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬®¦¥á⢠A ¨ B à ¢®¬®éë, ¨ ¯¨- á âì A B, ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï A ! B.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ®¦¥á⢮ A áç¥â®, ¥á«¨ A N.
⢥ত¥¨¥ 1. ᫨ A áç¥â® ¨ B A, â® B ª®¥ç® ¨«¨ áç¥â®.
⢥ত¥¨¥ 2. ãáâì Ak { áç¥âë¥ ¬®¦¥á⢠¨ A = [1k=1Ak. ®£¤ A áç¥â®.
ਬ¥àë. 1) 2N áç¥â®; 2) Záç¥â®.
⢥ত¥¨¥ 3. ãáâì A1, ..., An { áç¥âë¥ ¬®¦¥á⢠, B = A1 ::: An.®£¤ B áç¥â®.
®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨ï ¯® n. § |
n = 1 ®ç¥¢¨¤ . |
¥à¥å®¤ n ! n + 1. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® |
|
B = f(a1; :::; an; an+1); ak 2 Akg |
An+1 = fan(1)+1; an(2)+1; :::g: |
®¦¥á⢮ Bj = f(a1; :::; an; a(nj+1) ); ak 2 Ak; k 6 ng áç¥â® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥- ¨î ¨¤ãªæ¨¨, â.ª. Bj A1 ::: An. «¥¤®¢ ⥫ì®, B = [1j=1Bj áç¥â®.
¥®à¥¬ 1. ãáâì A B1 B ¨ B A1 A. ®£¤ A B.¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.
ਬ¥àë. 1) Q áç¥â®;
2)Zn ¨ Qn áç¥âë;
3)¬®¦¥á⢮ ¬®£®ç«¥®¢ á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ áç¥â®. ®¦¥á⢮ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« áç¥â®.
2.ᥠ¯à¥¤ë¤ã騥 ¬®¦¥á⢠¡ë«¨ áç¥âë.
¥®à¥¬ 2. â१®ª [0; 1] ¥ áç¥â¥.
«¥¤á⢨¥. ãé¥áâ¢ãîâ âà á楤¥âë¥ ç¨á« .
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. ®¦¥á⢮ A ¨¬¥¥â ¬®é®áâì ª®â¨ã㬠, ¥á«¨ A [0; 1].
⢥ত¥¨¥ 4. ਠ«î¡ëå ¢¥é¥á⢥ëå a < b ¡ã¤¥â [a; b] [a; b)
(a; b] (a; b) [0; 1].
2
¥®à¥¬ 3. ãáâì Ak [0; 1] ¨ A = [1k=1Ak. ®£¤ A [0; 1].®ª § ⥫ìá⢮. Ak (1=(k + 1); 1=k].
ਬ¥àë. 1) R [0; 1].
2)®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¨§ ã«¥© ¨ ¥¤¨¨æ [0; 1].
3)[0; 1]n Rn [0; 1].
¯à ¦¥¨ï.
1) |
ª®¢ |
¬®é®áâì ¬®¦¥á⢠|
¯àï¬ëå ¯«®áª®áâ¨? |
2) |
ª®¢ |
¬®é®áâì ¬®¦¥á⢠|
¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨© ®â१ª¥? |
3) ãáâì A [ B [0; 1]. ®ª ¦¨â¥, çâ® å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ¬®¦¥á⢠A ¨ B ¨¬¥¥â ¬®é®áâì ª®â¨ã㬠.
3
« ¢ I. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠x1. âªàëâë¥ ¬®¦¥áâ¢
1. ãáâì X { ¬®¦¥á⢮, { ᥬ¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬®¦¥áâ¢.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. (X; ) §ë¢ ¥âáï ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬, ¥á«¨ ¢ë- ¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë:
1) ;; X 2 ;
2) U 2 =) ([ U ) 2 ;
3) U1; :::; Un 2 =) (\nk=1Uk) 2 .
¥¬¥©á⢮ §ë¢ ¥âáï ⮯®«®£¨¥© ¯à®áâà á⢥ X; ¬®¦¥á⢠|
U 2 |
§ë¢ îâáï ®âªàëâ묨 ¬®¦¥á⢠¬¨. |
|
⢥ত¥¨¥ 1. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï ¬®¦¥á⢠X ¨ ᥬ¥©á⢠|
¢ë- |
¯®«¥ë ãá«®¢¨ï 1), 2) ¨ |
|
3') U; V 2 =) U \ V 2 . |
|
®£¤ (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨ï ¯® n.
ਬ¥àë. 1) ãáâì X { ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¬®¦¥á⢮, = f;; Xg. " à®áâà á⢮ ᫨¯è¨åáï â®ç¥ª".
2)ãáâì X { ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¬®¦¥á⢮, { ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å ¥£® ¯®¤¬®¦¥áâ¢.¨áªà¥â ï ⮯®«®£¨ï.
3)ãáâì X á®á⮨⠨§ ¤¢ãå í«¥¬¥â®¢ X = fa; bg, = f;; fbg; Xg.
4)ãáâì X { «î¡®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮. §®¢¥¬ ®âªàëâ묨 ¯ãá⮥ ¨
⥠¬®¦¥á⢠, ¤®¯®«¥¨¥ ª®â®àëå ª®¥ç®. ®¯®«®£¨ï à¨á᪮£®.
5)X = Rn. U 2 () 8x 2 U 9" > 0 : B"(x) U.
2.ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ãáâì x 2 M X. ®çª x §ë¢ ¥âáï ¢ãâ॥© â®çª®© ¬®¦¥á⢠M, ¬®¦¥á⢮ M §ë¢ ¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî â®çª¨ x, ¥á«¨ áãé¥- áâ¢ã¥â ¬®¦¥á⢮ U 2 , â ª®¥ çâ® x 2 U M. ®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢ãâ२å â®ç¥ª ¬®¦¥á⢠M §ë¢ ¥âáï ¥£® ¢ãâ८áâìî ¨ ®¡®§ ç ¥âáï int M.
¥®à¥¬ 1. «¥¤ãî騥 âਠãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë: 1) M 2 ; 2) M = int M; 3) M ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî «î¡®© ᢮¥© â®çª¨.
®ª § ⥫ìá⢮. 1) =) 2) ¨ 2) =) 3) { ®ç¥¢¨¤®.
3) =) 1). «ï «î¡®© â®çª¨ x 2 M áãé¥áâ¢ã¥â Ux 2 , â ª ï çâ® x 2 Ux M. «¥¤®¢ ⥫ì®,
M = |
[ |
Ux |
=) M 2 : |
|
x2M |
|
|
⢥ত¥¨¥ 2. ãâ८áâì int M «î¡®£® ¬®¦¥á⢠M ®âªàëâ .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì x 2 int M. ãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ U, â - ª®¥ çâ® x 2 U M. á®, çâ® U int M. «¥¤®¢ ⥫ì®, int M ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî «î¡®© ᢮¥© â®çª¨ ¨, ¯® ⥮६¥ 1, ®âªàëâ®.
4
⢥ত¥¨¥ 3. ãáâì A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ X. ¥¬¥©á⢮
A = fV = U \ A; U 2 Xg
ï¥âáï ⮯®«®£¨¥© A.
®ª § ⥫ìá⢮. 1) ; = ; \ A, A = X \ A. 2) ãáâì V = U \ A, U 2 X. ®£¤
|
[ |
V = |
[ |
U ! \ A =) |
[ |
V ! 2 A: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
¥à¥á¥ç¥¨¥ { |
|
«®£¨ç®. |
|
|
|
||
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. A §ë¢ ¥âáï ¨¤ãæ¨à®¢ ®© (¨«¨ ®â®á¨â¥«ì®©) ⮯®- |
||||||||
«®£¨¥© A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ਬ¥àë. 1) à㣠|
¯«®áª®áâ¨. |
|
|
|
||||
2) |
ãáâì X = R, A = Z. ®£¤ |
A ¤¨áªà¥â . |
|
|
¯à ¦¥¨ï.
1)V1, ... Vn { ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ \nk=1Vk {
⪦¥ ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ x.
2)®ª ¦¨â¥, çâ® int(A \ B) = int A \ int B. ।ê⥠¯à¨¬¥à, ª®£¤ int(A [ B) 6= int A [ int B.
3)®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á类¥ ®âªàë⮥ ®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢¥é¥á⢥- ®© ®á¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ ª®¥ç®£® ¨«¨ áç¥â®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¥¯¥à¥á¥ª - îé¨åáï ¨â¥à¢ «®¢.
x2. ¬ªãâë¥ ¬®¦¥áâ¢
1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ®¦¥á⢮ F X §ë¢ ¥âáï § ¬ªãâë¬, ¥á«¨ X n F 2 .
⢥ত¥¨¥ 1. 1) ; ¨ X § ¬ªãâë;
2) ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡®£® ç¨á« § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠§ ¬ªãâ®; 3) ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ª®¥ç®£® ç¨á« § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠§ ¬ªãâ®.
¬¥ç ¨¥. ®¦® § ¤ âì ⮯®«®£¨î ¬®¦¥á⢥, ®¯¨á ¢ § ¬ªãâë¥ ¯®¤- ¬®¦¥á⢠.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ãáâì M X. ¬ëª ¨¥¬ ¬®¦¥á⢠M §ë¢ ¥âáï ¯¥- à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠F, ᮤ¥à¦ é¨å M,
M = \ F:
F M
⢥ত¥¨¥ 2. M ï¥âáï ¨¬¥ì訬 § ¬ªãâë¬ ¬®¦¥á⢮¬, á®- ¤¥à¦ 騬 M.
®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® M § ¬ªãâ® ¨ çâ® M M. «¥¥, ¥á«¨ F0 {
§ ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ᮤ¥à¦ 饥 M â® M F
5
⢥ত¥¨¥ 3. ®¦¥á⢮ M § ¬ªã⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
M = M.
¥®à¥¬ 1. M = fx 2 X : «î¡ ï ®ªà¥áâ®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á Mg.
®ª § ⥫ìá⢮. 믨襬 á¥à¨î íª¢¨¢ «¥âëå ã⢥ত¥¨©.
x 2 M ()
¥á«¨ x 2= F = F ; â® M 6 F () ¥á«¨ x 2 U 2 ; â® U \ M 6= ; ()
«î¡ ï ®ªà¥áâ®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M:
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. ®¦¥á⢮ M (¢áî¤ã) ¯«®â® ¢ X, ¥á«¨ M = X.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4. à®áâà á⢮ X §ë¢ ¥âáï ᥯ à ¡¥«ìë¬, ¥á«¨ ¢ ¥¬ áã- é¥áâ¢ã¥â áç¥â®¥ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮.
ਬ¥àë. 1) Q2 = R2 =) R2 { ᥯ à ¡¥«ì®.
2)àï¬ ï á ¤¨áªà¥â®© ⮯®«®£¨¥© ¥ ᥯ à ¡¥«ì .
3)ãáâì X { ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ á ⮯®«®£¨¥© à¨á᪮£® (á¬. x1.1 ¯à¨¬¥à 4). î¡®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ M ¯«®â® ¢ X. X ᥯ à ¡¥«ì®.
2.ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, M X.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 5. ®çª x §ë¢ ¥âáï £à ¨ç®© â®çª®© ¬®¦¥á⢠M, ¥á«¨ «î¡ ï ¥¥ ®ªà¥áâ®áâì V ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M ¨ á ¥£® ¤®¯®«¥¨¥¬,
V \ M 6= ;; V \ (X n M) 6= ;:
®¦¥á⢮ ¢á¥å £à ¨çëå â®ç¥ª M §ë¢ ¥âáï £à ¨æ¥© ¨ ®¡®§ ç ¥âáï @M.
¬¥ç ¨¥. á®, çâ® 1) @; = @X = ;; 2) @(X n M) = @M.
⢥ত¥¨¥ 4. 1) @M = M \ (X n M); 2) @M § ¬ªãâ®.
®ª § ⥫ìá⢮. 1) ® ⥮६¥ 1 â®çª x ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯¥à¥á¥ç¥¨î M \
(X n M) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ «î¡ ï ®ªà¥áâ®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M ¨ á X n M;
2) ®ç¥¢¨¤® ¨§ 1).
ਬ¥àë. 1) ãáâì X = R, M = [a; b). ®£¤ int M = (a; b), M = [a; b], @M =
fa; bg. @Q = R.
2) X = Rn, @B1(0) = Sn;1.
¯à ¦¥¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® int M = M n @M; M = M [ @M.
x3. ¥¯à¥àë¢ë¥ ®â®¡à ¦¥¨ï
6
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ãáâì x0 2 X, f(x0) = y0 2 Y . â®¡à ¦¥¨¥ f ¥¯à¥à뢮 ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ®ªà¥áâ®á⨠V â®çª¨ y0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ- ®áâì U â®çª¨ x0, çâ® f(U) V . â®¡à ¦¥¨¥ f §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥àë¢ë¬, ¥á«¨ ®® ¥¯à¥à뢮 ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ x 2 X. ®¦¥á⢮ ¢á¥å ¥¯à¥àë¢ëå ®â®¡à ¦¥¨© ®¡®§ ç ¥âáï C(X; Y ).
¥®à¥¬ 1. f 2 C(X; Y ) () f;1(G) 2 X 8G 2 Y .®ª § ⥫ìá⢮. =)) ãáâì G 2 Y , x 2 f;1(G). ®£¤
9Ux : f(Ux) G =) Ux f;1(G) =) f;1(G) 2 X:
(=) 祢¨¤®.
⢥ত¥¨¥ 1. ãáâì X, Y , Z { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠, f : X ! Y; g : Y ! Z; h = g f:
1)᫨ f ¥¯à¥à뢮 ¢ â®çª¥ x0, f(x0) = y0, g ¥¯à¥à뢮 ¢ â®çª¥ y0, â® h ¥¯à¥à뢮 ¢ â®çª¥ x0.
2)᫨ f 2 C(X; Y ), g 2 C(Y; Z), ⮠h 2 C(X; Z).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠X, Y §ë¢ îâáï £®¬¥®¬®àä- 묨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªâ¨¢®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ f : X ! Y , â ª®¥ çâ® f 2 C(X; Y ), f;1 2 C(Y; X). â®¡à ¦¥¨¥ f §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬.
2. ⬥⨬, çâ® áç¥â ®¡à §®¢ ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ®â®¡à ¦¥¨¨ ¨ç¥£® ᪠-
§ âì ¥«ì§ï. |
|
|
ਬ¥àë. 1) f : R ! R, f(x) = 1=(x2 + 1), f(R) = (0; 1]. |
|
|
2) X = (;1; 1), Y = R, f(x) = tg( x=2) { £®¬¥®¬®à䨧¬, f;1(y) = |
2 |
arctg y. |
|
||
|
|
|
3) f : X ! X, f(x) = x { £®¬¥®¬®à䨧¬. |
|
|
4) ä¥à ¡¥§ â®çª¨ £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨. |
|
|
¬¥ç ¨¥. «¥¥ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¢áï áä¥à ¥ £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®á⨠¨ ¥ £®¬¥®¬®àä â®àã.
¯à ¦¥¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® è à B1(0) £®¬¥®¬®àä¥ ¯à®áâà áâ¢ã Rn. x4. ªâ®à⮯®«®£¨ï
1. ãáâì ¬®¦¥á⢥ X § ¤ ® ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠. « ááë íª¢¨¢ «¥â®á⨠¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì x^, â.¥. x; y 2 x^ () x y.
⢥ত¥¨¥ 1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, { ®â®- 襨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ¯à¥¤¥«¨¬ ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠(X= ) á«¥- ¤ãî騬 ®¡à §®¬: ; 2 , ªà®¬¥ ⮣®,
V = fx^g 2 () |
[ |
x^! 2 : |
|
x^2V |
|
®£¤ { ⮯®«®£¨ï ä ªâ®à¬®¦¥á⢥.
7
2) ãáâì V 2 , V = [ V . ®£¤
[ |
x^ = |
[ |
[ |
x^! 2 : |
x^2V |
|
|
x^2V |
|
3) «®£¨ç® 2).
2.ਬ¥àë.
1)᫨ ã ª¢ ¤à â ᪫¥¨âì ¤¢¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ áâ®à®ë, â® ¯®«ãç¨âáï ¡®ª®¢ ï ¯®¢¥àå®áâì 樫¨¤à (® ¬®¦® ¢«®¦¨âì ¢ R2 { ª®«ìæ® ¯«®áª®- áâ¨).
2)᫨ ¤¢¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ áâ®à®ë ᪫¥¨âì " ®¡®à®â" (â.¥. ®â®¦¤¥-
á⢨âì â®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; x2) ¨ (1; 1 ; x2)), â® ¯®«ãç¨âáï «¨áâ ¥¡¨ãá (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R3).
3)᫨ ᪫¥¨âì ¤¢¥ ¯ àë ¯à®â¨¢®¯®«®¦ëå áâ®à®, ¯®«ãç¨âáï â®à.
4) ᫨ ¤¢¥ áâ®à®ë ᪫¥¨âì "¯à ¢¨«ì®", ¤¢¥ { " ®¡®à®â", â® ¯®«ãç¨âáï ¡ãâ뫪 «¥© (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R4).
5)᫨ ¤¢¥ ¯ àë áâ®à® ᪫¥¨âì " ®¡®à®â", â® ¯®«ãç¨âáï ¯à®¥ªâ¨¢ ï ¯«®áª®áâì (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R4).
6)᫨ ¢áî ¯®¢¥àå®áâì è à ¢ Rn ᪫¥¨âì ¢ ®¤ã â®çªã, â® ¯®«ã祮¥
¯à®áâà á⢮ ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä® áä¥à¥ Sn.
7)ãáâì X = Rn n f0g. ¢¥¤¥¬ ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠x y () 9 2 R : x = y:
®«ãç ¥¬®¥ ä ªâ®à¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¨
®¡®§ ç ¥âáï RP n. RP 1 £®¬¥®¬®àä® S1. 8) C P n.
¯à ¦¥¨ï.
1) ஥ªâ¨¢ ï ¯«®áª®áâì ¨§ ¯à¨¬¥à 5) £®¬¥®¬®àä RP 2.
2) ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, { ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, f : X ! (X= ) { ®â®¡à ¦¥¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥â x ¢ ª« áá íª¢¨¢ «¥â®- áâ¨, ª®â®à®¬ã ® ¯à¨ ¤«¥¦¨â, f(x) = x^. ®ª ¦¨â¥, çâ® f ¥¯à¥à뢮.
3) ᫨ ¤¢ «¨áâ ¥¡¨ãá ᪫¥¨âì ¯® ªà î, ¯®«ãç¨âáï ¡ãâ뫪 «¥© . x5. § ⮯®«®£¨¨
1. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, B { ᥬ¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬®¦¥áâ¢.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ãáâì B . B §ë¢ ¥âáï ¡ §®© ⮯®«®£¨¨, ¥á«¨ «î¡®¥ ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ U ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ U = [ V , £¤¥ V 2 B.
¥®à¥¬ 1 (ªà¨â¥à¨© ¡ §ë). ãáâì X { ¥ª®â®à®¥ ¬®¦¥á⢮, B { á¥- ¬¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬®¦¥áâ¢. B ï¥âáï ¡ §®© ¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ¤¢ ãá«®¢¨ï:
1)8x 2 X 9 U 2 B : x 2 U;
2)¥á«¨ x 2 U, x 2 V ¨ U; V 2 B, â® ©¤¥âáï W 2 B, â ª®¥ çâ®
8
®ª § ⥫ìá⢮. =)) ãáâì B { ¡ § ⮯®«®£¨¨ X. ஢¥à¨¬ ¢ë¯®«- ¥¨¥ ãá«®¢¨© 1 ¨ 2.
1)X = [ V =) 8x 9V 2 B : x 2 V ;
2)(U \ V ) 2 =) U \ V = [ W =) 9 : x 2 W U \ V .
(=) ãáâì B { ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠X, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ 1 ¨ 2. ¯à¥¤¥«¨¬ ⮯®«®£¨î â ª¨¬ ®¡à §®¬: ®âªàëâ묨 ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ ¨ ¢á¥ ¬®¦¥á⢠¢¨¤ U = [ V , £¤¥ V 2 B. ஢¥à¨¬ ¢ë¯®«¥¨¥ ªá¨®¬.
1) |
;; X 2 { ®ç¥¢¨¤®; |
|
|
2) |
ãáâì U 2 . ®£¤ U = [ V; ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, |
||
|
|
U ! = 0 |
V;1 2 ; |
|
|
; |
A |
3) |
[ |
@[ |
|
ãáâì U; V 2 , â.¥. |
|
|
|
|
U = [ U ; V = [ V ; U ; V 2 B: |
||
á ¨â¥à¥áã¥â ¬®¦¥á⢮ U \ V = [;(U \ V ). ¬¥¥¬ |
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8x 2 U \ V 9Wx 2 B : |
x 2 Wx U \ V ; |
á«¥¤®¢ ⥫ì®, U \ V = [xWx.
¬¥ç ¨¥. ®¦® § ¤ âì ⮯®«®£¨î, § ¤ ¢ ¡ §ã.
2. áâ¥á⢥® ¤ âì á«¥¤ãî饥
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ®¯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ (X; ) §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà - á⢮¬ á® áç¥â®© ¡ §®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ § B = fUkg1k=1.
ਬ¥àë. 1) ¤®â®ç¥çë¥ ¬®¦¥á⢠®¡à §ãîâ ¡ §ã ¤¨áªà¥â®© ⮯®«®£¨¨. 2) X = Rn { ¯à®áâà á⢮ á® áç¥â®© ¡ §®© B = fBr(x); x 2 Qn; r 2 Q+g.
⢥ত¥¨¥ 1. à®áâà á⢮ á® áç¥â®© ¡ §®© ᥯ à ¡¥«ì®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì xk 2 Uk, A = fxkg { áç¥â®. ®¦¥á⢮ V = X n A ®âªàëâ®, § ç¨â, V = [j Ukj . ® xkj 62V , ¯®í⮬ã V = ; ¨ A = X.
⢥ত¥¨¥ 2. ãáâì X { ¥áç¥â®¥ ¬®¦¥á⢮, { ⮯®«®£¨ï à¨á- ᪮£®. ®£¤ (X; ) { ᥯ à ¡¥«ì®¥ ¯à®áâà á⢮, ¢ ª®â®à®¬ ¥â áç¥â®© ¡ §ë.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì B { ¡ § ⮯®«®£¨¨, x0 2 X. «ï «î¡®© â®çª¨ y 6= x0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â ¡ §ë Uy 2 B, çâ® y 62Uy, x0 2 Uy. «¥¤®¢ ⥫ì®,
\ |
|
@ \ |
A |
[ |
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y=6x0 |
Uy = fx0g |
=) X n fx0g = X n 0 |
Uy1 = |
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(X n Uy): |
|
y=6x0 |
|
|
|
᫨ ¡ § B áç¥â , â® ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠⮦¥ ¥ ¡®«¥¥, 祬 áç¥â®.¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ (X n Uy) ª®¥ç®, ¯®í⮬㠢ᥠ¯à®áâà á⢮ X áç¥â®, ¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.
3. ãáâì (X; X ), (Y; Y ) { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠. áᬮâਬ ¤¥-
9
⢥ত¥¨¥ 3. ¥¬¥©á⢮ B = fU V ; U 2 X; V 2 Y g { ¡ § ¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ X Y .
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨© ⥮६ë 1. 1) 8(x; y) 2 X Y .
2) ãáâì (x; y) 2 U1 V1, (x; y) 2 U2 V2. ª ç¥á⢥ W ¬®¦® ¢§ïâì W = (U1 \ U2) (V1 \ V2).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. (X Y; B) §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®- áâà áâ¢.
ਬ¥àë. 1) R R £®¬¥®¬®àä® R2;
2)S1 S1 £®¬¥®¬®àä® â®àã;
3)Sn;1 (0; 1) £®¬¥®¬®àä® Rn n f0g.
¯à ¦¥¨¥. ãáâì : X Y ! X { ®â®¡à ¦¥¨¥, ª®â®à®¥ ¯ ॠ(x; y) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ â®çªã x. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥¯à¥à뢮.
x6. ¢ï§ë¥ ¬®¦¥áâ¢
1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯а¥¤¥«¥¨¥ 1. а®бва бв¢® X б¢п§®, ¥б«¨ ¥ бгй¥бв¢г¥в ¤аг£¨е ¬®- ¦¥бв¢, ®вªалвле ¨ § ¬ªгвле ®¤®¢а¥¬¥®, ªа®¬¥ ¯гбв®£® ¨ ¢б¥£® X.
¯а¥¤¥«¥¨¥ 1'. а®бва бв¢® X ¥ б¢п§®, ¥б«¨ ®® ¯а¥¤бв ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ ®¡к¥¤¨¥¨п ¤¢ге ¥¯гбвле ¥¯¥а¥б¥ª ой¨ебп ®вªалвле ¬®¦¥бв¢.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. ®¦¥á⢮ A X §ë¢ ¥âáï á¢ï§ë¬, ¥á«¨ á¢ï§® ¯à®- áâà á⢮ (A; A) (á¬. x1, ã⢥ত¥¨¥ 3).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2'. ®¦¥á⢮ A X ¥ á¢ï§®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ®â- ªàëâë¥ ¬®¦¥á⢠U ¨ V , çâ®
A U [ V; A 6 U; A 6 V; A \ U \ V = ;:
⢥ত¥¨¥ 1. â१®ª [a; b] á¢ï§¥.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì [a; b] U [ V , U \ V = ;, U; V 2 R . ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, áç¨â ¥¬ a 2 U. ãé¥áâ¢ã¥â " > 0, â ª®¥ çâ® [a; a+") U. ®«®¦¨¬ x = supfy : [a; y) Ug. ᫨ x < b, â®
x 62U =) x 2 V =) (x ; ; x] V;
¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ® ¦¥ á ¬®¥ ¢ á«ãç ¥, ¥á«¨ x = b 62U. áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ ਠâ [a; b] U, V = ;.
⢥ত¥¨¥ 2. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠, ¯à¨ç¥¬ X á¢ï§®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) á¢ï§®.
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨
f(X) U [ V ¨ U \ V \ f(X) = ;;
â®
X f;1(U) [ f;1(V ) ¨ f;1(U) \ f;1(V ) = ;;
®âªã¤ á«¥¤ã¥â १ã«ìâ â.
10
⢥ত¥¨¥ 3. ãáâì ¡®à á¢ï§ëå ¬®¦¥á⢠A â ª®¢, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¬®¦¥á⢠¯¥à¥á¥ª îâáï. ®£¤ ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥ B = [ A á¢ï§®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì U ¨ V { ®âªàëâë¥ ¬®¦¥á⢠, B U [ V , U \ V = ;.«ï ¢á类£® «¨¡® A U, «¨¡® A V . ᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ â ª¨¥ ¨¤¥ªá ¨ , çâ® A U, A V , â®
U \ V A \ A 6= ; =) B \ U \ V 6= ;;
祣® ¡ëâì ¥ ¬®¦¥â. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ A ᮤ¥à¦ âáï ¢ ®¤®¬ ¨§ ¬®¦¥áâ¢, ¯à¨¬¥à, A U 8 , ¨ B U.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. ãáâì x 2 X. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ Lx ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¢á¥å á¢ï§- ëå ¬®¦¥á⢠A (x), ᮤ¥à¦ é¨å â®çªã x, Lx = [ A (x). ®¦¥á⢮ Lx
§ë¢ ¥âáï á¢ï§®© ª®¬¯®¥â®© â®çª¨ x ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ X.
¬¥ç ¨¥. Lx { ¨¡®«ì襥 á¢ï§®¥ ¬®¦¥á⢮, ᮤ¥à¦ 饥 â®çªã x.
⢥ত¥¨¥ 4. z 2 Lx =) Lz = Lx.
®ª § ⥫ìá⢮. Lx { á¢ï§®, z 2 Lx. «¥¤®¢ ⥫ì®,
Lx Lz =) x 2 Lz =) Lz Lx:
¥®à¥¬ 1. á类¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ª®¬¯®¥â á¢ï§®áâ¨.
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¤¢¥ â®çª¨ x, y. å ª®¬¯®¥âë á¢ï§®á⨠Lx, Ly «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, â.ª. ¨§ z 2 Lx \ Ly ¢ë⥪ ¥â Lx =
Lz = Ly.
¯à ¦¥¨ï.
1)®ª ¦¨â¥, çâ® Q ¥ á¢ï§® ¢ R.
2)®ª ¦¨â¥, çâ® Lx = Lx.
x7. ¨¥©® á¢ï§ë¥ ¬®¦¥áâ¢
1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ã⥬, ᮥ¤¨ïî騬 â®çª¨ x, y, §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ f : [0; 1] ! X, â ª®¥ çâ® f(0) = x, f(1) = y.
⢥ত¥¨¥ 1. ᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ x, y, ¨ ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ y, z, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ x, z.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f; g 2 C([0; 1]; X), f(0) = x, f(1) = y = g(0), g(1) = z.®«®¦¨¬ h(t) = f(2t) ¯à¨ 0 6 t 6 1=2, h(t) = g(2t ; 1) ¯à¨ 1=2 6 t 6 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. à®áâà á⢮ X §ë¢ ¥âáï «¨¥©® á¢ï§ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î- ¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª x; y 2 X áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ¨å ᮥ¤¨ïî騩.
⢥ত¥¨¥ 2. ãáâì X «¨¥©® á¢ï§®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) «¨¥©® á¢ï§®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì y0 = f(x0) 2 f(X), y1 = f(x1) 2 f(X). ãé¥áâ¢ã¥â g 2 C([0; 1]; X), â ª®¥ çâ® g(0) = x0, g(1) = x1. ®«®¦¨¬ h = f g 2 C([0; 1]; Y ).
á® çâ® h(0) = y h(1) = y