Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

то можно показать, что u Wp1 (G) (другими словами, функция u

имеет суммируемые в квадрате на G первые производные) и u является решением задачи (22.4). Решение задачи (22.4) называют

обобщенным из класса W21 (G) решением задачи (22.5).

Теорема 22.1. Задача (22.4) имеет и притом единственное решение.

Доказательство. В силу неравенства Фридрихса

По теореме Лакса–Мильграма существует однозначно опреде-

Замечание 22.2. Обобщенная неоднородная задача Дирихле для

161

Заменой w = u − g эта задача сводится к рассмотренной ранее однородной задаче.

Замечание 22.3. Если f C(G) и граница ∂G области G является достаточно гладким (n −1) -мерным многообразием, то можно

показать, что обобщенное решение задачи (22.5) будет классическим решением этой задачи.

§23. Задача Коши для уравнения теплопроводности

ВD '(R(nx+,t1) ) ищем решение уравнения теплопроводности

∂∂ut = a2 u + f .

Согласно примеру 21.11 функция E(x,t) = (2a πt )n e−|x|2 /(4a2t)

является фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

Определение 23.1. Пусть функция u обращается в нуль при t < 0 . Тогда обобщенная функция V = E * f называется тепловым потенциалом с плотностью f .

Теорема 23.1. Пусть f (x,t) C(t ≥ 0) обращается в нуль при

162

является непрерывной в Rtn≥+01 функцией, удовлетворяющей оценке:

|V (x,t) |≤ t sup | f (ξ, τ) |,t > 0,

0≤τ≤t

ξ nR

начальному условию x Rn lim V (x,t) = 0 и уравнению тепло-

t→0+0

проводности ∂∂Vt = a2 V + f в D' .

Доказательство. Имеем

+∞

(E * f )(x,t) = ∫ ∫ f (ξ, τ)E(x −ξ,t −τ)dξdτ =V (x,t).

0 Rn

Используя теоремы о непрерывности по параметру, получаем, что V (x,t) непрерывна при t > 0 . Далее

Тогда обобщенная функция V0 (x,t) = E(x,t) *u0 (x)δ(t) называется поверхностным тепловым потенциалом.

Теорема 23.2. Пусть u0 (x) C(Rn ) и ограничена в Rn . Тогда поверхностный тепловой потенциал V0 (x,t) представляется интегралом Пуассона

принадлежит классу C∞ (t > 0), удовлетворяет неравенству

163

|V0 (x,t) |≤ sup | u0 (x) |

x Rn

для всех( x, t), t > 0 , непрерывен при t ≥ 0, удовлетворяет началь-

E *u0 (x)δ(t),ϕ =E(x,t)u0 (ξ)δ(τ),η(ξ, τ)ϕ(x + ξ,t + τ) =

=E(x,t)u0 (ξ),ϕ(x + ξ,t) =E *u(x),ϕ,

где последняя свертка берется по x. Отсюда следует, что

где M = sup | u0 (x) |, а оценка следует из непрерывности u(x) в

x Rn

точкеx0 . В самом деле, в силу непрерывности u(x) в точке x0 получаем, что

164

x→x0

т.е. является классическим решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.

165

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Учебно-методическое пособие

Редактор М.В. Макарова

Подписано в печать 10.12.2009. Формат 60х84 1/16.

Уч.-изд.л. 10,5. Печ. л. 10,5. Тираж 300 экз.

Изд. № 1/1/67. Заказ № 14

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31

ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42