Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ch_1-_Pr-m_Gl_1-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

357.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

- 3

-3 x 2

lim

6.97. Найти

x ®¥ 2x

Решение. Имеем неопределенность вида [1¥ ], так как

- 3

2 - 0

lim

= lim

= 1.

2 + 0

x®¥ 2x 2

x®¥

Выделим целую часть дроби

2x 2 - 3

2x 2 +1 - 4

2x2 +1

- 4

= 1 +

- 4

2x 2 +1

2x2 +1

2x2 +1 2x 2 +

2x 2 +1

α (x) = -

является бесконечно малой величиной при х → ∞. Домножим

2x 2

показатель степени на

α (x) ×

это действие не нарушает знака равенства:

α (x)

12 x2

-3 x2

2 x2 +1

-4

×(-3x2 )

2 x2 +1

12 x 2

- 4

-4 2 x

2 +1

-4

x →∞

2 x

= lim 1 +

1 +

lim ×

A = lim

= lim

= e

x®¥

12x 2

lim (1 + α (x))

ибо

α ( x )

= e.

Найдем a = lim

. Имеем неопределенность вида

α ( x)®0

x®¥ 2x 2 +1

так как вторая степень наибольшая:

, предел 1-го типа. Вынесем за скобки х ,

a = lim

12x 2

= lim

12x 2

= lim

= 6,

x®¥ 2x 2 +1

x®¥

®¥

2 +

x 2

так как lim

= 0. Таким образом предел равен ea

= e6 .

x®0 x 2

ln(x + 3) − ln 3

6.99. Найти

lim

x®0

Решение. Имеем неопределенность вида

, преобразуем ее в неопределенность

вида [1¥ ], пользуясь свойствами логарифмов:

loga x - log a

y = log a

n log a

x = log a x n .

Получим

ln(x + 3) - ln 3

x + 3

5 x

A = lim

= lim

× ln

= lim ln

= lim× ln 1 +

x®0

Учитывая непрерывность логарифмической функции, символы lim и ln можно переставить , получим


		3		×	x	×	1
		x
		x	x		3		5 x
A = ln lim 1	+
A = ln lim 1	+
x®0		3

	x			1	1	1
lim			×		lim		1

= ln e x →0		3 5 x			= ln e x→015	= ln e15 =		,

						15

так как по формуле

Найти пределы:


x + 5 x 2
6.100. lim							.
6.100. lim							.
x→∞ x				+1
2x +1										7 x
6.101. lim								.
6.101. lim								.
x→∞ 2x					+ 5
					2	+ 2					5 x 2
6.102. lim		4x			2					.
		4x
					2
					2	-1
x→∞ 4x						-1
					2	+ 3					3x
6.103. lim		2x			2				.
		2x
					2
					2	- 4
x→∞ 2x						- 4						−2 x
				2		+ x			-1			−2 x
6.104. lim	x			2
	x

			2
x→∞ x					- 2x + 5


		3
		x
		x	x
lim 1	+			= e.
lim 1	+			= e.
x→0		3


				3		- 2			−6 x3
6.105. lim		5x		3				.
		5x
				3
		5x		3
x→∞		5x				+1
			2x			3	- 3х					2	+ x +1		5 x2

6.106. lim														.

					3					2
			2x		3	- 3x				2			- 2х + 3
x→∞			2x			- 3x							- 2х + 3
				10			- 3				−2 x10
6.107. lim	7x			10
	7x												.
													.
				10			+ 2
x→∞ 7x							+ 2

1 + 3х х 6.108. lim .

x→∞ 1 + х

5-й тип. К этому типу отнесем функции, сводящиеся к первому замечательному

пределу (6.1):	lim	sin x	= 1.

	x→0 х


6.121. Найти	lim		tgx		.

	x→0			х
		tgx				0
Решение.	lim			=			= lim

	x→0 х					0	x→0

sin x	= lim	sin x	× lim	1	.
cos x × x
	x→0 x x→0 cos x

Первый сомножитель представляет собой первый замечательный предел и равен 1,

второй сомножитель представляет предел, равный 1 = 1 . Таким образом, искомый cos o

предел равен 1×1 = 1.

6.122.

Найти lim

arcsin x

x→0 х

. Сделаем замену переменной:

Решение. Имеем неопределенность вида

arcsin х = у; тогда х = sin у; при х → 0, у →0; получим

lim

arcsin x

= lim

x→0

y →0 sin y

Имеем первый замечательный предел, следовательно искомый предел равен 1, что и

требовалось доказать.

Найти пределы:

6.124.

lim

sin 2 x

6.128. lim

sin 2 6 x

x → 0

2 x

6.125.

sin

2 2 x

6.129. lim

( 3 x × ctg

2 x ).

lim

x → 0

3 x

6 x 3

6.130. lim

6.126.

4 x

lim

x → 0

sin 3 2 x

x → 0

10 x 3

6.131. lim

arctg 8 x

6.127.

sin 5 x

lim

x → 0

7 x

x → 0

4 x 2

6.132.

4 x

6.135. lim

sin

3 x

lim

→

sin

10 x

x → 0

arcsin

9 x

tg 2

6.133.

lim

2 x

6.134.

x → 0

− 1

lim

cos

3 x 2

x → 0

He рассмотренные в этой главе неопределенности видов [0×¥], [0°] и [¥°] могут быть устранены при помощи правила Лопиталя, которое будет рассмотрено в главе 8.

6.5. Непрерывность функции и точки разрыва.

Краткая теория

1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке x0; 2) имеет конечный предел при х→ x0;

3) этот предел равен значению функции в этой точке: lim f (x) = f (x0 ). (6.1)

x→0

(первое определение).

2. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое

приращение функции:	lim Dy = 0.	(6.2)
	x→0
(второе определение).	и ϕ (x) непрерывны в точке, то их сумма, произведение и
3. Если функции f (x)	и ϕ (x) непрерывны в точке, то их сумма, произведение и

частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

4. Если функция у = f (u) непрерывна в точке u0 =ϕ (x0 ) , а функция u=ϕ (x)

непрерывна в точке x0, то сложная функция у = f (ϕ(x))непрерывна в точке x0.

5.Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна

вкаждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

6.Если не выполнено определение непрерывности (6.1) или (6.2), то функция в точке x0 терпит разрыв, причем:

а) если хотя бы один из односторонних пределов			lim	f (x) или	lim f (x)
			x→ x0 −0		x→ x0 +0
бесконечен, то x0 - точка разрыва второго рода;				f (x) конечны, но не равны
б) если оба односторонних предела	lim	f (x) и	lim	f (x) конечны, но не равны
	x→ x0 −0		x→ x0 +0
между собой, то x0 — точка неустранимого разрыва первого рода;
в) если оба односторонних предела	lim	f (x)и	lim	f (x) конечны, равны между
	x→ x0 −0	x→ x0 +0

собой, но не равны f (x0 ), то x0 — точка устранимого разрыва первого рода.

6.168. Исследовать на непрерывность функции у = f (x) в точке х = 1. В случае

разрыва установить его характер в точке х = 1:
а) y(x) =	(x -1)3	;	б) y(x) =	x	;	в) y(x) = x -1;	г)
а) y(x) =	x -1	;	б) y(x) =	x -1	;	в) y(x) = x -1;	г)
y(x) = x -1,	x -1			x -1
y(x) = x -1,	x ³ 1 .
x +1,	x < 1

Решение: а) При х = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке

х = 1 терпит разрыв (рис. 6.1): lim	(x -1)3	= lim(x -1)2	= lim(1-1)2 = 0 , т.е. конечный

x→1 x -1		x→1	x→1

предел существует; следовательно, х = 1 — точка устранимого разрыва первого рода. (Доопределив функцию в точке х = 1, т.е. положив f (x0 )= 0, получим, что новая функция

	3	при x ¹ 1 будет уже непрерывна в точке х = 1 .)
F (x) = (x -1) ,
0,		при x = 1
6) При x = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке x = 1 терпит
разрыв (рис. 6.2): lim		x	= +¥, a lim	x	= -¥.

	x→1+0 x -1		x→1−0 x -1

Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то х = 1 – точка разрыва функции второго рода.

			1
	1
	0	x	0	x
	0	1	0	1
	Рис. 6.1.			Рис. 6.2.
	в) При х = 1 функция определена, lim		(x-1) = 0,	lim (x-1) = 0,у (1) = 1 - 1 = 0, т.е.
		x→1+0	x→1−0
lim	у(х)= lim	у(х) = у(1) = 0, следовательно, функция в точке х = 1 непрерывна
x→1−0	x→1+0
	(рис. 6.3).
	y			y

		x	1		x
			1
			0
0	1			1
0	1			1
Рис. 6.3.				Рис. 6.4.
г) При х = 1 функция определена, у(1)=0,
lim у(х)=	lim	(х+1)=2, lim у(х)=	lim (х-1)=0,
x→1−0	x→1−0	x→1+0	x→1+0
имеем lim	у(х) ≠ lim у(х), таким образом, в точке х = 1 функция терпит
x→1−0		x→1+0

неустранимый разрыв первого рода (рис. 6.4.)

Глава 7. Производная

7.1. Определение производной

Краткая теория

1. Производной функции y = f (x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

y '= f '(x ) lim	y	= lim	f (x +	x )− f (x )	.	(7.1)
	x
x → 0		x → 0		x

Если функция в точке x0 (или на промежутке X ) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке X ).

2. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , (или на промежутке X ), то

она в этой точке непрерывна (или на промежутке X ). Если функция непрерывна в данной точке, то она обязательно дифференцируема в данной точке.

1. Используя определение производной, найти производную функции f (x) = cos x .

Решение. Придавая аргументу x приращение

Dx ¹ 0 ,

найдем соответствующее

приращение функции:

x + x − x

x + x + x

y = cos (x + x ) − cos x = −2 sin

sin

= −2 sin

sin x +

Составим отношение:

− 2 sin

sin

Найдем предел этого отношения при Dx ® 0 :

− 2 sin

sin

sin x +

y′ = lim

= lim

= − lim

lim sin x +

= − sin x

x→0 x

x→0

→0

(ибо в силу (6.1) первый предел равен 1). Таким образом: y'= − sin x .

2. Доказать, что функция y = 3 x непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0 .

Решение. Функция: y = 3 x

1)определена на всей числовой оси, в том числе в точке x = 0 ;

существует конечный предел lim 3

= 0 ;

x→0

= 3

= 0 .

этот предел равен значению функции в точке x = 0 , т.е. lim 3

x→0

Таким образом, согласно определению (6.4) непрерывности функции в точке,

функция непрерывна при x = 0 .

Производная функции

− 3

y′ = lim = lim

= lim

= ∞ ,

x→0

x→0 3

x 2

т.е. функция не является дифференцируемой при x = 0 .

Используя определение производной, найти производные функций:

f (x) = 3x 2 .

2. f (x) = 3sin 3x .

3.	f (x) =	1			.			5. f (x) =	1		.
3.	f (x) =				.			5. f (x) =			.
			x 2						3x -1
		1						6. f (x) =				.
4.	f (x) =	1				.		6. f (x) =		2 - 3x		.

				x
				x
Доказать, что функции непрерывны и дифференцируемы при x = x0 :
								π
	f (x) = cos 2x , x0							π	8.				f (x) = 2x + 5 ,			x0 = 2 .
7.								= .	8.				f (x) = 2x + 5 ,			x0 = 2 .
7.								= .
								2
Доказать, что функции являются непрерывными, но не дифференцируемы при x = x0 :
9.	f (x) =		x + 2				, x0	= -2 .					3
									10.				f (x) = (x - 3)	2	, x0	= 3 .

7.2 Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

Краткая теория

I. Дифференцирование явных функций
Правила дифференцирования:
с – постоянная, u = u(x), v = x(x) –		дифференцируемые функции:
c′ = 0	(7.2)	(cu)'= cu'				(7.6)
x′ = 1	(7.3)	(uvw) = u′vw + uv′w + uvw′				(7.7)
(u ± v)′ = u′ ± v′		u		u'v - uv'
	(7.4)		'=		, v(x) ¹ 0	(7.8)

		v		v 2

(uv)'= u'v + uv'		c ′		cv	¢
	(7.5)		= -			, v(x) ¹ 0	(7.9)
				v 2
		v

Производная сложной функции. Если	y = f (u), u = u(x), т.е. y = f [u(x)], где f (u)
и u(x) имеют производные, то	f '(u)×u'
y'=		(7.10)
Производная обратной функции. Если y = f (x) –		дифференцируемая и строго

монотонная функция на промежутке X , то функция обратная к данной x = ϕ ( y) , также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

x'y =

, yx' ¹ 0 .

(7.11)

yx'

y = f (x)

Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции

называется производная от логарифма этой функции, т.е.

(ln y)¢ =

y′

f ′(x)

(7.12)

f (x)

Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

(x n )′ = nx n−1

(7.13)

(cos x)′ = sin x

(7.20)

(

)′ =

, (x > 0)

(7.14)

(tgx)¢ =

(7.21)

cos2 x

(ek )¢ = e k

(7.15)

(ctgx)¢ = -

(7.22)

sin 2

(a k )¢ = a x ln a

(7.16)

(arcsin x)'=

, (

< 1)

(7.23)

- x 2

(ln x)¢ =

, (x > 0)

(7.17)

(arccos x)¢ = -

, (

< 1)

(7.24)

(arctg x)'=

- x 2

(loga x)¢ =

, (x > a, a > 0) (7.18)

(7.25)

x ln a

+ x 2

(sin x)′ = cos x

(7.19)

(arcctgx)¢ = -

(7.26)

1 + x 2

II. Дифференцирование неявных функций

Если зависимость между x

задана в неявной форме уравнением F (x, y) = 0 , то

для нахождения производной функции

необходимо продифференцировать по x обе

части данного уравнения, рассматривая

как функцию от x .Из полученного уравнения

первой степени (относительно y') находится y'.

III. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

x = ϕ (t ) и

Если

функция

аргумента

заданна параметрически

уравнениями

y = ϕ (t) , то

yt¢

y¢ =

(7.27)

xt¢

IV. Производные высших порядков.

(n -1)-го

Производные п-го порядка называется

производная

от

производной

порядка.

Производные

высших

порядков

вычисляются

последовательным

дифференцированием данной функции:

( n−1)

′′

′

′′′

= ( y

′′

…;

(n)

= ( y

(7.28)

= ( y );

) ;

) .

Если функция задана параметрически, то

y"xx =

(y ' )'

(y"

yx(n)

( y ( n−1) )¢

x t

;

y'"xxx

;

…;

(7.29)

x't

xt¢

x't

3. Найти производные функций:

а)

y = 2x5 - 5 × 2 x

+ 4x - 7 log 2 x - ln 2 ;

б) y = (1 + x 2 ) × arctgx ;

в)

y =

sin x + cos

;

г) y = log3 (2x3 +1) .

sin x - cos x

Решение.

а) Используя правила дифференцирования (7.2), (7.4), (7.6) и формулы (7.13), (7.16) и (7.17) получим

y'= (2x5 )'-(5 × 2 x )'+4(x)'-(7 log2 x)'-(ln 2)'= 2(x 5 )'−5(2 x )'+4(x)'−7(log 2 x)'−0 = = 10x 4 - 5 × 2 x ln 2 + 4 - 7 .

x ln 2
б) Используя правила дифференцирования (7.5) и формулу (7.25), получим:
y¢ = (1 + x 2 ) × arctgx + (1 + x 2 ) × (arctgx)¢ = 2x × arctgx + (1 + x 2 ) ×	1	= 2x × arctgx +1

	+ x 2
1

в) Используя правила дифференцирования (7.8) и формулы (7.19) и (7.20), получим:

− 2

(sin x + cos x)2

¢ = (sin x + cos x)′(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(sin x − cos x)′ =

(sin x + cos x) 2

= (cos x − sin x)(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(cos x + sin x) =

(sin x + cos x)2

г) Используя правила дифференцирования сложной функции (7.10) и формулы (7.13) и (7.18), получим:

y'= (log3 (2x3 + 1))'=

(2x3

+ 1)'=

6x2

(2x3

1)ln 3

(2x3 +1)ln 3

′

y = x

+ e

4. Найти производную x y обратной функции, если

ln x .

Решение. Находим производную функцию y по переменной x :

y'= 2 x + e x ln x +

e x

2 x 2 + e x (x ln x + 1)

Следовательно, согласно соотношению (7.11), получи:

x¢y =

2x 2

+ e x (x ln x +1)

5. Найти производные функций:

б) y =

(3x + 2)4 3

а) y = x x3

;

5x -1

(1 - 2x)3 1 - x 2

Решение.

а) Имеем показательно-степенную функцию. Используя метод логарифмического дифференцирования (7.12) получим:

(ln y)'=	y' = (ln x x3 )= (x3 ln x)'= 3x 2 ln x +	x3	= x 2 (3ln x +1).
		x
	y

Отсюда имеем:

y¢ = y(ln y)¢ = y × x2 (3ln x +1) = x x3 × x 2 (3ln x +1) = x x3 +2 × (3ln x +1) .

б) Здесь заданную функцию также целесообразно прологарифмировать:

ln y = 4 ln(3x + 2) +

ln(5x -1) - 3ln(1 - 2x) -

ln(1 - x 2 ) .

Найдем производную:

(ln y)¢ =

3x + 2

3(5x -1)

1 - 2x

- x 2

Тогда, согласно формуле (7.12), получим

(3x +

5x -1

y¢ = y(ln y)¢ =

(1 - 2x)3

3(5x -1)

1 - 2x

1 - x

1 - x 2 3x + 2

6. Найти производную y' =

неявной функции x 2

+ 9 y 2

= 16 .

Решение. Так как y является функцией от

x ,

то будем рассматривать y 2 как

сложную функцию от x . Продифференцировав обе части данного уравнения по x , имеем

2x + 18 yy′ = 0 .

Разрешая последнее уравнение относительно y', получим:

y¢ = - 2x - x . 18 y 9 y

7.17. Найти производную y′

функции, заданной параметрически:

x = a cos

y = a sin

Решение.

Используя

правила дифференцирования функции, заданной

параметрически (7.27), найдем:

= (a cos 2 t)′ = 2a cos t(− sin t) и

= (a sin 2 t)′ = 2a sin t cos t .

Отсюда

2a sin t cos t

= −1 .

− 2a cos t sin t

7.18.Найти производную 4-го порядка от функции y = sin 2x .

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

y′ = 2 cos 2x ; y '= −4 sin 2x ; y ''= −8 cos 2x ; y (4) = −16 cos 2x .

7.19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

x = a sin t;

= cos .y b t

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

y' =	(b cos t)'t	= -	b sin t	= -	b	tgt ;

x	(a sin t)'t		a cos t		a

(−

tgt)'

−

a cos 2 t

y '' =

= −

(a sin t)'

a cos t

a 2

cos3 t

7.20. Найти производную n-го порядка от функции y = ln(1 + x) . Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

y'=

= (1 + x)−1 ; y ''= -(1 + x)−2 ; y '= 1× 2 × (1 + x) −3 ;

+ x

y (4) = -1× 2 × 3(1 + x)−4 ; … ;

y (n) = 1× 2 × 3 ×... × (n -1) × (-1) n−1 (1 + x) −n

(-1)n−1 (n -1)!

(1 + x)n

Найти производные функций:

7.21. y = x 7 - 2x5 + 5 -

x 2

+ 2x

x5 x .

7.45. y = ln

x + 1

7.27. y = x 2 sin x + 2x cos x - 2 sin x

7.49.

y = e

sin 2 x

x 2 +1

7.57. y = arctg

9x 2 -1 .

7.29.

y = x 2 -1 .

7.65. y = arcsin

7.35. y = 2 - 3x 4

1 + x

Найти производные x'

обратных функций:

x − 1

7.71. y = x − cos x

7.72. y = 2x + x3

7.75. y =

x + 5

Найти производные y'

от неявных функций:

7.76 2x + y − 4 = 0

7.82. ln y +

− a = 0

7.85

e x

+ e y − e xy − 1 = 0 .

7.77. x ln y + y ln x = 0

7.79

− 2 = 0 .

7.84. x y − y x

= a

Найти производные функций, заданных параметрически:

x = a cos2 t	x = a(t - sin t )	x = et sin t	.
7.89.	7.90.	7.91.	.
y = a sin 2 t	y = a(1 - cos t )	y = et cos t
Найти производные второго порядка функций:

7.94 y = x3 - 4x 2 + 5x -1	7.95. y = x 2 1 - x 2	7.97. y = sin 2 3x .

Найти производные n -го порядка функций:

7.100. y = x × e x

7.101. y = ln x

7.104. y =

3x +

7.106. Показать, что функция

y = 3tg(2x -1)

y ''= 2 yy'.

удовлетворяет уравнению

7.107. Показать, что функция

y = 2 × e3x

- e−3x

удовлетворяет уравнению

yy ''= y 'y '.

7.108. Показать,

что

функция

sin x

удовлетворяет

y = 1 -

cos x + 1 +

y ''+ y = x sin x .

уравнению

7.3. Геометрические и механические приложения производной

Краткая теория

y = f (x)

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением

или F (x, y) = 0 ,

то

f '(x0 ) = tga

есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее

наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнение касательной к кривой y = f (x)

в точке x0 имеет вид:

y - f (x0 ) = f '(x0 )(x - x0 ) ,

(7.30)

а уравнение нормали:

y - f (x0 ) = -

(x - x0 ) .

(7.31)

f '(x0 )

Углом между двумя кривыми y = f1 (x) , y = f 2 (x)

в точке их пересечения M 0 (x0 , y0 )

называется угол между касательными к этим кривым в точке

M 0 ,

тангенс которого

находится по формуле:

tgϕ =

f '2 (x0 ) - f '1 (x0 )

(7.32)

1 + f '1 (x0 ) × f '2 (x0 )

2. Механический смысл производной. Если точка движения по закону s = s(t) ,

где

s - путь, t - время,

то s'(t) представляет скорость изменения пути в момент

t . Вторая

производная пути по времени s '(t) = [s '(t )]'= v'(t)

есть скорость изменения скорости или

ускорение точки в момент t .

3 − x

7.109.

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции

точке с абсциссой x0 = 2 .

2x - 3

3 − 2

Решение.

Вычислим значение

функции

точке

= 2 :

= 1.

2 × 2 - 3

− 3

Производная

функции

y'=

Значение

производной

точке

= 2 :

(2x - 3)2

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2018166.6 Кб7attachment.docx
#
21.05.2015665.6 Кб31A_Few_Glimpses_of_Ecology_metodichka.doc
#
21.05.20152.51 Mб88bibliofond.ru_732812.rtf
#
21.05.2015315.39 Кб25Bilety_po_filosofii.doc
#
02.12.2018205.31 Кб10biology.doc
#
21.05.2015357.59 Кб60Ch_1-_Pr-m_Gl_1-7.pdf
#
21.05.2015787.4 Кб46Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11.pdf
#
21.05.20152.94 Mб154Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11_-_kopia.doc
#
21.05.2015403.46 Кб17datyIstoria_Rossii.doc
#
21.05.2015720.45 Кб16Don_Failla_System.pdf
#
21.05.201537.89 Кб12Ekzamenatsionnye_voprosy_po_istorii.doc