Баева

Распределительные задачи решаются с помощью специальных вычислительных методов, представляющих собой модификацию методов решения транспортных задач. Частными видами таких задач являются:

1)простые распределительные задачи (все λik = const);

2)задачи с однородными ресурсами (все строки матрицы (λik ) одинако-

вы, то есть λik = λ1k при различных k);

3) задачи с пропорциональными ресурсами (λik = αiλ1k при различных i).

2.2. Задачи для закрепления приемов моделирования распределительных процессов

Задача 1. Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т, которые можно использовать на издание четырёх книг тиражом в 8000, 6000, 15 000 и 10 000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6, 0,8, 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость (в к.) печатания книги при использовании i-го сорта бумаги задаётся матрицей:

Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.

Вариант решения 1. Обозначим через xik количество бумаги i-го сор-

та, расходуемой на печать k-й книги. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):

x11 + x12 + x13 + x14 ≤10000,

Ограничения на производственную программу:

Требование неотрицательности переменных:

51

Функция цели в данной задаче представляет собой выражение, описывающее производственные расходы на печать книг, которые должны быть минимизированы:

Ограничения (1–3) и целевая функция (4) составляют искомую математическую модель.

Вариант решения 2. Обозначим через xik количество экземпляров k-й

книги, отпечатанной на бумаге i-го сорта. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):

0,6x11 +0,8x12 +0,4x13 +0,5x14 ≤10 000,

0,6x21 +0,8x22 +0,4x23 +0,5x24 ≤8000, 0,6x31 +0,8x32 +0,4x33 +0,5x34 ≤5000.

Ограничения на производственную программу:

Требование неотрицательности переменных: xik ≥0, i =1...3, k =1...4.

Функция цели:

24x11 +16x12 +32x13 +25x14 + +18x21 +24x22 +24x23 +20x24 + +30x31 +24x32 +16x33 +20x34 → min.

Задача 2. Авиакомпания для организации пассажирских перевозок между центром и четырьмя городами располагает тремя группами самолётов: 1-я группа – из 10 четырёхмоторных самолётов, 2-я – из 25 двухмоторных самолётов и 3-я – из 40 двухмоторных старого образца.

Минимальное (гарантированное) количество пассажиров, перевозимых одним самолётом данного типа по каждому маршруту за один месяц (в тыс. человек), и связанные с этим эксплуатационные расходы на 1 самолёт (в тыс. р.) указаны соответственно в правых верхних и левых нижних углах каждой клетки таблицы. Там же в двух последних строках приведе-

52

Распределить самолёты по маршрутам из условия достижения максимальной прибыли авиакомпании.

Решение. Обозначим через xij количество самолетов i-го вида, выполняющих рейсы по j-му маршруту. Тогда получим ограничения на количество самолетов каждого вида:

В данной задаче потребностью является необходимость перевезти определенное количество пассажиров по определенному маршруту. Тогда ограничения на удовлетворение потребностей будут выглядеть следующим образом:

1,6x11 +2,8x21 +0,8x31 ≥20,

1,3x31 +2,4x32 +1,0x33 ≥40,

2,0x42 +1,5x43 ≥30.

Требование неотрицательности переменных:

Целевая функция должна представлять собой выражение, описывающее доход авиакомпании, который формируется за счет продаж билетов за вычетом эксплуатационных расходов. Она будет иметь вид:

53

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. На четырёх ткацких станках с объёмом рабочего времени 200, 300, 250 и 400 станко-часов может изготавливаться ткань трёх артикулов в количествах 260, 200, 340 и 500 метров за 1 час. Составить модель формирования плана загрузки станков, если прибыль (в р.) от реализации 1 м ткани i-го артикула при её изготовлении на k-м станке характеризуется элементами матрицы:

а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна соответст-

венно 200, 100 и 150 тыс. м.

Задача 2. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 50, 70, 65 и 60 р. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ, в 3-й и 4-й мастерских – только на указанный вид работ.

Матрица

характеризует транспортные расходы на доставку машины с i-й автобазы на k-ю ремонтную мастерскую.

Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объёма ремонтных работ по всем автобазам.

Задача 3. Четыре различных предприятия могут выпускать любой из четырёх видов продукции. Производственные мощности предприятий позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах (по заводам): 50, 70, 100 и 30 тыс. штук, а плановое задание составляет соответственно (по видам продукции) 30, 80, 20 и 100 тыс. шт. Матрица

характеризует себестоимость единицы k-го вида продукции при производстве его на i-м предприятии.

54

Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями.

Задача 4. Имеется три предприятия (1, 2, 3), которые могут выпускать три вида продукции: А, Б, В. Каждое из них располагает двумя видами ресурсов (I, II), объёмы которых составляют для 1-го предприятия 250 и 150 единиц, для 2-го 100 и 200 единиц и для 3-го соответственно 240 и 300 единиц. Известны: нормы затрат каждого ресурса на i-м предприятии для производства единицы k-й продукции (k = 1, 2, 3); себестоимость производства единицы k-й продукции на i-м предприятии; объём производства k-й продукции, предусмотренный производственной программой.

Все указанные числовые данные приведены в следующей таблице.

Составить математическую модель для определения оптимальной специализации производства из условия минимизации суммарной себестоимости.

Решить ту же задачу из предположения, что I вид ресурсов жёстко закреплён за предприятием, а II вид можно передавать от одного предприятия другому.

§ 3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике

Риск – вероятность возникновения убытков или снижения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом. Усиление риска – это оборотная сторона свободы предпринимательства, своеобразная за нее плата. Чтобы выжить в условиях конкуренции, нужно решаться на внедрение инноваций и на смелые нестандартные действия, а это усиливает риск. Приходится смириться с неизбежностью риска, научиться его оценивать и прогнозировать.

Под неопределенностью понимается неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта (решения). Выделяют два класса источников информационной неопределенности: ее избыток и дефицит. Дефицит информации может порождаться ее недостоверностью, противоречивостью, искажением, невозможностью четкой интерпретации. Избыток информации порождается ее большими объемами и наличием «шума».

55

Считается, что частичное (либо полное) отсутствие или избыток информации в задачах принятия решений могут порождать следующие типы неопределенности:

–неопределенность состояний внешней среды;

–неопределенность целей;

–неопределенность действий.

При проведении финансовых операций важнейшим следствием информационной неопределенности является также и временная неопределенность (т. е. неопределенность, касающаяся продолжительности операции; времени поступления информационного сигнала – например, времени покупки/продажи актива; изменения характеристик потоков платежей и т. д.).

Вусловиях неопределенности субъект может приступить к действию, отсрочить действие либо вообще отказаться от его реализации.

Вотличие от неопределенности риск возникает только в тех ситуациях, когда субъект принимает решение действовать. Будучи неразрывно связан с действием, риск, по сути, является некоторой прогностической оценкой возможности или последствий его осуществления. Очевидно, что подобная оценка должна предварять действие.

Исследования взаимосвязи риска и неопределенности в экономике имеют давнюю историю и представляют немалый интерес. Классическая концепция взаимосвязи риска и неопределенности была сформулирована Ф. Найтом (1921) в его работе «Риск, неопределенность и прибыль». Согласно концепции Найта, риск – это измеримая неопределенность: предприниматель может «предвидеть» или «угадать» некоторые основные параметры (результаты, условия) своего дела в будущем. С точки зрения современного количественного анализа это означает, что распределение ассоциируемой с риском случайной величины известно или может быть ка- ким-то образом определено (задано). Способ выявления вероятностей может быть относительно простым (например, по прецеденту, путем использования известного закона распределения и т. д.) или достаточно сложным, когда ситуацию приходится описывать в плохо определенных терминах, например с помощью лингвистических переменных. Соответственно, неопределенность связана с отсутствием какого-либо способа формирования соответствующего распределения вероятностей и не поддается объективному или субъективному измерению. Несмотря на условность подобных формулировок, подход Ф. Найта определяет математическую базу для количественного измерения и моделирования рисков, которой является аппарат теории вероятностей. Развитие подходов Ф. Найта в области численной оценки рисков нашло свое продолжение в теории рационального выбора (Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн) и теории оценки предпочтения состояний (state-preference theory), предложенной К. Эрроу, которые играют важнейшую роль при моделировании финансовых рисков. Неопределен-

56

ность описывается как конечное множество взаимоисключающих состояний S = {S1 ,..., Sn }. При этом делаются следующие допущения:

–предполагается, что каждому из возможных состояний Si может быть приписана его вероятностная оценка p(Si ) ;

–реализация конкретного состояния полностью определяет значения всех экзогенных переменных;

–субъект способен ранжировать свои предпочтения в зависимости от вероятностных оценок.

Впростейшем случае исход любого состояния считается равновероятным. Таким образом, риск является оценкой конкретной реализации неопределенности (состояния).

Существует ряд подходов к классификации рисков. Одним из первых классификацией рисков занялся Дж. М. Кейнс. Обобщая классификацию Кейнса, подавляющее большинство авторов в настоящий момент выделяет следующие риски:

1)организационные риски: в этот пункт можно включить риски, связанные с ошибками менеджмента компании, ее сотрудников; проблемами системы внутреннего контроля, плохо разработанными правилами работ и пр., т. е. риски, связанные с внутренней организацией работы компании;

2)рыночные риски – это риски, связанные с нестабильностью экономической конъюнктуры: риск финансовых потерь из-за изменения цены товара, риск снижения спроса на продукцию, трансляционный валютный риск, риск потери ликвидности и пр.;

3)кредитные риски – риск того, что контрагент не выполнит свои обязательства в срок. Эти риски существуют как у банков (классический риск невозврата кредита), так и у предприятий, имеющих дебиторскую задолженность, и организаций, работающих на рынке ценных бумаг;

4)юридические риски – это риски потерь, связанных с тем, что законодательство или не было учтено вообще, или изменилось в период сделки; риск несоответствия законодательств разных стран; риск некорректно составленной документации, в результате чего контрагент в состоянии не выполнять условия договора и пр.;

5)технико-производственные риски – риск нанесения ущерба окружающей среде (экологический риск); риск возникновения аварий, пожаров, поломок; риск нарушения функционирования объекта вследствие ошибок при проектировании и монтаже, ряд строительных рисков и пр.

Помимо вышеприведенной классификации, риски можно классифицировать по другим признакам. По последствиям принято разделять риски на три категории:

– допустимый риск – это риск решения, в результате неосуществления которого предприятию грозит потеря прибыли; в пределах этой зоны предпринимательская деятельность сохраняет свою экономическую целе-

57

сообразность, т. е. потери имеют место, но они не превышают размер ожидаемой прибыли;

–критический риск – это риск, при котором предприятию грозит потеря выручки; иначе говоря, зона критического риска характеризуется опасностью потерь, которые заведомо превышают ожидаемую прибыль и,

вкрайнем случае, могут привести к потере всех средств, вложенных предприятием в проект;

–катастрофический риск – риск, при котором возникает неплатежеспособность предприятия; потери могут достигнуть величины, равной имущественному состоянию предприятия. Также к этой группе относят любой риск, связанный с прямой опасностью для жизни людей или возникновением экологических катастроф.

В процессе риск-менеджмента важнейшим этапом является анализ и оценка риска. Необходимость этого этапа определяется потребностью выявить степень возможности возникновения риска и величину потерь в случае возникновения. Цель учета риска – защита от катастрофических убытков и минимизация затрат на прирост стоимости капитала.

Расчет и анализ рисков может включать:

–моделирование последствий каждого фактора риска;

–определение реальной (прогнозируемой) возможности появления каждого фактора риска и потерь;

–временное распределение рисков;

–построение структурно-элементной модели факторов риска с идентификациейкаждогофактораиегоколичественнойоценкой;

–ранжирование факторов риска по значимости и выбор наиболее опасных рисков;

–создание базы данных (базы знаний) по аналогичным проектам о приемлемости того или иного уровня риска;

–выбор альтернативных критериев для выработки стратегии управления риском;

–максимизацию ликвидности;

–максимизацию прибыльности при фиксированных уровнях ликвидности и риска;

–минимизацию риска для фиксированных уровней ликвидности и прибыли.

3.1. Математические приемы моделирования процессов, протекающих в условиях риска и неопределенности

Выбор аппарата моделирования процессов, протекающих в условиях риска и неопределенности, определяется спецификой постановки задачи и конкретной информацией о случайных величинах, являющихся форма-

58

лизованным описанием неопределенности ситуации. Выделим несколько подходов.

1. В условиях полного отсутствия информации о распределении случайной величины S, значения которой описывают конечное множество взаимоисключающих событий в будущем S = {S1 ,..., Sn }, используются кри-

терии максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, базирующиеся на так называемой матрице выигрышей [8]. Пример 1 демонстрирует использование данных критериев с кратким изложением теории. В случае непрерывного характера случайной величины S и отсутствия информации о ее распределении, при формировании математических моделей, являющихся аналогами моделей, приведенных в предыдущих разделах пособия, делаются следующие практические рекомендации. Во-первых, рекомендуют добавлять в модели интервальные ограничения Smin ≤ S ≤ Smax , соответствующие экс-

пертной оценке для данной случайной величины, во-вторых, строить дерево решений, отражающее параметрический анализ оптимального решения модели [8].

2.Если известен закон распределения случайных величин, являющихся формализованным описанием неопределенности ситуации, то все зависит от глубины исследования и доступного математического аппарата. В простейшем случае вместо детерминированного показателя эффективности коммерческого решения (наиболее часто используемым показателем эффективности коммерческого решения служит прибыль) и (или) детерминированных параметров модели используется математическое ожидание (среднее ожидаемое значение) этих величин, а мерой риска коммерческого решения считается среднеквадратическое отклонение значения показателя эффективности этого решения. Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения, то чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, тем меньше риск. Такой подход

кмоделированию ситуации в условиях риска и неопределенности используется в хорошо известной задаче формирования портфеля ценных бумаг в финансовом анализе. В нашем пособии данный подход демонстрируется в примерах 2, 3, 4, 5. В [8, 9] делается подробный анализ такого подхода.

3.Отдельно рассмотрим подход стохастического программирования [10], хотя он является частным случаем предыдущего. Этот подход можно использовать только в ситуациях, когда известен закон распределения случайных величин, являющихся формализованным описанием неопределенности ситуации. Опишем данный подход на примере задач линейного программирования. Если коэффициенты вектора c целевой функции являются случайными величинами, то задача стохастического программирования может быть сформулирована в двух M - и P -постановках. При M - постановке целевая функция означает максимизацию (минимизацию) ма-

59

тематического ожидания показателя эффективности решения и записывается в виде:

M∑cj xj →max (min).

j−1

При использовании P -постановки должно быть экспертно задано предельно допустимое наихудшее значение целевой функции, например, при максимизации задается минимально допустимое значение Fmin . Суть

P -постановки заключается в том, чтобы найти значения xj , при которых

максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельного значения:

При записи ограничений фактор неопределенности можно также учитывать двумя способами. В первом варианте случайные величины, определяющие параметры линейных ограничений, определяются их математическими ожиданиями, и ограничения записываются в виде:

n

∑aij x j ≤ bi , j=1

где aij , bi – математические ожидания случайных величин aij , bi . Во втором вариантекаждое i -еограничениедолжнобытьзаписаноследующимобразом:

Эта запись означает, что вероятность того, что будет выполнено ограни-

n

чение ∑aij x j ≤ bi , должна быть не менее заданной величины gi .

j=1

В общем случае задачи стохастического программирования как M -, так и в P -постановках непосредственно не решаются. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам, в основе которого лежит использование закона распределения случайных величин [10].

Пример 1. Рассматривается проблема выбора из n альтернативных решений в условиях неопределенности, когда известны только m предполагаемых состояний окружающей среды и нет информации о вероятности наступления каждого из этих состояний. Считается известной матрица выигрышей. В строках данной матрицы стоят возможные альтернативные решения A1 , A2 ,..., An , а в столбцах – возможные состояния окружающей

60