bfa

2.Объединение любого числа открытых множеств открыто.

3.Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Свойства полных метрических пространств

Пусть (X; ) метрическое пространство. Последовательность xn точек пространства X называют фундаментальной, если

8" > 0 9N такое, что 8m; n > N (xm; xn) < ":

Метрическое пространство (X; ) называют полным, если каждая фундаментальная последовательность имеет в нем предел.

Теорема 2 (Принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство (X; ) было полно, необходимо и достаточно чтобы любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров в нем имела непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Пусть пространство (X; ) полно и

B(x1; r1) B(x2; r2) последовательность замкнутых шаров. Без ограничения общности можно полагать, что радиусы шаров стремятся к нулю. Тогда для любых m > n имеем xm 2 B(xm; rm) B(xn; rn) и поэтому (xm; xn) rn. А поскольку rn ! 0, то последовательность xn îêà- зывается фундаментальной и, следовательно, имеет предел x 2 X. Пусть

BN = B(xN ; rN ) произвольный шар из последовательности. Покажем, что x 2 BN , для чего покажем, что x точка прикосновения множества BN . Пусть B(x; ") некоторый шар радиуса " с центром в точке x. Так как xn ! x, то для любого " > 0 существует число n0, такое, что для всех n > n0 точка xn принадлежит шару B(x; "). Поэтому найдется n больше нашего N, такое, что xn 2 B(x; "). Íî xn 2 B(xn; rn) B(xN ; rN ). Поэтому xn 2 B(xN ; rN ) \ B(x; "), а значит, указанное пересечение непусто. Следовательно, x 2 BN = BN . Таким образом, x 2 \1n=1B(xn; rn).

9

Достаточность. Пусть любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров имеет непустое пересечение. Докажем, что X полно.

Пусть xn 2 X фундаментальная последовательность. Выберем n1 такое, ÷òî ïðè âñåõ n > n1 (xn1 ; xn) < 1=2, и обозначим B1 = B(xn1 ; 1). Аналогично выберем n2 > n1 такое, что (xn2 ; xn) < 1=4 для любого n > n2.

Обозначим B2 = B(xn2 ; 1=2). Продолжая этот процесс, построим последова-

тельность замкнутых шаров Bk = B(xnk ; 1=2k 1). Покажем, что Bk+1 Bk. Пусть x 2 Bk+1, ò.å. (x; xnk+1 ) < 1=2k. Тогда

шарам, т.е. (x; xnk ) < 1=2k 1. Значит подпоследовательность xnk сходится к x, а поскольку последовательность xn фундаментальна, она также сходится к тому же пределу x.

Теорема 3 (Теорема о категории). Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что полное метрическое пространство (X; ) можно представить в виде X = [1n=1An, ãäå An X нигде не плотное множество. Пусть B0 A некоторый шар радиуса 1. Так как A1 нигде не плотно в X, существует замкнутый шар K1 = B(x1; r1) B0 такой, что K1 \ A1 = , причем можно считать, что r1 < 1=2. Аналогичным образом, поскольку A2 нигде не плотно в X, существует замкнутый шар

K2 = B(x2; r2) K1 такой, что K2 \ A2 = è r2 < 1=4.

Поскольку пространство X полно, построенная последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров имеет хоть одну общую точку

10

Принцип сжимающих отображений

Пусть (X; ) метрическое пространство и f : X ! X отображение.

Отображение f называют сжимающим, если существует такое число , 0 << 1, что 8x; y 2 X (f(x); f(y)) (x; y). Точку x 2 X называют неподвижной точкой отображения f, если f(x) = x.

Теорема 4 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение f : X ! X полного метрического пространства X в себя имеет ровно одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть x0 2 X произвольная точка. Рассмотрим после-

довательность xn:

x1 = f(x0); x2 = f(x1) = f2(x0); : : : ; xn = f(xn 1) = fn(x0); : : : :

Покажем, что последовательность xn фундаментальна. При m > n

(xn; xm) = (f(xn 1); f(xm 1)) (xn 1; xm 1) n (x0; xm n):

Далее применим несколько раз неравенство треугольника и оценим каждое из полученных слагаемых:

n (x0; xm n) n( (x0; x1) + (x1; x2) + + (xm n 1; xm n))

n( (x0; x1) + (x0; x1) + + m n 1 (x0; x1)) =

= n (x0; x1)(1 + + + m n 1) (x0; x1) n : 1

Так как 0 < < 1, правая часть этой оценки стремится к нулю при n ! 1. Отсюда и из оценки для (xn; xm) видим, что последовательность xn äåé-

ствительно фундаментальна. Поскольку пространство X полно, последова-

тельность xn имеет предел xn ! x 2 X.

Заметим, что сжимающее отображение f непрерывно. Действительно,

åñëè xn ! x, òî (f(xn); f(x)) (xn; x) ! 0, ò.å. f(xn) ! f(x). Äëÿ

11

нашей последовательности xn = fn(x0) получаем, что

Таким образом, точка x = lim fn(x0) является неподвижной точкой отоб-

ражения f. Для доказательства единственности неподвижной точки заме-

тим, что если x и y неподвижные точки, то (f(x); f(y)) (x; y) =

(f(x); f(y)), откуда (f(x); f(y)) = (x; y) = 0.

Пример.

Рассмотрим отображения вида f(x) = Ax+b, где A заданная матрица, b 2 Rn заданный вектор. Очевидно, любую систему линейных уравнений можно представить в виде x = Ax+b. Если подобрать на Rn такую метрику, в которой отображение f будет сжимающим, то решение системы можно будет найти методом итераций, т.е. как предел последовательности xn = fn(x0) с произвольной начальной точкой x0.

Найдем условия на коэффициенты матрицы A = faijg, при которых отображение f будет сжимающим в пространстве Rn1 с метрикой (x; y) =

12

Топологические пространства

Пусть задано произвольное множество X. Семейство подмножеств =

fUg множества X называют топологией если:

1). пустое множество и все пространство X принадлежат ; 2). любое объединение множеств из снова принадлежит ;

3). пересечение конечного числа множеств из снова принадлежит . Топологическим пространством называют пару (X; ), т.е. множество X, на

котором задана топология . Иногда для упрощения обозначений топологию в явном виде не указывают. Сами множества, входящие в семейство

, называют открытыми.

Множество F X называют замкнутым, если его дополнение X n F

открыто. Окрестностью точки x 2 X называют всякое открытое множество U(x), содержащее точку x. Топологическое пространство называют хаусдорфовым, если любые две его различные точки имеют непересекающиеся окрестности.

Пример.

1. Пусть (X; ) метрическое пространство, набор всех его открытых (т.е. совпадающих со своей внутренностью) подмножеств. Очевидно, условия 1)-3) из определения топологии для семейства выполняются. Таким образом, (X; ) топологическое пространство. Проверим, что оно является хаусдорфовым. Пусть x; y 2 X и x 6= y. В качестве окрестностей возьмем открытые шары, U(x) = B(x; r=3), U(y) = B(y; r=3), где r = (x; y). Оче- видно, U(x) \ U(y) = .

Таким образом, метрическое пространство есть хаусдорфово топологиче- ское пространство .

2. Пусть X = fa; bg множество, состоящее из двух точек. Положим

= f ; fbg; fa; bgg. Выполнение условий 1)-3) проверяется непосредственно.

13

Очевидно, точка a имеет только одну окрестность U(a) = fa; bg, а точка b

две: U(b) = fbg или U(b) = fa; bg. В любом случае U(a) \ U(b) 6= , и поэтому топологическое пространство (X; ) не хаусдорфово.

3. Пусть X произвольное множество. Положим 1 = f ; Xg è 2

ство всех подмножеств множества X. Легко видеть, что 1 è 2

топологиями. Топологию 2 называют дискретной, а 1 антидискретной. Многие определения, данные для метрических пространств переносятся на случай топологических пространств. Например, точку x называют точкой прикосновения множества A, если любая окрестность точки x пересекается с множеством A. Аналогично можно дать определения предельной точки, внутренней точки, внутренности, замыкания, всюду плотного множества, компактного множества, предела. Например, множество K X называ-

ют компактным, если из K [U , где U

выделить конечный набор множеств fU i gni=1 такой, что K [ni=1U i . Пусть X, Y топологические пространства и f : X ! Y отображение.

Отображение f называют непрерывным в точке x 2 X, если lim !x f( ) =

f(x), или, в развернутом виде, если для любой окрестности U(f(x)) точки

f(x) в пространстве Y найдется окрестность V (x) точки x в пространстве

X такая, что при всех 2 V (x) должно быть f( ) 2 U(f(x)). Функцию f

называют непрерывной, если она непрерывна в любой точке x 2 X.

Теорема 5. Пусть X, Y топологические пространства и f : X ! Y

Доказательство. Докажем, что 1 ) 2. Пусть функция f : X ! Y непрерывна и U Y открытое множество. Будем полагать, что f 1(U) 6= ,

14

поскольку в противном случае утверждение очевидно. Пусть x 2 f 1(U),

x2f 1(U) V (x) f 1(U);V (x) открыто

В силу второго условия из определения топологии V открыто. Легко видеть также, что V f 1(U). Пусть теперь x 2 f 1(U). Согласно (1), найдется открытое множество V (x) f 1(U). Тогда x 2 V (x) V . Поэтому, f 1(U) V . Таким образом, f 1(U) совпадает с V , которое, как уже отме- чалось, открыто.

Докажем теперь, что 2 ) 1. Пусть выполнено утверждение 2. Пусть x 2 X, y = f(x), и U = U(y) произвольная окрестность. Тогда множество V = f 1(U) открыто и является окрестностью точки x, поскольку x 2 V = f 2 X : f( ) 2 Ug. Мы доказали, что для любой окрестности U(f(x)) точки f(x) найдется окрестность V (x) = f 1(U(f(x))) точки x такая, что при всех 2 V (x) будет f( ) 2 U(f(x)), т.е. непрерывность f в точке x.

Докажем, что 2 ) 3. Пусть выполнено утверждение 2, и F Y замкнуто. Тогда U = Y n F открыто. Значит, согласно 2, открыто и f 1(U). Осталось заметить, что

f 1(U) = f 1(Y n F ) = X n f 1(F );

откуда и следует замкнутость f 1(F ). Доказательство 3 ) 2 проводится аналогично.

15