FA

8

Задача 11. Докажите, что на семействе всех непустых подмножеств метрического пространства X вырожденным расстоянием (см. задачу 9)

между множествами E X и F X является метрика Хаусдорфа

Задача 12. (a) Пусть X множество, а k последовательность мет- рик на нем, k = 1; 2 : : : . Докажите, что функция

ãäå x(0)(t) означает x(t), являются метриками на множестве C1[a; b] бесконечно дифференцируемых функций на [a; b].

Задача 13. Проверьте, что функция

является метрикой на множестве C[a; b] всех непрерывных на [a; b] функций.

1.2.Предел последовательности

Говорят, что последовательность элементов xn метрического простран- ства X сходится к элементу x 2 X, если limn!1 (xn; x) = 0:

Задача 14. Докажите, что никакая последовательность не может иметь двух различных пределов.

Задача 15. Докажите, что если последовательность xn сходится к x, то и всякая ее подпоследовательность сходится к x.

9

Задача 16. Докажите, что если в метрическом пространстве xn ! x è(xn; yn) ! 0, òî è yn ! x.

Задача 17. Выясните, сходятся или нет в Rn1 , Rn2 è Rn1 следующие по- следовательности. В случае сходимости найдите предел.

1)xk = (1=k; 0; : : : ; 0).

2)xk = (e k; 1; : : : ; 1).

3)xk = (e k; e k2 ; : : : ; e kn).

4)xk = (sin k; 1; : : : ; 1).

5)xk = (k; 1; 2; : : : ; n 1).

Задача 18. Сходятся ли в l1, l2 è l1 следующие последовательности: 1) xk = (0; : : : ; 0; k1 ; 0; : : : );

| {z }

k 1

2) xk = (0; : : : ; 0; k1 ; k+11 ; k+21 ; : : : );

| {z }

k 1

3) xk = (1; : : : ; 1; k1 ; k+11 ; k+21 ; : : : );

| {z }

k 1

4)xk = (1; 12; : : : ; k1 ; 0; 0; : : : );

5)xk = (1; 1; : : : ; 1; 0; 0; : : : );

| {z }

k

6) xk = (0; 0; : : : ; 0; 2; 0; 0; : : : );

| {z }

k

7)xk = (k1 ; k+11 ; k+21 ; : : : );

8)xk = (k1 ; 0; : : : ; 0; 1; 0; : : : );

| {z }

k

10) x = (1; 1 ; 1 ; : : : ; 1 ; 0; : : : )?

k p2 p3 pk

Задача 19. Сходятся ли в C[0; 1], CL1[0; 1] è CL2[0; 1] следующие последовательности:

1)xk(t) = tk;

2)xk(t) = sin t sin kt ;

kt

k2 + 1;

4) xk(t) = e t=k;

5) xk(t) = tk tk+1; 6) xk(t) = k2e kt2 ;

7) xk(t) = tk t2k;

10

1.3.Открытые и замкнутые множества

Открытым шаром в метрическом пространстве X с центром в точке x0 радиуса r называют множество B(x0; r) всех точек x 2 X, удовлетворяющих условию (x; x0) < r. Замкнутым шаром в метрическом пространстве X с центром в точке x0 радиуса r называют множество B(x0; r) всех точек x 2 X, удовлетворяющих условию (x; x0) r. Открытый шар обычно называют просто шаром. Открытый шар радиуса " с центром в точке x0 принято также называть "-окрестностью точки x0 и обозначать символом O"(x0).

Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего радиуса? При каких значениях радиуса a возможно строгое включение B(x; a) B(y; 1)?

Задача 21. На плоскости R2 с метриками 1, 2 è 1, определенными в

теореме 1, изобразите замкнутые шары B (0; 0); 1 .

Множество M называют ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре, т.е.

9x0 2 X 9r > 0 M B(x0; r):

Пусть множества A и B ограничены в метрическом пространстве X. Докажите, что множество A [ B также ограничено в X.

Точку x 2 X называют точкой прикосновения множества M X, если любая ее "-окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Совокупность всех точек прикосновения множества M обозначают символом M и называют замыканием этого множества.

Покажите, что O"(x0) B(x0; "). Приведите примеры метрических пространств, в которых O"(x0) 6= B(x0; ") для некоторых x0 è ", и метрических пространств, в которых O"(x0) = B(x0; ") äëÿ âñåõ x0 è ".

11

Задача 24. Докажите, что операция взятия замыкания обладает следующими своéñтвами:

1)M M;

2)M = M;

3)åñëè M1 M2, òî M1 M2;

4)M1 [ M2 = M1 [ M2;

5)M1 \ M2 M1 \ M2.

Верно ли, что M1 \ M2 = M1 \ M2?

Задача 25. Следует ли из A B, что A B?

Точку x 2 X называют предельной точкой множества M X, если любая ее " окрестность содержит бесконечно много точек из M. Точку x 2 M называют изолированной точкой множества M, если найдется такая " окрестность этой точки, в которой нет точек множества M, отличных от x. Точку x 2 X называют граничной точкой множества M, если в любой " окрестноcти этой точки имеются как точки, принадлежащие M, так и точки, не принадлежащие M. Множество всех граничных точек множества M называют границей множества M и обозначают @ M.

Задача 26. Докажите, что всякая точка прикосновения множества M является либо предельной, либо изолированной точкой этого множества.

Задача 27. Докажите, что x 2 X является точкой прикосновения множества M тогда и только тогда, когда существует последовательность xn 2 M, сходящаяся к x.

Задача 28. Докажите, что x 2 X является предельной точкой множества M тогда и только тогда, когда существует последовательность различных точек xn 2 M, сходящаяся к x.

Подмножество A множества B называют плотным или всюду плотным в B, если B A. В частности, подмножество A метрического пространства X называют всюду плотным (в пространстве X), если его замыкание A совпадает со всем пространством X. Множество A назы-

вают нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре B X содержится шар B1, не имеющий с A ни одной общей точки.

Докажите, что (a) множество рациональных чисел всюду плотно в R; (b) множество всех векторов с рациональными координатами всюду плотно в Rn.

12

Задача 30. Докажите, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в C[a; b].

Задача 31. Пусть A; B X всюду плотные множества. Возможно ли, что A \ B = ??

Задача 32. Докажите, что замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Множество F X называют замкнутым, если оно совпадает со сво-

им замыканием, т.е. F = F .

Задача 33. Докажите равносильность следующих определений замкнутого множества:

а) множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения;

б) множество называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки;

в) множество называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Задача 34. Докажите, что замыкание M множества M есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M.

Задача 35. Докажите, что всякий отрезок [a; b] числовой прямой есть замкнутое множество.

Задача 36. Докажите, что в пространстве C[a; b] множество всех функций f, удовлетворяющих условию jf(t)j K, t 2 [a; b], где K не зависит от f, замкнуто.

Задача 37. Докажите, что каково бы ни было метрическое пространство X, пустое множество ? и вс¼ X замкнуты.

Задача 38. Докажите, что всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Задача 39. Докажите, что в метрическом пространстве X с дискретной метрикой, описанной в теореме 1, всякое множество замкнуто.

Задача 40. Пусть a и b две фиксированные точки метрического пространства X. Докажите, что множество fx 2 X : (x; a) = (x; b)g замкнуто.

13

Задача 41. Докажите, что пересечение любого числа замкнутых множеств и объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Задача 42. Докажите, что для того чтобы замкнутое множество M

на прямой было нигде не плотно, достаточно, чтобы любой интервал содержал хотя бы одну точку, не принадлежащую M.

Точку x 2 G называют внутренней точкой множества G, если существует "-окрестность O"(x) этой точки, целиком содержащаяся в G. Множество всех внутренних точек множества G называют внутренностью и обозначают G0 èëè Int G.

Множество G, все точки которого являются внутренними, называют

открытым.

Задача 43. Докажите, что интервал (a; b) числовой прямой есть открытое множество.

Задача 44. Докажите, что внутренность любого множества есть открытое множество.

Задача 45. Докажите, что внутренность M0 множества M есть объединение всех открытых множеств, содержащихся в M.

Задача 46. Докажите, что множество открыто тогда и только тогда. когда оно совпадает со своей внутренностью.

Задача 47. Докажите, что шар B(x; r) в любом метрическом пространстве есть открытое множество.

Задача 48. В пространстве C[ 1; 1] даны множество A и элемент x0. Проверьте, что x0 является внутренней точкой множества A:

Задача 49. Докажите, что в метрическом пространстве X с дискретной метрикой, описанной в теореме 1, всякое множество открыто.

Множество всех точек x 2 X, не принадлежащих множеству M X, называют дополнением множества M (до всего пространства) и обозна- чают символом X n M.

Задача 51. Докажите, что пустое множество ? и все X являются открытыми множествами.

Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств и объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

Задача 53. Постройте последовательность открытых множеств, пересе- чение которых не является открытым.

Окрестностью точки называют всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Докажите, что всякая окрестность точки содержит "-окре-

стность этой точки. (Поэтому в определениях точки прикосновения, предельной точки, изолированной точки и граничной точки "-окрестность

можно заменить на окрестность .)

Задача 55. Докажите, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Верно ли обратное утверждение?

Задача 56. Докажите, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно.

Задача 57. Является ли в пространстве C[a; b] множество всех много- членов: а) открытым; б) замкнутым?

Задача 58. Докажите, что для любого множества M X справедливы равенства X n M0 = X n M è X n M = X n M 0.

Верно ли, что внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей? Верно ли аналогичное утверждение для бесконечной совокупности множеств?

Верно ли, что внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей? Если нет, то имеет ли место вклю- чение в какую-либо сторону?

Задача 61. Приведите примеры: а) множества на плоскости, не имеющего граничных точек; б) множества M на плоскости такого, что @ M 6= ?

и M \ @ M = ?; в) несчетного множества M на плоскости такого, что

M = @ M.

15

Докажите, что @ M = M n M0 для любого множества M.

Докажите, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. Покажите на примере, что аналогичное утверждение для бесконечной совокупности множеств не всегда верно.

Задача 64. Докажите, что граница любого множества замкнута.

Задача 65. Рассмотрим на плоскости последовательность концентриче- ских окружностей радиусов r1 < r2 < < rn < : : : . Является ли их объединение замкнутым множеством?

Задача 66. На плоскости дана последовательность замкнутых концентрических кругов радиусов r1 < r2 < < rn < : : : . Является ли их объединение замкнутым множеством? Является ли оно открытым множеством?

Задача 67. Докажите, что для любого множества A в метрическом пространстве и любого числа " > 0 множество M всех точек x, для которых имеет место неравенство infy2A (x; y) < ", открыто.

Задача 68. Верно ли, что если G открытое множество, то G 0 = G?

Åñëè ýòî óòâåрждение не верно, то имеет ли место одно из включенийG 0 G, G 0 G и какое именно?

Задача 69. Верно ли, что если F замкнутое множество, то F 0 = F ?

Åñëè ýòî óòверждение не верно, то имеет ли место одно из включений F 0 F , F 0 F и какое именно?

Задача 70. Докажите, что для любого множества M имеют место вклю- чения M 0 M è M0 0 M0, но равенства не всегда имеют место.

Задача 71. Пусть I конечный интервал (a; b) прямой, M1 M2 : : :

возрастающая последовательность замкнутых множеств, в объединении дающих I. Верно ли, что любое замкнутое в R множество F I

содержится хотя бы в одном из Mn?

Задача 72. Постройте на прямой такое множество M, что 1) все его

точки изолированные; 2) нижняя грань расстояний между различными его точками равна нулю; 3) оно не имеет предельных точек.

Задача 73. Пусть X метрическое пространство, Z его подпространство. Докажите, что для того чтобы множество M Z было замкнуто (открыто) в Z, необходимо и достаточно, чтобы существовало замкнутое (соответственно открытое) в X множество N такое, что M = N \ Z.

16

Задача 74. Пусть Z подпространство метрического пространства X,

Mподмножество Z, и M замкнуто (или открыто) в X. Докажите, что

Mзамкнуто (соответственно открыто) и в Z.

Задача 75. Пусть M замкнуто (или открыто) в замкнутом (соответственно открытом) подпространстве Z метрического пространства X. Докажите, что M замкнуто (соответственно открыто) и в X.

Задача 76. Докажите, что если F замкнутое подмножество метриче- ского пространства X, то A0 [ F 0 = A [ F 0 для любого A X.

Расстоянием от точки x 2 X до множества E X называют нижнюю грань чисел (x; y), где y пробегает множество E:

d(x; E) = inf (x; y):

y2E

Расстояние между множествами A и B в метрическом пространстве

X определяется равенством (см. также задачи 4 и 11)

d(A; B) = inf (x; y):

x2A; y2B

Задача 77. Докажите, что d(x; E) = 0 тогда и только тогда, когда x точка прикосновения множества E.

Задача 78. Докажите, что если F замкнуто, то d(x; F ) = 0 тогда и только тогда, когда x 2 F .

Верно ли, что для любой точки x0 метрического простран- ства X и любого множества A X выполнено равенство d(x0; A) = d(x0; A0)?

Задача 81. Докажите, что для любых двух множеств A и B в метри- ческом пространстве X имеют место равенства

d(A; B) = inf d(x; B) = inf d(y; A);

x2A y2B

d(A; B) = d(A; B) = d(A; B) = d(A; B):

Задача 82. Покажите, что для любых двух множеств A и B в метриче- ском пространстве не всегда справедливо равенство d(A; B) = d(A0; B0).

17

Докажите, что для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств F1 è F2 метрического пространства X существуют непересекающиеся открытые подмножества G1 X è G2 X такие, что F1 G1, F2 G2.

Задача 84. Докажите, что отрезок [a; b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств.

Задача 85. Пусть p = 1; 2; 1. Докажите, что единичный куб f(x1; x2; : : : ) 2 lp : jxnj < 1; n 2 Ng

открытое множество в lp.

Задача 86. Пусть p = 1; 2; 1. Докажите, что для любой числовой последовательности an 0 параллелепипед

f(x1; x2; : : : ) 2 lp : jxnj an; n 2 Ng

замкнутое множество в lp.

1.4.Предел и непрерывность

Пусть X и Y два метрических пространства и f : X ! Y функция (отображение, оператор). Говорят, что

lim f(x) = b;

x!a

если выполнено одно из двух эквивалентных условий:

1.Для любой последовательности xn 2 X, сходящейся к a, xn 6= a, последовательность f(xn) сходится к b.

2. 8" > 0 9 > 0 8(x 2 X : X(x; a) < ; x 6= a) Y f(x); b < ".

Теорема 2. Два определения предела действительно эквивалентны.

Функцию f : X ! Y называют непрерывной в точке a, если

lim f(x) = f(a):

x!a

Функцию f : X ! Y называют непрерывной, если она непрерывна во всех точках a 2 X.