Introd_2

Если в процессе решения системы оказываетеся, что D = 0, а хотя бы один из определителей D1 и D2 не равен нулю, то система не имеет решений (противоречива). В этом случае говорят, что система несовместна. То, что система несовместна, можно установить и с помощью расширенной матрицы системы. При этом в процессе преобразований матрицы в ней появляется строка вида

0 0 . . . 0 λ,

причём λ ≠ 0.

При условии D = D1 = D2 = 0 система имеет бесконечно много решений. Тогда говорят, что система неопределённа. У неопределённой системы в процессе преобразований расширенной матрицы появляются пропорциональные строки.

В целом, характеристику и решение систем линейных уравнений проводят, работая с основной и расширенной матрицами системы, с привлечением понятия ранга матрицы, на котором мы во введении останавливаться не будем.

При решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z:

возникают определители третьего порядка. Если из уравнений системы исключать по два неизвестных, то сформируется общий знаменатель:

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a13a22a31 − a12a21a33,

который является определителем третьего порядка. Обозначают:

13

Кроме определителя D в процессе решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, возникают ещё три определителя:

Если окажется D ≠ 0, то система имеет единственное решение:

В пособии мы рассмотрим понятие определителя порядка n. Путём разложения его по строке или столбцу вычисление этого определителя сводится к вычислению n определителей порядка n − 1. Во введении обсудим, как вычисление определителя третьего порядка можно свести к вычислению трёх определителей второго порядка. В выражении для определителя третьего порядка группируем слагаемые и выносим за скобки общие множители:

Выражения, которые остались в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов a11, a12, a13 и обозначают соответственно A11, A12, A13. В результате, выражение для вычисления определителя третьего порядка принимает вид:

D = a11A11 + a12A12 + a13A13.

Об этой формуле говорят, что определитель разложен по элементам первой строки.

Алгебраические дополнения в данном случае можно выразить через определители второго порядка:

16

Векторная алгебра является очень удобным инструментом для изучения геометрических объектов. Исходными понятиями геометрии, которые не подлежат определению, являются точки, прямые и плоскости. Их свойства описывают аксиомами, изученными в средней школе. Для работы с геометрическими объектами обычно используют правую декартову систему координат. В аналитической геометрии любую кривую на плоскости можно описать уравнением относительно координат (x, y) произвольной точки этой кривой.

Как известно из курса геометрии средней школы, уравнение

Ax + By + C = 0

определяет прямую линию. Пусть M1(x1, y1) и M2(x2, y2) — две различные точки этой прямой. Подстановка координат каждой из точек M1(x1, y1), M2(x2, y2) в уравнение прямой обращает его в тождество:

{

Ax1 + By1 + C = 0,

Ax2 + By2 + C = 0.

Вычитая первое соотношение из второго, получим: A(x2 − x1) + B(y2 − y1) = 0. Обратим внимание, что структура этого выражения такая же, как в формуле для вычисления скалярного произведения двух векторов через их координаты. Координаты (x2 − x1, y2 − y1) соответствуют вектору M1M2 (это разности координат его конца и начала). Тогда координаты (A, B) определяют второй вектор, который мы обозначим N. В итоге, можем записать (N, M1M2) = 0. Отсюда следует, что вектор N перпендикулярен (ортогонален) данной прямой. Говорят, что вектор N является вектором нормали прямой. Таким образом, мы выяснили геометрический смысл коэффициентов (A, B) уравнения прямой. Они определяют координаты вектора нормали. Если коэффициент B ≠ 0 (прямая не параллельна оси OY ), то от общего уравнения прямой, поделив на B обе его части, можно перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

где k = −BA — тангенс угла наклона прямой к оси OX, а b = −BC — длина от-

резка, отсекаемого прямой от оси OY . Существуют также другие формы записи уравнения прямой, с которыми мы познакомимся позже.

Кроме прямых, аналитическая геометрия на плоскости изучает кривые второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Например, каноническое уравнение окружности с центром в точке C(x0, y0) радиуса R имеет вид:

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.

В пространстве одно уравнение относительно декартовых координат точки определяет поверхность. В школе изучалось общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0.

Как и в случае общего уравнения прямой, легко показать, что вектор N с координатами (A, B, C) является вектором нормали плоскости. Другая известная

17

школьникам поверхность — сфера. Каноническое уравнение сферы с центром в точке C(x0, y0, z0) радиуса R имеет вид:

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

В качестве приложений линейной алгебры к описанию геометрических объектов в пространстве, изучают поверхности второго порядка. К ним относятся эллипсоиды, два вида гиперболоидов (однополостный и двуполостный), два вида параболоидов (эллиптический и гиперболический). Подчеркнём, что окончание "ид" означает "порождённый чем-то". Эллипсоид порождён движением эллипса, гиперболоид — движением гиперболы, параболоид — движением параболы.

Как описать кривую в пространстве? Следует чётко запомнить, что одно уравнение в пространстве определяет поверхность. Кривая в пространстве не может быть задана одним уравнением. Для того, чтобы описать кривую в пространстве, используют неопределённые системы уравнений. Каждое уравнение такой системы определяет поверхность, поэтому можно сказать, что кривая задана как линия пересечения двух поверхностей.

Например, прямую в пространстве можно задать как линию пересечения

{

A1x + B1y = −C1z − D1, A2x + B2y = −C2z − D2

относительно x и y имеет единственное решение, в которое войдёт неизвестное z. В этом случае неизвестные x и y называются зависимыми, а неизвестное z свободным. Неизвестному z можно придавать любые значения z = z0, после чего находить значения x0, y0 зависимых неизвестных x и y. При этом каждая тройка чисел (x0, y0, z0) определяет точку данной прямой. Прямая линия содержит бесконечное множество точек, а система, которая её задаёт, имеет бесконечное множество решений.

Другой способ описания кривых в пространстве — параметрические уравнения. Для того, чтобы записать параметрические уравнения прямой в пространстве, необходимо знать координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой) l = (m, n, p) и координаты точки прямой (x0, y0, z0) Уравнения:

связывающие координаты произвольной точки M(x, y, z) прямой и параметр t, называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Параметр

18

t может принимать любые действительные значения. Если задать конкретное значение t = t0, можно, подставляя t0 во все три параметрических уравнения, получить координаты одной точки прямой. Исключив параметр t из параметрических уравнений, получим канонические уравнения прямой в пространстве:

Обратим внимание на то, что и канонические, и параметрические уравнения содержат координаты направляющего вектора прямой. Говорить о векторе нормали прямой в пространстве не имеет смысла.

Заканчивая обзорное изучение материала, отметим, что во введении мы нестрого обсудили ключевые моменты курса линейной алгебры и аналитической геометрии. В основной части пособия мы будем изучать их подробнее и в более общем случае.