1490-spectry_i_analiz

и называется функцией отсчетов [25]. Происхождение этого термина и смысл функции отсчетов будет рассмотрен ниже. Иногда функцию (5.3) называют идеальным низкочастотным сигналом, поскольку эту функцию можно рассматривать как выходную реакцию фильтра нижних частот, обладающего прямоугольной амплитудно – частотной характеристикой, на входной сигнал в виде δ – функции, имеющей равномерную, бесконечно протяженную спектральную плотность.

График функции отсчетов приведен на рис. 5.3.

Рис 5.3. Идеальный низкочастотный сигнал (функция отсчетов)

Функция отсчетов принимает нулевые значения при пересечении оси времени в точках t =n / 2 fВ (n=1,2…N), где fВ - верхняя частота спектра

X (ω)

Функция отсчета более общего вида может быть получена, если в спектральную плотность (5.2) ввести фазовый сдвиг, линейно зависящий от частоты:

202

Функция отсчетов, отвечающая спектральной плотности (5.4) определяется как:

т.е. представляет собой функцию x(t), смещенную по оси времени на величину t0 , что соответствует теореме задержки для преобразования Фурье.

Пример 2. Высокочастотная функция отсчетов (идеальный полосовой сигнал).

Рассмотрим сигнал, спектральная плотность, которого ограничена двумя частотными интервалами шириной 2ωB , каждая с центрами на частотах

X (ω)

Рис. 5.4а. Спектральная плотность идеального полосового сигнала

Функцию времени x2 (t ), отвечающую спектральной плотности (5.6),

найдем, используя обратное преобразование Фурье и учитывая при этом четность функции X (ω):

203

Выражение (5.7) представляет собой гармоническое колебание cosω0t ,

умноженное на функцию отсчетов sinωBt /ωBt . С точки зрения теории сиг-

налов функция x2 (t ) представляет собой балансно – модулированный сиг-

нал, где несущим является сигнал cosω0t , а модулирующим – функция от-

счетов, которая осциллирует значительно медленнее модулирующего сигнала. Особенности балансной модуляции будут подробно рассмотрены в главе 6, посвященной анализу спектров модулированных сигналов. Функ-

цию x2 (t ) будем называть высокочастотной функцией отсчетов. Возмож-

ный способ получения такого сигнала заключается в подаче δ – функции, обладающей равномерным, бесконечно протяженным спектром на вход идеального полосового фильтра с прямоугольной амплитудно – частотной характеристикой в интервале (ω0 −ωB , ω0 +ωB ). Высокочастотная функ-

ция отсчетов изображена на рис. 5.4б.

Рис. 5.4б. Высокочастотная функция отсчетов

На рисунке ясно видны характерные скачки фазы на 180° в точках, где огибающая sinωBt /ωBt принимает нулевое значение.

204

где ∆t =t −t0 означает временной сдвиг между функциями отсчета x1 (t ) и x(t ). Из выражения (5.10) следует, что скалярное произведение обращает-

ся в нуль и, соответственно, две функции отсчета будут ортогональны, если взаимный сдвиг этих функций во времени удовлетворяет условию

ωB∆t = nπ, (n = ±1,±2,...),

Таким образом, используя бесконечную последовательность функций отсчета, в которой каждая последующая функция сдвинута относительно предыдущей на величину ∆t =1/ 2 fB , можно построить ортогональную

систему функций, которая будет служить в качестве базиса для разложения

произвольной функции времени с ограниченным спектром, верхняя часто-

та которого есть ωB . Взаимное расположение функций отсчета, образую-

щих ортогональную систему, показано на рис. 5.5.

5.4Теорема отсчетов во временном представлении

Внастоящем пособии, предназначенном для студентов радиотехнических специальностей, не рассматриваются вопросы, связанные с математи-

206

ческими свойствами функций с ограниченным спектром, которые принадлежат к классу так называемых целых функций. В связи с этим вопросы,

относящиеся к теории интерполяции функций с ограниченным спектром,

будут проанализированы с использованием некоторых упрощенных приемов с последующим комментарием о связи полученных результатов с бо-

лее строгой теорией, а также будет дана краткая справка об истории во-

проса.

Рис. 5.5.

Как в задачах математического анализа и его приложений, так и в зада-

чах радиоэлектроники и радиофизики возникает проблема интерполирова-

ния функции, т.е. задача определения искомой функции x(t ) для всех зна-

чений t , заключенных в некотором интервале a ≤t ≤b , если известны зна-

чения x(t1 ), x(t2 ),... x(tn ) в ряде точек t1, t2 ,... tn [19]. Задача, поставленная

таким образом, может иметь большое (вплоть до бесконечности) количест-

во решений. Однако ограничение класса функций x(t ) может привести к

существованию только единственного решения. Кроме того, при ограни-

чении свойств класса функций, из которых выбирается интерполирующая функция, задача становится более определенной.

207

Рассмотрим непрерывный сигнал x(t ), стремящийся к нулю при t →∞

(что обеспечивает его интегрируемость) и будем полагать, что этот сигнал

имеет ограниченный спектр. Для сигналов этого типа докажем следующую

теорему [7, 25].

Теорема. Если функция x(t ) не содержит составляющих с частотой

выше fB герц, то она полностью определяется последовательностью её значений в точках, отстоящих на расстояние 1/ 2 fB секунд друг от друга.

Данная формулировка представляет собой теорему отсчетов во временном представлении.

Приступая к доказательству теоремы, запишем прежде представление

где n – целые числа. Для этих моментов времени выражение (5.11) принимает вид:

Из выражения (5.13) следует, что совокупность значений x(n2 fB ) пол-

ностью определяет спектральную плотность X (ω), которая, в свою оче-

редь, однозначно определяет функцию

208

Проведенные рассуждения формально доказывают теорему, поскольку из них следует, что существует одна и только одна функция x(t ), обла-

дающая ограниченным спектром X (ω) с верхней частотой fB , которая в точках отсчета t = n / 2 fB принимает заданные значения x(n / 2 fB ).

Теперь необходимо найти аналитическое выражение для функции, заданной ее значениями в точках отсчета.

Используя периодическое продолжение спектральной плотности X (ω),

заданной на частотном интервале −2π fB ≤ω ≤ 2π fB (рис.5.6),

Рис. 5.6. Периодическое продолжение ограниченной спектральной плотности

разложим эту функцию в ряд Фурье:

209

отсчеты функции x(t ), взятые в моменты времени t = n / 2 fB и взвешенные с весом 1/ 2 fB . Тогда ряд Фурье (5.14) можно записать в виде

210

Соотношение (5.19) решает проблему интерполирования функции x(t ),

т.е. задачу определения этой функции всюду по её значениям в точках отсчета n / 2 fB .

Разложение (5.19) для класса целых функций конечной степени было известно математикам как разложение по формуле Лагранжа очень давно, и работы Уиттекера и Гельфонда в этой области выполнены в 1915, 1935 и 1937 годах [8, 16, 25]. В этих, чисто математических исследованиях, были установлены причины, порождающие замечательное свойство функций с ограниченным спектром – свойство однозначности восстановления значений функций на всей оси времени по её значениям в некоторой периодической последовательности временных отсчетов. Прием, использованный выше для доказательства теоремы отсчетов, не использовал теорию интерполяции целых функций, поэтому его использование для получения более общих результатов невозможно. Однако для решения технических задач полученный результат вполне достаточен. Идея использования теоремы отсчетов в задачах связи была развита Найквистом и Хартли в 1924 – 1928 годах. В связи с этим величину 1/ 2 fB в западной литературе называют интервалом Найквиста. В дальнейшем теорема отсчетов была независимо доказана Котельниковым в 1933 году, а также исследована Шенноном в

1949 году [7, 8, 16, 25].

Вернемся теперь к выводам, следующим из теоремы отсчетов. Было установлено, что для неискаженной передачи функции с ограниченным спектром достаточно передавать ее значения в моменты времени, следующие с интервалом ∆t =1/ 2 fB . Выборочные значения могут быть получены мето-

дом стробирования с использованием схемы электронного ключа, открывающегося на короткое время под воздействием импульсов стробирования, следующих с интервалом 1/ 2 fb (см. рис. 5.7)

211