Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопред-интеграл-stud

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

363.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Интеграл от рациональной функции находится по следующему алгоритму:

1.Если дробь неправильная, то выделяем целую часть;

2.Правильную дробь представляем в виде суммы простых дробей с неопределенными коэффициентами. Для этого знаменатель раскладываем на линейные и квадратичные (не имеющие действительных корней) множители;

3.Приводим дроби к общему знаменателю. Из равенства дробей и равенства их знаменателей следует равенство их числителей. Приравниваем числители исходной и получившейся после приведения к общему знаменателю дроби;

4.Находим неопределенные коэффициенты, с которыми дроби входят в разложение, применяя для этого понятия равенства многочленов;

5.Вычисляем интегралы от каждой из простых дробей.

Для разложения на простые дроби правильной рациональной дроби

P (x)

G(x), знаменатель которой раскладывается в произведение линейных множителей G(x) = (x a1)(x a2) : : : (x an), ãäå âñå a1; a2; : : : ; an

различны, можно применить формулу

P (x)	n		P (ak)
P (x)	Xk		P (ak)
G(x) =	Xk	G0	(ak)(x	ak):	(3:2)
	=1

Эта формула называется формулой Лагранжа2. .

Пример 3.1. Вычислите интеграл R	2x2	x + 3
	x3 +	2x2 3x	dx.

Решение . Так как дробь правильная, то разложим знаменатель на множители,

представим дробь в виде суммы простых дробей и приведем к общему знаменателю:

2x2

x + 3

= x

;

x 1

x + 3

+ 2x

A(x 1)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x 1)

x + 3

x(x 1)(x + 3)

+ 2x

2Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange) (1736-1813) французский математик, астроном и механик. Внес большой вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию дифференциальных уравнений, теорию вероятностей и численные методы. Дал решение задач на нахождение максимумов и минимумов функции. Его именем названы формула конечных приращений, интерполяционная формула приближения функции многочленом, формула остаточного члена ряда Тейлора. Он разработал метод множителей для решения задач на условный экстремум.

Приравняем числители исходной и получившейся дробей:

A(x 1)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x 1) = 2x2 x + 3.

Неопределенные коэффициенты найдем тремя способами.

a) Применим понятие равенства многочленов в функциональной форме: два многочлена равны, если их значения совпадают при одинаковых значениях x.

Пусть x = 0, тогда 3A = 3 и A = 1; Пусть x = 1, тогда 4B = 4 и B = 1; Пусть x = 3, тогда 12C = 24 и C = 2.

b) Применим понятие равенства многочленов в алгебраической форме: два многочлена равны, если коэффиенты при одинаковых степенях x совпадают. Раскроем

скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.

A(x2 2x 3) + B(x2 + 3x) + C(x2 x) = 2x2 x + 3;

(A + B + C)x2 + ( 2A + 3B C)x 3A = 2x2 x + 3;

A + B + C

= 2

A = 1

2A + 3B

C =

1 ;

8 B = 1 :

< C

Лагранжа. В нашем случае

> c) Применим формулу

P (x) = 2x

x + 3

G(x) = x3 + 2x2

3x = x(x

1)(x + 3), G0(x) = 3x2 + 4x

3. Тогда

x + 3

P (0)

P (1)

P ( 3)

x + 3

G0(0)x

G0(1)(x

G0(

3)(x + 3)

+ 2x

x(x 1)(x + 3)

2 1 + 3

18 + 3 + 3

= x1 +

(27 12 3)(x + 2)

x 1

x + 3

(3 + 4 3)(x 1)

Подставим найденные коэффициенты в формулу суммы простых дробей и вычис-

лим интеграл, как сумму табличных интегралов

2x2

x + 3

dx =

+ 2

x + 3

+ ln

1 +

2 ln x + 3 + C:

j j

2x2

Пример 3.2. Вычислите интеграл

2x + 9 dx.

x2 + x 2

Решение . Дробь

2x + 9

неправильная, так как степень числителя

+ x 2

больше степени знаменателя. Выделим целую часть дроби, разделив столбиком числитель на знаменатель.

x3 2x2 2x + 9

x2 + x 2

x3 + x2 2x

x 3

3x2

+ 9

3x2 3x + 6

3x + 3

Получили, что

2x2

2x + 9

= x

3 +

3x + 3

1)(x + 2). Правильную дробь разло-

+ x

жим на простые и приведем дроби к общему знаменателю

3x + 3

A(x + 2) + B(x 1)

(x 1)(x + 2)

x + 2

(x 1)(x + 2) .

Следовательно,

A(x + 2) + B(x 1) = 3x + 3.

Пусть x = 1, тогда 3A = 6 и A = 2;

Пусть x = 2, тогда 3B = 3 и B = 1.

2x2

2x + 9

x 3 +

3x + 3

dx =

Имеем

x2 + x

dx =

(x 1)(x + 2)

= R x 3 +

dx =

2 3x + 2 ln jx 1j + ln jx + 2j + C.

x 1

x + 2

Пример 3.3. Вычислите интеграл R

x3x 26x2

dx.

Решение . Правильную дробь разложим на простые

6 2

= x

x 2

Приведем дроби к общему знаменателю и, приравняв числители, найдем неизвестные коэффициенты

Ax(x 2) + B(x 2) + Cx2 = x 6. Пусть x = 0, тогда 2B = 6 и B = 3; Пусть x = 2, тогда 4C = 4 и C = 1;

Пусть x = 1, тогда A B + C = 5 и A = 1.

	x		1 3		1		3
Имеем	x3 26x2	dx =	x +				dx = x + ln jxj ln jx 2j + C.
				x2		x 2
R		R					x2 6x + 14

Пример 3.4. Вычислите интеграл R 2 dx.

(x 2)(x 2x + 2)

Решение . Квадратный трехчлен x2 2x+2 не имеет действительных корней, поэтому выделим в нем полный квадрат x2 2x + 2 = (x 1)2 + 1. Разложим правильную дробь на простые.


x2	6x + 14			=	A	+	M(x 1) + N	.

		2	2x + 2)	x 2			2
(x 2)(x							(x 1) + 1

Приведем дроби к общему знаменателю и, приравняв числители, найдем неизвестные коэффициенты

A(x2 2x + 2) + M(x 1)(x 2) + N(x 2) = x2 6x + 14,

(A + M)x2 + ( 2A 3M + N)x + (2A + 2M 2N) = x2 6x + 14. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.

2A + 2M + N = 6

8 M = 0; 5 :

A + M

A =

0; 5

)

N = 6

2A + 2M 2N = 14

6x + 14

dx =

0; 5

dx +

0; 5(x

dx =

= 0 5

Тогда

2)(x

1) + 1

2x + 2)

;

2x + 2)

6 arctg(x

1) + C.

2 + 0; 25 ln(x

Пример 3.5. Вычислите интеграл R

x2 a2

(формула 15 таблицы интегралов).

Решение .

Правильную дробь

разложим на простые

x2 a2

A(x + a) + B(x a)

(x a)(x + a)

x a

x + a

(x a)(x + a)

и приведем дроби к общему знаменателю A(x + a) + B(x a) = 1.

Из этого равенства находим, что A =

; B =

2a ln jx+aj+C =

Тогда R x2 a2 dx = R

21a x a 2a

x + a

dx = 2a ln jx aj

=1 ln x a + C:

2a x + a

Пример 3.6. Используя предыдущий пример, вычислите R

a2 x2

Задания для самостоятельного решения

Задание 3.1. Вычислите интегралы

à) R

x + 2

á) R

2x + 4

â) R

x 3

dx;

(x + 2)(x2 3x + 2)

dx;

(x + 1)2

dx.

x2 2x 8

Задание 3.2. Вычислите интегралы

à) R

5x2 + 7x

á) R

x + 10

â) R

x + 4

x2 5x + 4

dx;

dx.

x2 4x 12

x2 5x

Задание 3.3. Вычислите интегралы

2x2 + 4

à) R

x 6

18x + 5

x2 4x + 13

dx;

á)

x2(x2 4x + 3)

dx;

â)

dx.

x3 2x2

Задание 3.4. Вычислите интегралы

à) R

2x2 + 6x

á) R

x + 1

(x 4)(x2 + 4x + 3)

dx;

dx.

(x 3)(x + 1)2

Задание 3.5. Вычислите интегралы

x2 + 5x 4

à) R

x2 + x + 2

3x + 8

â) R

dx;

á)

(x 1)2(x + 2)

dx;

(x + 2)3

dx.

(x 2)2(x + 1)

Задание 3.6. Вычислите интегралы

à) R

2x2 + 3x + 4

x3 + 2x2

10x 11

dx;

á)

(x 1)2(x + 2)2

dx.

(x + 2)2(x 1)

Задание 3.7. Вычислите интегралы

à) R

4x2

2x 3

â) R

2x + 1

x4 3x3

dx;

á)

dx;

dx.

x4 x2

x3(x + 1)2

Задание 3.8. Вычислите интегралы

à) R

10x 8

á) R

11x

(x 4)(x2 + 16)

dx;

(x + 3)(x2 2x + 5)

dx.

Задание 3.9. Вычислите интегралы

à) R

x2 + 15x + 26

á) R 2

dx;

x4 + x2

dx.

(x 2)(x2 + 4x + 8)

Задание 3.10. Вычислите интегралы

à) R

dx; á) R

11x + 7

x3 4x2

+ 5x

dx.

(x 3)(x2 + 2x + 5)

Задание 3.11. Вычислите интегралы

à) R

x2 + 25x

á) R

(x + 2)(x2 8x + 17)

dx;

dx.

(x2 + 1)(x2 + x)

Задание 3.12. Вычислите интегралы

à) R

x3 + 2x2

á) R

4x2

26x + 10

x2 x 6

dx;

x4 6x3 + 10x2

dx.

4. Интегрирование простейших иррациональных функций.

I. Пусть R (x; n1 x; : : : ; nk x) рациональная функция от перемен- p p

íûõ x; n1 x; : : : ; nk x. Подстановкой x = tN , ãäå N = Í.Î.Ê.(n1; : : : ; nk)

интеграл сводится к интегралу от раöиональной функции.

Пример 4.1. Вычислите интеграл6 R

(px + 2)

(p3

1)p3

5dx :

Решение . Сделаем замену x = t . Тогда dx = 6t dt. Подставим в интеграл, полу-

+ 2)

(t3 + 2)6t5

(t3 + 2)t

(

÷èì I = R

1)p3

dx = R

dt = 6 R

dt.

(p3

(t2 1)t4

t2 1

Это интеграл от рациональной дроби. Выделим целую часть этой дроби, получившу-

юся правильную дробь представим в виде суммы простых дробей и проинтегрирóåì

I = 6

t + 1 + t2

dt = 2t + 6t + 6 ln jt 1j + 3 ln

+ 1

+ C = 2px + 6px +

2t + 1

+6 ln

1 + 3 ln

+ C:

px + 1

n1 ax + b

nk ax + b

II. Пусть R

ax + b

; : : : ;

ax + b

(ad

bc 6= 0) ðàöè-

cx + d

Í.Î.Ê.q

cx + d; : : : ;

ональная функция от переменных x;

cx + d. Подста-

ax + b

N , ãäå

N =

(n1; : : : ; nk)

интеграл сводится к

новкой cx + d = t

интегралу от рациональной функции.

Пример 4.2.

Решение .

Вычислите интеграл

(

(x 1)3(x 2)

(p(x 1)3

(x 2)

(x 1)(x 2).

= R qx

Сделаем замену x 2

= t2. Тогда

x =

t2 , x

2 =

, x

1 =

2tdt

dx =

t2)2

. Подставим в интеграл, получим

R qx

1 1

= R

2 dt = 2t+C = 2qx

1+C:

1 (x 1)(x 2)

= R t 1 t2

(1 t2)2

2tdt

III. Интегрирование дифференциального бинома

xm(a + bxn)p dx.

П. Л. Чебышов

интеграл берется в

в 1853 году доказал, что такой R

элементарных функциях только в трех случаях.

а) p целое число. При p > 0 интеграл берется непосредственно, при

p < 0 с помощью подстановки x = tN , ãäå N = Í.Î.Ê.(n; m);

á)

m + 1

n целое число. Интеграл берется при помощи подстановки

a + bxn = tN , где N знаменатель числа p;

â)

m + 1

+p целое число. Интеграл берется при помощи подстановки

a + bx n = tN , где N знаменатель числа p.

Пример 4.3. Вычислите интеграл

1 + 3

dx:

Решение . Òàê êàê m =

; n =

2R; p =

m + 1 = 2 целое число. Поэтому

3, òî

3=2

сделаем замену 1 + 3 px2 = t3. Тогда x =

, dx =

pt3

1 dt.

Подставèì â èíòåãðàë, ïîëó÷èì

1 + 3 x

dx =

1 dt =

t (t

1)dt =

+C =

q(1 + 3 px

)

8 q(1 + 3 px

)

+ C :

IV. Интегрирование выражений, содержащих p

ax2 + bx + c

При вычислении

нужно, выделив полный квадрат,

ax2 + bx + c

привести интеграл кRтабличному.

Пример 4.4. Вычислите интеграл R

(x + 2)dx

5 + 4x x2

Решение .

(x + 2)dx

2 + 4)dx

(x 2)dx

4dx

5 + 42

5 + 4x x

(x 2)

9 (x 2)

d(5 + 4x

)

4d(x

px 2

p5 + 4x

+ 4 arcsin

+ C.

R (5 + 4x x2)1=2 R

9 (x 2)2

(x + 2)dx

Пример 4.5. Вычислите интеграл R

x2 4x + 8

3Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) русский математик и механик. В 1838 г. получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-ной степени. Чебышев считается одним из основоположников теории

приближения функций(известны его работы об интерполировании, в которых он да¸т новые формулы, важные как в теоретическом, так и практическом отношениях). Большое значение имеют работы Чебышева по теории чисел ("Теория сравнений"), теории вероятностей (работа "О средних величинах в которой доказана теорема, заключающая в себе знаменитую теорему Бернулии как частный случай), анализу (интегрирование некоторых иррациональных функций), механике. Одним из любимых приeмов Чебышева, которым он особенно часто пользовался, было приложение свойств алгебраических непрерывных дробей к различным вопросам анализа.

Сложились две традиции кириллического написания фамилии математика. Первая (Чебышев) восходит к написанию, принятому им самим. Вторая (Чебышeв) точнее передает правильное произношение и ударение фамилии.

Решение .

(x + 2)dx

2 + 4)dx

(x 2)dx

4dx

R px2 4x + 8

(x 2)2 + 4

= 1

2)2

1=2 d x

((x

2 R

((

.) + 4 R

(x 2)2

+ 4 = p(

2) + 4 +

4x + 8) + C

+ 4 ln(x 2 + px

Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Вычислите интегралы

â) R px 3 + 2p3 x 3 dx.

à) R px p3

x dx;

á) R

px + 1 p3 x + 1 dx,

Задание 4.2. Вычислите интегралû

à)

dx;

á)

dx,

â)

dx.

px2 2p4 x

R (p3 x + 9)(p6 x 1)px2

R (p4 x 1)px3

Заданèå 4.3. Вычислите интегралы

à)

qx 2

(x 2)

á)

dx,

â)

4x + 7

(x 3)2

2 + x

3 ;

x 1

dx.

Вычислите

Задание 4.4.

интегралы

à) R

2x + 5

dx;

á) R

x + 8

dx,

â) R

x + 5

dx.

x2 4x + 13

6x x2 10

8x 12 x2

Интегрирование тригонометрических функций.

R(sin x; cos x) рациональная функция от sin x

R cos x

Рассмотрим

вычисление

интегралов

âèäà

R(sin x; cos x)dx, ãäå

I. Этот интеграл можно свести к интегралу от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg x2.

Выпишем основные соотношения для этой подстановки:

2 tg

1 tg2

sin x =

cos x =

, x = 2 arctg t,

1 + tg

1 + t

1 + tg

1 + t

dx =

2dt

1 + t2 .

Однако при применении универсальной тригонометрической подстановки часто получаются достаточно сложные интегралы. Рассмотрим несколько частных видов функции R(sin x; cos x), интегрирование которых при соответствующей замене выполняется проще.

II. Функция	R(sin x; cos x) нечетная относительно sin x (то есть
R( sin x; cos x)	= R(sin x; cos x)). В этом случае замена y = cos x

приводит к интегралу от рациональной дробè. Âûпишем основные со-

2 .

sin x = p1 y

x = arccos y

dx =

отношения для этой подстановки:

R(sin x; cos x) нечетная относительно

cos x (òî åñòü

1 y

III. Функция

R(sin x; cos x) = R(sin x; cos x)). В этом случае замена z = sin x приводит к интегралу от рациональной дроби. Выпишем основные соотно-

шения длÿ ýòîé подстановки:

1 z

cos x =

x = arcsin z

dx =

1 z2

IV. Функция

R(sin x; cos x)

четная относительно

sin x

cos x

(òî

есть R( sin x; cos x) = R(sin x; cos x)). В этом случае замена u = tg x

приводит к интегралу от рациональной дроби. Выпишем основные соотношения для этой подстановки:

cos x =

, sin x =

x = arctg u,

dx =

1 + u2

sinm x cosn xdx, где m; n четные числа, берется с применением

sin

x =

cos

x =

формул понижения степени

cos 2x

1 + cos 2x

VI. Интеграл от выражения, содержащего произведение тригонометрических функций от различных аргументов, вычисляется с использованием формул преобразования произведения функций в сумму:

mx + nx

mx2

sin mx

cos nx =

sin mx + nx

+ sin mx

mx + nx

cos mx

cos nx =

mx nx

cos

sin mx sin nx = 2

cos

Пример 5.1. Вычислите интеграл R

sin x cos3 x

Решение . Вычислим этот интеграл несколькими способами.

функция четная относительно

sin x и cos x. Сделаем подстановку

sin x cos3 x

u = tg x. Получаем

sin x cos

1 + u

(1 + u2)du

(1 + u2)3

1 + u2

3 x

u + u du =

= ln juj + 2 + C = ln j tg xj + 0; 5 tg x + C

Этот интеграл можно преобразовать, применив следствие из основноготригономет-

1 + tg2 x

(1 + u2)du

tg x

tg x cos4 x

tg x

cos2 x

рического тождества

функция

нечетная

относительно

sin x. Сделаем

подстановку

sin x cos

y = cos x. Для вычисления интеграла разложим дробь, стоящую под знаком инте-

дроби. Получим

sin xdx

R sin x cos3 x

R sin2 x cos3 x

грала, на простые 0; 5

0; 5

y3(1 y2)

dy = ln j cos xj+0; 5 ln(1 cos x)+0; 5 ln(1+cos x)+

1 y

1 + y

0;R5

+ C:

cos2 x

функция

нечетная

относительно

cos x. Сделаем

подстановку

sin x cos3 x

sin x. Для вычисления интеграла разложим дробь, стоящую под знаком ин-

теграла, на простые дроби. Получим

cos xdx

z(1

)

sin x cos

0; 5

0; 25

R0; 25

= ln j sin xj 0; 5 ln(1 sin x)

1 z

1 + z

z)2

(1 + z)2

0; 25

0; 5 ln(1 + sin x) +

+ C:

sin x

1 + sin x

функция четная относительно sin x и cos x. Сделаем подстанов-

sin x cos3 x

êó s =

ctg x. Получаем

sin x cos3 x

sin4 x ctg3 x

sin2 x ctg3 x

sin2 x

1 + ctg2

(1 + s2)ds

1ctg3 x

= .

+ s ds

ln jsj + C

sin2 x

2s2

ln j ctg xj + C

2 ctg2 x

5. Применим универсальную тригонометрическую подстановку t = tg x

Преобразуем подинтегральное выражение

2 .

(1 + t2)3

2dt

dt.

sin x cos3 x

1 t2

1 + t2

t(1 t2)3

1 + t2

Разложим правильную дробь на простые

(1 + t2)3

= A

)

1 + t

(1 + t)

1 t

(1 t)

t(1 t

Приведя дроби к общему знаменателю, приравняем числители исходной и последней дробей A(1 t2)3 + Bt(1 t)3(1 + t)2 + Ct(1 t)3(1 + t) + Dt(1 t)3 +

+Et(1 t)2(1 + t)3 + F t(1 t)(1 + t)3 + Gt(1 + t)3 = t6 + 3t4 + 3t2 + 1.

Раскрыв скобки и собрав коэффициенты при одинаковых степенях t, для нахождения коэффициентов получим систему

= 1;

= 0;

2F + G = 3;

3A + 2B + 2C

+ 3D

+ 3G = 0;

3D + E + 2F = 3G = 3;

B + C + D + E + F + G = 0;

= 1:

Решив систему методом Гаусса, получим

A = 1; B = 1; C =

8; D =

4; E = 1; F =

8; G =

Вычислим интеграл

(1 + t2)3

dt =

t2)3

1 + t

(1 + t)2

(1 + t)3

t)2

1(1 dt

= ln t

ln 1 + t

ln 1 t

8(1 + t)

8(1

j j

8(1 +

+C = ln j tg

2 j ln j1 + tg

2 j

ln j1 tg

2 j

8(1 tg

8(1 + tg

)

8(1 + tg

)

8(1 1tg x2 )2 + C.

Хотя все ответы отличаются друг от друга, они все правильные. Это можно проверить, если применяя тригонометрические формулы, преобразовать полученные выражения.

Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Вычислите интегралы

sin3 x

à) R

á) R sin

â) R

ã) R

;

x cos

x dx;

sin

x cos

x dx;

cos5 x dx.

sin x cos x

Задание 5.2. Вычислите интегралы

à) R

cos5 x

sin4 x

â) R

sin4 x

ã) R

tg5 x + sin x

sin2 x dx;

á) R cos6 x dx;

cos8 x dx;

cos4 x

dx.

Задание 5.3. Вычислите интегралы

à) R

á) R tg

â) R

sin x

;

x dx;

;

ã)

+ sin x dx.

sin x cos3 x

5 + 3 cos x

Задание 5.4. Вычислите интеграëû

tg2 x + 1

R p

à)

dx; á)

dx;

â)

sin4 x dx;

ã) sin 3x cos 5x dx.

sin x cos x

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.201924.48 Кб0наука и техника.docx
#
11.05.20151.32 Mб31НГ лекции.pdf
#
18.11.2019283.65 Кб2НДС.doc
#
13.09.201926.81 Кб6немецкая классическая философия.docx
#
27.08.2019195.07 Кб8Немецкое наставление по борьбе с партизанами.doc
#
11.05.2015363.16 Кб7неопред-интеграл-stud.pdf
#
11.05.201598.82 Кб19Никифоров для ВКИЭМа.doc
#
11.05.2015882.12 Кб25НИРС, Карташев, лекции.pdf
#
11.05.20151.71 Mб9новая версия христ..doc
#
11.05.2015260.1 Кб20Ноосфера и основы ее развития.doc
#
28.09.2019502.78 Кб1Нравственная культура в системе ноосферного обр...doc