teorpolя
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4−4 y |
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1 |
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= ∫∫(52 − 10x − 52 y )dxdy = ∫dy ∫ (52 − 10x − 52 y )dx = ∫(52x − 5x |
2 |
− 52xy) |
x =0 |
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dy = |
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x =4−4 y |
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D |
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0 |
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0 |
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1 |
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128 |
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128 |
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||||
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= ∫(128 − 256y +128y 2 )dy = 128 −128 + |
= |
. |
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0 |
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3 |
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3 |
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(0;0;0), |
(0;1;0), |
(0;0;4), ZOX |
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D2 |
|||||||||||||||
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(0;0;0), |
(0;0;4), |
(4;0;0), |
|
XOY |
|
|
|
. % |
D3 |
||||||||||||
c |
|
(0;0;0), |
(4;0;0), (0;1;0). |
. |
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r |
r |
|
|
r |
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S |
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a |
= (2 z − x) i + ( x + 2 z) |
j + 3z k |
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Π = ∫∫axdydz+ aydzdx+ az dxdy= ±∫∫ax |
x=4−4y−z dydz± ∫∫ay |
y=1− |
z+x |
dzdx± ∫∫az |
|
z=4−x−4y dxdy. |
|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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S |
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D |
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D |
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D |
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2 |
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r |
r |
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nS = i + 4 j + k |
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( ! ( % " % &!),
. " ( % <+>. ,
|
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1 |
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4−4 y |
|
4 |
|
|
4− z |
|
1 |
4−4 y |
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Π = ∫dy |
∫ (4 y + 3z − 4)dz + ∫dz ∫ (x + 2z)dx + ∫dy |
∫3(4 − x − 4 y)dx = |
|
||||||||||||||
|
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0 |
|
0 |
|
0 |
|
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0 |
|
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0 |
0 |
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1 |
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3 |
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4 |
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1 |
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1 |
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|
|
= ∫ |
|
16(1 |
− y) 2 − 16(1 − y) 2 |
dy + |
∫ |
|
(4 − z) 2 |
+ 2z(4 − z) dz |
+ 3∫8(1 − y) 2 dy = |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
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0 |
|
2 |
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0 |
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4 |
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3 |
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1 |
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8 |
|
128 |
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|
= 8∫ |
(1 − y) 2 dy + ∫ 8 |
+ 4z − |
|
z 2 |
dz + 24∫(1 − y) 2 dy = |
|
+ 32 + 8 = |
|
|
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|
|
|
|
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|
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0 |
0 |
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2 |
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|
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0 |
|
3 |
|
3 |
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6
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r |
|
r |
|
|
r |
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|
|
|
|
a = x i + y j + z k % . |
|||||||||||||
& x=Rcost, y=Rsint, z=bt, 0 ≤ t ≤ 2π. |
|||||||||||||||||
,. , ( . |
|||||||||||||||||
|
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r r β |
|
|
|
dx |
|
|
|
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dy |
|
|
|
dx |
||
A = |
∫ |
adl = |
∫ |
a |
x |
|
|
+ a |
y |
|
|
|
+ a |
z |
|
|
dt, |
|
|
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dt |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
||||||
|
L |
|
α |
|
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! t. ax , |
a y , a z |
a |
||||||
- # . L. |
|
|
|
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|
|
|
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2 % |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax = x = R cos t, a y = y = R sin t, az = z = bt; |
dx |
= −R sin t, |
dy |
= R cos t, |
dz |
= b; |
||
|
|
|
||||||
|
dt |
dt |
|
dt |
||||
2π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
A = ∫(R cos t (−R sin t) + R sin t R cos t +bt b))dt = ∫b 2tdt = b 2t 2 / 2 |
02π = 2π2 b 2 . |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
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7
% |
$ $ - |
r |
r |
r |
% |
a |
= y i − x j + b k |
||||
" x 2 |
+ y 2 = 1, z = 0 " % . |
|
,. $ $ " (.
) & ( ( $ $ ).
) . :
x = cost
L : y = sin t , 0 ≤ t ≤ 2π.
z = 0
a # :
ax = y = sin t, a y = −x = − cos t, az = b.
% . :
dx |
= − sin t, |
dy |
= cos t, |
dz |
= 0. |
|
|
|
|||
dt |
dt |
dt |
$ $ :
|
|
r |
r |
β |
|
|
dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
dx |
2 π |
(− sin 2 |
t − cos 2 t )dt = − |
2 π |
|
||
C = |
∫ |
adl = |
∫ |
a |
x |
|
|
+ a |
y |
|
|
+ a |
z |
|
|
dt = |
∫ |
∫ |
dt = −2π. |
|||
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
L + |
|
|
α |
|
|
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0 |
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& ( ( ' ).
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|
∫ |
r |
|
r r |
|
|
|
a d l |
= ∫∫ rot a d σ , |
|
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L + |
|
σ + |
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r |
! |
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! # % σ+, - 1 . |
( |
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r |
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" % - |
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# – - " % (#.
rr
& ! n = k ,
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i |
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j |
k |
|
|
|
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∂ |
|
∂ |
∂ |
|
|
r |
r |
r |
r |
|
rot a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
i |
− 0 j − 2 k |
= − 2 k , |
|
∂x |
|
∂y |
∂ z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
y |
− x |
b |
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
C = ∫∫(−2)dxdy = −2 |
∫∫dxdy = −2π. |
|
D: x2 + y 2 ≤1 |
D: x 2 + y 2 ≤1 |
). |
' + |
|
% |
- – ' *. |
3.3. % ! " ! & ' (
3.3.1. |
|
|
|
r |
|
r |
r |
|
a |
= yz cos( xy) i + zx cos( yz) j + sin( xy) k . |
|||||||
|
& |
r |
r |
% . . . |
||||
|
diva, |
rota , |
||||||
3.3.2. |
|
|
|
r |
r |
r |
||
a |
= (x2 − xy) i + (zx − y2 ) j + (zx − yz) k . |
|||||||
|
& |
r |
r |
M(1;-2;1) |
|
|||
|
d iv a , |
rot a |
|
|||||
3.3.3. |
|
|
|
r |
|
r |
r |
! %, |
a |
= y i + x j + e z k . |
$% & . $ .
25
3.3.4. |
|
r |
r |
r |
|
r |
r |
||||
a = yz i + zx j + xy k . |
& div a , |
rot a , |
|||||||||
|
% . . . |
|
|
||||||||
3.3.5. |
& div( |
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
(i + j + k ) × r ), |
. r |
= x i + y j + z k . |
|
|||||||
3.3.6. |
|
r |
r |
r |
|
|
|
||||
a = zx i + y j + ψ( z) k . 3 % ψ(z) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
, ( div a = 0 . |
|
|
r |
r |
|
|
||||
3.3.7. |
|
|
|
r |
r |
|
r |
a |
b - |
||
& rot (( r |
a )b ), . |
r = x i + y |
j + z k . |
.
3.3.8.# u(x, y, z), v(x, y, z). ! %,
gradu × gradv - %.
3.3.9.# u(x, y, z), v(x, y, z). ! %,
gradv rot (ugradv) = 0.
3.3.10.> $%
|
r |
|
r |
r |
|
a |
= yz(2x + y + z) i + zx(x + 2 y + z) j + xy( x + y + 2z) k ? |
||
3.3.11. |
& div grad(x2+y2+z2) . |
|
||
3.3.12. |
$% % |
|||
|
r |
r |
r |
|
|
a = (2x + 5 yz) i + (2 y + 5zx) j + (2z + 5xy) k ? |
|
||
3.3.13. |
& div grad(arctg(y/(x-z))) . |
|
||
3.3.14. |
& .$ - . |
|
|
|
r |
r |
r |
|
r |
= |
x i + y j + z k |
|||
a |
|
|
|
. |
|
|
|
3 |
(x 2 + y 2 + z 2 ) 2
3.3.15.3 % .
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= (2x + 3 yz) i + (2 y + 3zx) j + (2z + 2xy) k . |
|
|
|
||||||||
3.3.16. |
|
# |
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
|
|||
a |
= i |
+ j + k , |
r = x |
i |
+ y j + z k . |
||||||||
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& div (a |
× r ), rot (a |
× r ). |
|
|
r |
r |
|
|
||||
3.3.17. |
& |
r |
|
|
|
||||||||
a |
= ( y + z) i − x j − x k . |
||||||||||||
|
! 1 # & # ! |
M(1;2;-3)? |
|
|
|
||||||||
3.3.18. |
& |
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|||
|
a = (z − y) |
i + (x − z) j + ( y − x) k. |
|||||||||||
|
! 1 # & # ! |
M(-1;2;4)? |
|
||||||||||
3.3.19. |
& |
|
|
|
r |
r |
|
r |
. |
||||
r = −wy i + wx |
j + h k , |
||||||||||||
|
w h – . ! 1 # & # ! |
||||||||||||
|
|
M(3;1;-2)? |
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
||
3.3.20. |
|
|
|
|
|
|
2 ) k. |
||||||
a = (y |
2 + z 2 ) i + (z 2 + x2 ) |
j + (x2 + y |
|||||||||||
|
|
r |
r |
M(5;0;-4). |
|
|
|
|
|||||
|
& div a , |
rot a |
r |
|
r |
|
|||||||
3.3.21. |
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|||||
|
a = 3x(y + z) |
i + y |
j + (z 2 − 2x) k. |
) %, $% ,
, & . $ .
26
3.3.22. |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
= (3x − 2z) i + sin y |
j + (z − 2x) k. |
||||||||||||||||||
|
) %, $% , |
|||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.3.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r |
|
2zx + y |
r |
|
|
2 yz − x |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
= |
|
|
|
|
i + |
|
|
|
|
j + ln(x 2 |
+ y 2 ) k . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
2 |
+ y 2 |
|
x 2 + y 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
, |
|
|
r |
M(7;-1;0). |
|
|
|
|
|
|
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& div a |
rot a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.3.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
r |
= e x + y (z |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
+ y + y 2 e z ) k . |
|
|
||||||
|
a |
+ x + 1) i + (( z + x)e x+ y |
+ 2 ye z ) j + (e x |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
r |
|
|
|
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3.3.25. |
% |
|
|
|
|
! |
% # |
|||||||||||||||||
a = z i |
||||||||||||||||||||||||
|
( z = x 2 + y 2 |
|
$ |
x 2 + y 2 |
= 1 |
|
||||||||||||||||||
|
x ≥ 0, |
z ≥ 0 , |
( ! -+ & %- OZ |
|||||||||||||||||||||
|
& |
.. |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.26. |
% |
j |
! # % ! 3.3.25. |
|||||||||||||||||||||
a |
= z |
|||||||||||||||||||||||
|
" . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.3.27. |
% |
r |
= z |
k |
! # % ! 3.3.25. |
|||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||
|
" . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.3.28. |
% |
r |
|
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! % # |
|||||||||||||||||||
a = z i |
||||||||||||||||||||||||
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|
( |
|
z = x y |
|
$ |
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x 2 + y 2 = 2 |
|
|
|
|
|
x ≥ 0, z ≥ 0 |
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
( ! -+ & %- OZ & |
.. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.3.29. |
% |
r |
= x |
j |
! # % ! 3.3.28. |
|||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||
|
" . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.3.30. % |
|
|
|
|
r |
= xy k |
! |
# % |
! |
|||||||||||||||
|
|
a |
||||||||||||||||||||||
|
3.3.28. " . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.3.31. |
% |
|
( |
|
|
. |
|
r |
k |
|
" |
|||||||||||||
|
|
|
a = z |
|||||||||||||||||||||
|
% & % . ", ( ! & |
|||||||||||||||||||||||
|
' x 2 + y 2 + z 2 = 1 %- |
z = 1/ 2 , |
||||||||||||||||||||||
|
y ≥ 0, |
z ≥ 0 . |
|
3 % |
OX |
|
(- , |
|||||||||||||||||
|
. & " + . & |
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a = y i + x j |
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z = x y |
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$ x 2 + y 2 = 9 x ≥ 0, |
y ≥ 0 |
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3.3.33. |
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r |
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a |
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x 2 + y 2 + z 2 |
= 1 |
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x ≥ 0, z ≥ 0 |
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( ! -+ & %- OZ & |
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.. |
r |
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= x i + y k |
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$ x 2 + y 2 = 1 |
%- |
x − z = 1, |
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x ≥ 0, |
y ≤ 0 . 3 % OZ . |
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" .
3.3.35. |
% |
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r |
r |
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y 2 + z 2 = 1 |
|
|
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+ y 2 ≤ z 2 |
|
x ≥ 0, |
y ≥ 0, z ≥ 0 |
, |
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( ! -+ & %- OZ & |
.. |
|
|
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3.3.36. |
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% |
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, |
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x 2 + y 2 = 1 |
|
y 2 + z 2 = 1 |
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x ≥ 0 . |
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r |
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r |
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r |
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a = ( y − z) i + (2x + y) j + (x + y + z) k |
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|
%- 2x+y+z-2=0, |
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|
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|
|
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r |
r |
|
|
|
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r |
|
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a = 4z |
i + (x + y − 2z) |
j + (3y + 2z) k |
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|
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|
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r |
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r |
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= −z 3 i + y 3 k |
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! |
, |
( ! |
|
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a |
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|
x 2 + y 2 + z 2 |
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|
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|
r |
|
r |
|
r |
|
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' |
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a = x3 |
i + y 3 |
j + z 3 k |
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|
x 2 + y 2 + z 2 |
= 4 & . |
|
|
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3.3.42. |
% |
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r |
|
|
|
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a = −z 3 i |
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|
( ! |
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OZ |
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|
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r |
|
|
|
|
|
|
|
|
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3.3.43. |
% |
|
|
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2 (z +1) k |
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≤ 2 ∩ z ≥ 0 |
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|
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|
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3.3.44. |
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|
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|
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r |
|
|
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|
|
|
a |
=2 (x + y). j + z k |
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x 2 + y 2 + z 2 |
≤ 7 ∩ z ≤ 0 |
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2 − x 2 |
− y 2 |
|
|
|
|
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3.3.45. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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r |
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r |
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r |
|
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x 2 + y 2 + z 2 |
= 1 |
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x + y + z = 0. |
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r |
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i + yz2 j + zx2 k |
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x 2 + y 2 + z 2 |
= 5 |
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|
|
|
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3.3.47. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
|
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= 1 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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r |
r |
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|
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i + z2 j + x2 k |
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= 4 |
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x2 + y 2 |
= 2x |
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(4.3) |
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∂z |
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y |
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∂x |
∂y |
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30
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r |
r |
r |
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|
i |
j |
k |
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∂ |
∂ |
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∂y |
∂z |
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r |
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|
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*., |
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|
|
" # ! #. |
: |
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|
32