ТФКП(МТУСИ)2012г
.pdf5. Варианты контрольных заданий по теории функций комплексного переменного и операционному исчислению
ВАРИАНТ 1
Теория функций комплексного переменного
1. Решить уравнение z2 - 2iz - 5 = 0 .
2.Вычислить комплексное число z = (1 + i)11 (1 - i )-11 .
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = cos(1 + i) .
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
|
найти производную функции f (z) = z2 + z . |
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или |
|
мнимой части: Re f (z) = x2 - y2 + xy ; f (0) = i . |
|
(2,3) |
6. |
Вычислить интеграл по ò (z + Im z )dz , по прямой, соединяющей точки. |
|
(0,1 ) |
|
1+i |
7. |
Вычислить интеграл ò (z3 +1)dz по отрезку прямой. |
|
0 |
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= |
ez |
|
|
. |
|
(z2 + p 2 )2 |
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков |
1 |
ÑòL |
ez dz |
, где |
L – окружность |
|
z |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2pi |
z (1 - z )3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
¥ cos3x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного -ò¥ |
|
|
dx |
|||||||||
(x2 +1) |
2 |
z+1
11.Разложить функцию f (z )= z2 - z - 20 в ряд Лорана в области 4 < z < 5 .
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ;
L : x = C .
Операционное исчисление
13.Найти изображение: f (t ) = sh (at )×cos(bt )
14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а) x¢¢ + x¢ - 2x = et , при x (0) = -1, x¢(0) = 0 .
б) x¢¢¢ - x¢¢ = et , при x(0) =1, x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .
ВАРИАНТ 2
Теория функций комплексного переменного
1.Решить уравнение z2 - 4iz - 29 = 0 .
2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3-8i .
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = (1 + i)z .
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
|
найти производную функции f (z) = z3 +1. |
|
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или |
|
|
мнимой части: Re f (z) = x3 + 6x2 y - 3xy2 - 2 y3 ; |
f (0) = 0 . |
6. |
Вычислить интеграл по заданному пути интегрирования òIm zdz , |
|
|
|
L |
|
где L - дуга параболы y = 4 - x2 от точки (0; 4) |
до точки (2;0). |
|
|
i |
7. |
Вычислить интеграл от аналитической функции òzez dz . |
|
|
|
0 |
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= |
shz |
|
|
. |
|
(z2 + p 2 )2 |
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков |
ÑòL |
ez dz |
|
|
, где |
L – окружность |
|
z |
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z (z - 2i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10.Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
¥ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
x2 +1 |
2 x2 + 4 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Разложить функцию f (z )= |
1 |
×sin 2 |
2 |
в ряд Лорана в окрестности |
z0 = 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ; L : |
|
|
z |
|
= a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционное исчисление |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. Найти оригинал: F ( p )= |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
p2 -1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
x¢¢ + 2x¢ + x = e-t |
, при x(0) =1, x¢(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) |
xIV - x = sht , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 , x¢¢¢(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 3 |
|
Теория функций комплексного переменного |
1. |
Решить уравнение z2 - 4z + 5 = 0 . |
2. |
Вычислить комплексное число z = (2 + i)3 (2 -11i). |
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z2 + 2iz -1.
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
|
найти производную функции f (z) = ez + i . |
|
|
||||||||
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или |
||||||||||
|
мнимой части: Im f (z) = |
x |
f (i) = 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
x2 + y2 |
|
|
||||||||
|
|
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
ìx = cost |
||
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить интеграл |
Re z × zdz по четверти окружности |
|||||||||
í |
. |
||||||||||
|
|
(0,0 |
) |
|
|
|
|
|
îy -1 |
= sin t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить интеграл |
ò(iz3 - 2z )dz |
по отрезку прямой. |
|
|
i
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= |
sin z |
|
|
. |
|
(z2 - p 2 )2 |
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков Ñò |
z3dz |
, где L - окружность |
|
z - 2i |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
L |
z - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ò¥ |
|
|
||||
10. |
Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
x2 + 4 |
|||||||||||||||||
11. |
Разложить функцию f (z )= |
z - 3 |
|
z |
|
> 5 . |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
в ряд Лорана в области |
|
|
|||||||||||||||
z2 - 2z -15 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
L : z - 2 =1.
Операционное исчисление
13.Найти изображение: f (t )= shtt .
14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а) x¢¢ - 2x¢ + 2x = sin t , при x(0) = 0 , x¢(0) =1.
б) x¢¢¢ + 3x¢¢ + 3x¢ + x = te-t , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .
ВАРИАНТ 4
Теория функций комплексного переменного
1. Решить уравнение z2 + 2iz + 3 = 0 .
2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = -6 + 63i .
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z + 1 .
|
|
|
|
|
z |
4. |
Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения |
||||
|
найти производную функции f (z) = cos(2z) . |
||||
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной |
||||
|
или мнимой части: Re f (z) = e2 x cos 2 y - 3xy ; f (0) =1. |
||||
6. |
Вычислить интеграл ò |
|
z |
|
2 dz , где L - прямолинейный отрезок от точки z1 = 0 |
|
|
||||
|
|
|
|||
|
L |
||||
|
ip |
||||
|
до точки z2 = Re 4 . |
||||
|
1+i |
||||
7. |
Вычислить интеграл ò z cos zdz по отрезку прямой. |
||||
|
i |
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
chz
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= .
(z2 + p 2 )3
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков Ñò |
cos z |
dz , где L - окружность |
|
z + i |
|
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
z + 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
dx |
|
|
||
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
(x |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-¥ |
+ |
1) |
|
|||
11.Разложить функцию f (z )= sin |
2z - 7 |
|
в ряд Лорана в окрестности |
z0 = -2 . |
|||||||||||||||||||
z + 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где |
w = z + 1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
L : |
|
z |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционное исчисление |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. Найти оригинал: F ( p )= |
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p ( p +1)( p + 2)( p + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
x¢¢ + 3x¢ = et , при x(0) = 0 , x¢(0) = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
x¢¢¢ + x¢ =1, при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория функций комплексного переменного |
|||||||||||||
1. |
Решить уравнение z2 + 5iz - 4 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Вычислить комплексное число |
z = i9 + (3 - 2i)(1 - 4i)-1 . |
||||||||||||
3. |
Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 4 |
|
|
z |
. |
|||||||||
( |
z |
2 - z2 ) |
||||||||||||
4. |
Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения |
|||||||||||||
|
найти производную функции |
f (z) = sin(z -1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной |
|||||||||||||
|
или мнимой части: Re f (z) = -x3 + 3xy2 - 3x2 y + y3 ; |
f (i) =1. |
||||||||||||
6. |
Вычислить интеграл ò |
|
z |
|
dz , где L - полуокружность |
|
z |
|
=1, 0 £ arg z £ p . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Вычислить интеграл ò(z2 - 2)dz по отрезку прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
cos z
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = (z2 -p 2 )3 .
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков Ñò |
|
|
eiz dz |
|
|
, где L - окружность z = p |
2 . |
|
|
|
|||||
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
L sin |
z - |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
|
|
|
|||||||||||
|
¥ cos mxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ò0 |
|
при a > 0 , m > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x2 + a2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f (z )= |
|
z + 2 |
|
z - 4 |
|
>1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
Разложить функцию |
|
в ряд Лорана в области |
|
|||||||||||
z2 - 9z + 20 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = ez ; L : x = C
Операционное исчисление
|
t cht - cost |
|
||
13. |
Найти изображение: f (t )= ò |
|
|
dt |
|
t |
|||
|
0 |
|
|
|
14. |
Решить дифференциальные уравнения операторным методом: |
|||
а) |
x¢¢ + 2x¢ - 3x = e-t , при x(0) = 0 , |
x¢(0) =1. |
||
б) |
x¢¢¢ - x¢¢ = sin t , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 . |
ВАРИАНТ 6
Теория функций комплексного переменного
1. Решить уравнение z2 + 3iz + 4 = 0 .
2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3125i .
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = iz + 2z2 .
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
|
найти производную функции f (z) = sh(z - i) . |
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной |
||||||||||
|
или мнимой части: Im f (z) = 2ch y cos x ; f (0) = 2i . |
||||||||||
6. |
Вычислить интеграл ò |
|
z |
|
dz , где L - окружность |
|
z |
|
=1, 0 £ arg z £ |
p |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|||||||||||
|
L z |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Вычислить интеграл ò(iz2 - 3)dz по отрезку прямой. |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
z2 + 4
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = (z2 + 3z + 2)2 .
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков |
ÑòL |
dz |
, где L - окружность |
|
z -1 - i |
|
=1. |
|||
|
|
|||||||||
z3 +1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
||||||||||
¥ |
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +1)(x2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Разложить функцию f (z ) = |
z - sin z |
в ряд Лорана в окрестности |
z0 = 0 . |
||||||
|
z |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = ez + z ; |
|
||||||||
|
L : x = 5 ; 0 £ y £ p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционное исчисление |
|
|||||||
13. Найти оригинал: F ( p )= |
|
|
|
|
p2 + 4 |
|
|||
p4 - 7 p3 +12 p2 + 4 p -16 |
|
|
|||||||
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом: |
|
||||||||
а) |
x¢¢ + 2x¢ + x = sin t , при x(0) = 0 , |
x¢(0) = -1. |
|
||||||
б) |
x¢¢¢ + x¢ = t , при x(0) = 0 , x¢(0) =1, |
x¢¢(0) = 0 . |
|
|
ВАРИАНТ 7 |
||||||
|
Теория функций комплексного переменного |
||||||
1. |
Решить уравнение 2z2 - 5iz - 2 = 0 . |
+ 3i |
|
|
- 3i |
|
|
2. |
Вычислить комплексное число z = |
1 |
+ |
1 |
. |
||
|
|
|
|
||||
|
1 |
- 3i 1 |
+ 3i |
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 2i - z + iz2 .
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
найти производную функции f (z) = ch(3z) .
5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Im f (z) = 2ch xsin y - 2xy ; f (0) = 0 .
6. Вычислить интеграл òIm zdz , где L - радиус-вектор точки z = 2 + i .
L
i+1
7. Вычислить интеграл ò (i - 3z )dz по отрезку прямой.
0
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = |
(z +1)2 |
|
|
. |
|
(z2 - 3z + 2)2 |
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков |
ÑòL |
z4dz |
|
, где L - окружность |
|
z -1 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(z -1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
|||||||||||||||||||||||
¥ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
+ 2x + 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-¥ (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Разложить функцию f (z ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
<1. |
||||||||||||
11. |
= |
|
в ряд Лорана в области |
|
||||||||||||||||||||
(z + 2) ×(1 + z2 ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
12. |
Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где |
w = z - |
; |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
L : |
|
z |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционное исчисление
13.Найти изображение: f (t ) = t cost
14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а) x¢¢ + x¢ - 2x = 8sin 2t , при x(0) = x¢(0) = -2 .
б) x¢¢¢ + 2x¢¢ + 5x¢ = 0 , при x (0) = -1, x¢(0) = 2 , x¢¢(0) = 0 .
ВАРИАНТ 8
Теория функций комплексного переменного
1.Решить уравнение 5z2 + 6z + 5 = 0 .
2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 4-8 - 83i .
3. |
Найти мнимую и действительную части функции f (z) = |
z + i |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
i - |
z |
|
4. |
Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения |
|||||
|
найти производную функции f (z) = z2 + |
z |
2 . |
5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = ey sin x + 2x -1; f (0) = -1.
6. |
Вычислить интеграл ò |
|
z |
|
dz , где L - окружность |
|
z |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|||||
|
L |
||||||||
|
i+2 |
||||||||
7. |
Вычислить интеграл ò (z2 + 3iz )dz по отрезку прямой. |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = |
eiz |
|
|
. |
|
(z2 -p 2 )2 |
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
|
|
ÑòL |
dz |
|
z - 3i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
высших порядков |
|
|
|
, где L - окружность |
|
= 5 . |
|
||||||
(z +1)2 (z2 + 9) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò0 |
|
|||||||||||
(x2 + a2 )4 |
|||||||||||||
|
при a > 0 . |
|
|
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
Разложить функцию f (z ) = |
e |
в ряд Лорана в окрестности |
z0 = 0 . |
|
||||||||
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||
12. |
Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = |
1 |
; |
L : y = C . |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Операционное исчисление
p+ 3 p + 4
13.Найти оригинал: F ( p )= p ( p -1)( p - 2)
14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:2
а) x¢¢ + x¢ - 6x = te2t , при x(0) = 0 , x¢(0) = - 125 . б) x¢¢¢ + x¢¢ = sin t , при x(0) = x¢(0) =1, x¢¢(0) = 0 .
ВАРИАНТ 9
Теория функций комплексного переменного
1. |
Решить уравнение z2 + 4z +13 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
|
|
|
ö |
æ 1 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|||||
|
|
|
3i |
|
3i |
|||||||||||||||
2. |
Вычислить комплексное число z = 2i ×ç |
|
- |
|
÷ |
×ç |
|
+ |
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
è |
2 |
|
2 ø |
è 2 |
|
2 |
z |
ø |
|
i |
|
||||||||
3. |
Найти мнимую и действительную части функции f (z) = |
|
|
|
+ |
|
. |
|||||||||||||
|
i |
|
|
|
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти производную функции f (z) = z .
5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
|
или мнимой части: Im f (z) = -2x2 + 2 y2 - 2xy ; f (0) = 5 . |
||||||
6. |
Вычислить интеграл òRe zdz , где L - полуокружность |
|
z |
|
=1,0 £ arg z £ p . |
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
L |
||||||
|
|
p |
+i |
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислить интеграл ò sin 2zdz по отрезку прямой. |
||||||
|
-1 |
|
|
|
|
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
- 1
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = z3 ×e z2 .
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
|
|
|
|
ÑòL |
ez dz |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
высших порядков |
|
, где L - окружность |
|
|
= 3. |
|
|
|
|
|
||||||||
(z + 2)4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
Вычислить интеграл от функции действительного переменного |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
¥ |
cos lxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò0 |
при l > 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x2 +1)(x2 + 9) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Разложить функцию f (z ) = |
2z + 3 |
1 < |
|
z |
|
< 2 . |
|||||||||||
11. |
|
в ряд Лорана в области |
|
|
||||||||||||||
z2 + 3z + 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
L : arg z = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционное исчисление
13.Найти изображение: f (t ) = t2 cos(t / 2)
14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а) x¢¢ + x¢ = cost , при x(0) = 2 , x¢(0) = 0 .
б) x¢¢¢ + x¢¢ = t , при x(0) = -3 , x¢(0) =1, x¢¢(0) = 0 .
ВАРИАНТ 10
Теория функций комплексного переменного
1. Решить уравнение z2 + iz + 6 = 0 .
2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3i .
3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z2 - i .
4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
найти производную функции f (z) = z Re z .
5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Im f (z) = x2 - y2 - 2xy + y ; f (i) = 0 .
6. |
Вычислить интеграл òIm zdz , где L - полуокружность |
|
z |
|
= 3,0 £ arg z £ p . |
||
|
|
|
|||||
|
L |
||||||
|
|
pi |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить интеграл ò zez dz = по отрезку прямой. |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = z3 ×cos 1 . z2
9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных
высших порядков Ñò |
sin (p z |
4 )dz |
, где L - окружность |
z +1 = 1 |
2 . |
|
||||||||||
|
( |
z |
2 |
|
|
) |
|
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
dx |
|
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò |
||||||||||||||||
a - cos x |
||||||||||||||||
|
при a >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Разложить функцию |
f (z ) = z × e |
|
в ряд Лорана в окрестности z0 = -i . |
|||||||||||||
z+i |
||||||||||||||||
12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где |
w = ez ; |
|
|
|||||||||||||
|
L : y = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Операционное исчисление |
|
|
|
|||||||||
13. Найти оригинал: F ( p )= |
4 p2 - 6 p + 4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p ( p -1)2 |
|
|
|
|||||
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом: |
|
|||||||||||||||
а) |
x¢¢ + x¢ = sin2 t , при x(0) = x¢(0) = 0 . |
|
|
|
||||||||||||
б) |
xIV - x¢¢ = cos t , при x¢(0) = -1, x(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 . |
|
|
|