Курсовая_интегралы_1
.pdfЧАСТЬ 1
ВАРИАНТ 1
I.Вычислить определенные интегралы:
1.1/2∫arcsin 2xdx ;
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
π∫ |
1 + cos 2x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫2 |
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
||||||||||||||||||
1. |
∞∫ |
dx |
|
|
|
|
2. |
∞∫e−ax sin bxdx |
|
|
3. ∫e |
|
dx |
|
. |
|||||
(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 x 3 (ln x) |
|
|
|||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
x5 dx |
|
|
|
|
1 ln (1 + 5 x ) |
|
|
|
|||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
5. ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
15 |
|
|
|
10 |
− x |
8 |
|
e |
x |
−1 |
|
|
||||||||
|
1 |
x |
+ 3x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
III. 1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = 4 − x2 ,
y = x2 − 2x.
2. Вычислить длину дуги кривой: y =ln sin x; |
π |
≤ x ≤ |
2π |
. |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
1
ВАРИАНТ 2
I.Вычислить определенные интегралы:
1.∫1 1e+2 xedx2 x ;
0
π
2. ∫2 |
x cos xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫3 tg4 x sec4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
∞∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
; 2. |
∫3 |
dx |
|
|
; 3. −∫7 |
|
|
dx |
. |
||||
|
x |
2 |
+ 4x + |
9 |
2 |
−3 |
x |
2 |
+8x + 7 |
|||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
1 |
4x − x |
−10 |
|
|
|||||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
x2 + x + 7 |
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
5. ∫ |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
16 |
−3x |
2 |
+ |
8 |
|
tgx − x |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = x2 −4x +4,y = x +4,
y = 0.
2. Вычислить длину дуги кривой:
y = ln (1 − x |
2 |
), |
− |
1 |
≤ x ≤ |
1 |
. |
|
2 |
2 |
2
ВАРИАНТ 3
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
∫1 |
|
|
ex dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫2 (3x + 2)ln xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫2 cos4 x sin3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
||||||||||||
1. ∞∫x2e−x3 dx ; 2. ∫2 |
|
|
dx |
|
|
; 3. ∫7 |
x2 dx |
|
. |
|||||
|
|
1 − x2 |
|
|
49 − x |
2 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
−7 |
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов:
1 |
ln x |
|
∞ |
3x2 |
+15x −1 |
|
||
4. ∫ |
|
dx ; |
5. ∫ |
|
|
|
|
dx . |
x |
10 |
+8x |
8 |
+ 7x |
||||
0 |
|
2 |
10x |
|
|
III. 1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
xy = 6,
x + y −7 =0.
2. Вычислить длину дуги кривой: y = 2(ex/4 + e−x/4 ), − 4 ≤ x ≤ 4 .
3
ВАРИАНТ 4
I. Вычислить определенные интегралы:
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. ∫2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 − 6x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. ∫4 tg3 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. ∫1 x ln (1 + x2 )dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
dx |
∞ |
dx |
|
|
|
8 |
8 + x |
|
|
|
||||||||||
1. −∞∫ |
|
; 2. |
∫1 |
|
|
|
|
; 3. ∫0 |
8 − x dx . |
|
|
||||||||||
x2 +1 |
x 1 + x4 + x8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||
∞ 7x5 +3x2 −1 |
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. ∫0 |
|
dx |
; 5. |
∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
15x12 + 7x3 + 5 |
ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|||||||||||||||||||||
y =(x −1)3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x =3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Вычислить длину дуги кривой: |
y = |
x2 |
− |
ln x |
, 1 ≤ x ≤ 2 . |
||||||||||||||||
4 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
ВАРИАНТ 5
I. Вычислить определенные интегралы:
3 |
1 + x2 |
||
1. ∫ |
|
|
dx ; |
x |
2 |
||
1 |
|
|
π
3xdx
2.π∫sin2 2x ;
4
π
3. |
|
∫3 ctg3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
||||||||||||
|
∞ ln xdx |
|
|
∞ |
|
|
dx |
3 |
3 + x |
|
||
1. |
∫ |
|
2 |
; |
2. |
∫ |
|
|
|
; 3. ∫ |
|
dx . |
x |
x |
2 |
+ x − 2 |
3 − x |
||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
Определить сходимость несобственных интегралов:
|
|
(x2 + |
5 |
|
|
|
4. |
∞∫ |
4)3 dx ; |
5. ∫1 |
ln xdx |
. |
|
|
|
|||||
|
3 |
(x4 +8) |
0 |
1 − x2 |
||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
||||||
|
y2 = 4 |
(2 − x)3 |
, |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =1. |
|
|
|
|
- первым витком логарифмической спирали и полярной осью.
2.Вычислить длину дуги кривой:
y = arcsin e−x , 0 ≤ x ≤1.
5
ВАРИАНТ 6
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
∫2 |
|
|
x2 −1 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
|
3 (x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 (x + |
2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
1/2∫ arcsin xdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
−x2 |
|
|
1 |
x3 + 3 x − 2 |
4 |
|
dx |
|
|
|||||||
1. |
∫xe |
|
dx ; 2. ∫ |
|
|
|
dx ; 3. ∫ |
|
|
|
|
. |
||||||
|
5 |
x |
3 |
|
x |
2 |
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 x |
|
− 4 |
Определить сходимость несобственных интегралов:
4. |
∞∫ |
3x28 |
+ 5x + 7 dx ; |
5. ∫1 |
cos(1 / x) |
dx . |
3 |
||||||
|
1 |
7x |
+ x −8 |
0 |
x |
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y2 = x3 ,
x + y2 = 2.
- первым и вторым витками спирали Архимеда и полярной осью.
2.Вычислить длину дуги кривой:
y = x − x2 + arcsin x, 0 ≤ x ≤1.
6
ВАРИАНТ 7
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
∫1 |
xdx |
; |
|
1 + x |
||||
|
0 |
|
||
|
π |
|
|
|
2. |
∫2 sin x sin 2x sin 3xdx ; |
|||
|
0 |
|
|
1x5 dx
3.−∫1 x + 2
II. Вычислить несобственные интегралы:
1. |
∞∫arctgx1 + x2 dx ; |
2. |
3∫a |
|
|
2x |
|
|
|
dx ; |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
1 |
|
2a |
|
− a |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx
3.∫0 (x +1)ln p (x +1)
Определить сходимость несобственных интегралов:
∞ |
|
|
x5 |
+ 3 |
|
|
|
a |
dx |
|
|
π |
|
||
4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
5. |
∫ |
|
,0 |
<α ≤ |
|
. |
|
10 |
+ x |
8 |
+ x |
7 |
cos x − cosα |
2 |
|||||||||
0 |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
III. 1. |
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
||||||||||||||
2. |
Вычислить длину дуги кривой: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y = ∫x |
costdt, |
− |
π |
≤ x ≤ π . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 + x2 = 2x,
y = x2 .
7
ВАРИАНТ 8
I. Вычислить определенные интегралы: 1. e∫−1 ln (x +1)dx ;
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
∫ |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. ∫2 sin4 x cos2 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
||||||||||||||||||||
1. ∫5 |
|
|
dx |
|
|
|
; |
2. ∞∫ |
dx |
|
|
; 3. ∞∫arctgxdx2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
8x − x2 −15 |
|
1 x + 4x |
|
( |
+ x2 |
) |
||||||||||||
|
|
|
|
0 1 |
|
||||||||||||||||
|
∞ |
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||
|
3x2 + 5x −7 |
|
1 |
|
ln x |
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; 5. ∫ |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||
|
15 |
+3x |
3 |
+ 2x |
2 |
1 |
− x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
4x |
|
|
0 |
|
|
|
|
III. 1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = lg x,
x + y =11,y = 0.
2.Вычислить длину дуги кривой: y = (x +1)3 , 3 ≤ x ≤8 .
8
ВАРИАНТ 9
I. Вычислить определенные интегралы:
π
1. ∫2 cos5 xdx ;
0
2. π∫ex sin xdx ;
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 5x +1 |
|
|
|
|
|
||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
) |
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
( |
dx |
|||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
cos 1 / x2 |
|
||||
1. ∫ |
|
|
; |
3. ∫ |
|
|
|
. |
|||
x ln5 |
x |
x3 |
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π
2. ∞∫xe−x dx ;
0
Определить сходимость несобственных интегралов:
|
|
7x + 5 |
|
( |
) |
|
||
∞ |
|
|
|
|
1 |
sin 1 / x |
|
|
4. ∫4 |
|
|
|
|
dx ; 5. ∫ |
|
|
dx . |
17 |
+ x |
8 |
+3x |
1 − x |
|
|||
2 |
x |
|
0 |
|
|
III. 1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y2 =10x + 25,
y2 = −6x + 9.
2.Вычислить длину дуги кривой: y = 3 x2 −1, 8 ≤ x ≤ 27 .
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 10 |
|||||
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
||||||||||||||||||||||
1. ∫3 x2 9 − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
+ sin x |
+ cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. ∫1 (arcsin x)2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
5 |
|
|
dx |
|
|
∞ 16xdx |
||||||||||
1. ∫3 |
|
|
|
; 2. ∫0 |
|
|
|
|
; |
|
3. ∫1 |
|
. |
|||||||||||
(5 + x) x |
|
x(5 − x) |
|
16x4 −1 |
||||||||||||||||||||
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||
∞ |
x |
4 |
|
− x − |
5 |
|
|
|
1 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. ∫0 |
|
|
|
dx ; 5. |
∫0 |
|
1 |
− x |
dx . |
|
|
|||||||||||||
x10 + 2x + 3 |
|
(1 − x)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
III. |
1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
=16, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 4x + 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длину дуги кривой: y = ∫x |
t2 −1dt, 1 ≤ x ≤3 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
10