lecture4
.pdf
( f (w))w > ( f (u))w |
(4.7.9) |
звідки отримуємо (4.7.7). |
|
Із леми випливає, що f(δ)>f(0), і |
|
( f (δ))δ > ( f (0))δ . |
(4.7.10) |
Розглянемо три різних різних значення відсоткового прибутку δ1 <δ <δ2 . За доведеною лемою
( f (δ1 ))δ <( f (δ))δ <( f (δ2 ))δ |
(4.7.11) |
||||||||||||||||||
і, таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
|
x (δ1 ))δ /δ1 < |
|
x (δ) < ( |
|
|
|
|
x (δ2 ))δ /δ2 , |
(4.7.12) |
|||||||||
A |
A |
A |
|||||||||||||||||
що дозволяє оцінити |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ax (δ) , за умови , що значення Ax (δ1 ) і Ax (δ2 ) відомі. |
|||||||||||||||||||
Наприклад, нехай |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
= 0.41272, якщо i = 4%, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
= 0.34119, якщо i =5%. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||
Тепер можемо знайти границі для разових нетто-премій |
|
50 і a50 при i=4,5%. З (4.7.12) |
|||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||
при
δ1 =ln1.04, δ =ln1.045, δ2 =ln1.05
знаходимо, що
0.37039< A50 <0.37904.
Тоді тотожність a50 = (1 − A50 ) /δ дає
14.304> a50 >14.107.
Замінюючи Т на К+1 і at на at =1−dυt ,t > 0,
отримуємо подібними міркуваннями такі нерівності :
ax < aex +1 ,
Ax >υex +1,
( Ax (δ1 ))δ /δ1 < Ax (δ) < ( Ax (δ2 ))δ /δ2 .
(4.7.13)
(4.7.14)
(4.7.15)
(4.7.16)
11
Першими двома похідними функції Ax (δ) є
|
|
|
' |
(δ) = −E(TυT ) = −( |
|
|
|
|
(δ) <0, |
|
|
A |
IA) |
x |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x'' (δ) = E(T 2υT ) > 0. |
|
|
||||||
A |
|
(4.7.17) |
||||||||
Таким чином Ax (δ) - монотонно спадна увігнута функція від δ. З цього випливає, що будьякий криволінійний сегмент її графіка лежить під “січною”:
|
|
|
|
|
|
(δ) < |
|
δ2 −δ |
|
|
(δ |
|
|
) + |
δ −δ1 |
A (δ |
|
), |
(4.7.18) |
|||||||||||||||
|
|
|
A |
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
δ |
2 |
−δ |
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
δ |
2 |
−δ |
1 |
x |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
але вище дотичних у точках δ1 |
і δ2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x (δ) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A |
Ax (δ1 ) −(δ −δ1 )( |
IA)x (δ1 ), |
|
|
(4.7.19) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x (δ) > |
|
x (δ2 ) −(δ2 −δ)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
A |
A |
IA)x (δ2 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Інколи отримують більш точні границі з (4.7.18) та (4.7.19), ніж із (4.7.12). У наведеному вище прикладі покращена верхня границя отримується із (4.7.18) :
A50 <0.37687 .
Нижня границя для a50 теж покращується :
a50 >14.157.
4.8. Виплати, що починаються з дробового віку.
Початковий вік х не буде в загальному випадку цілим числом, якщо він не округлений. Розглянемо обчислення ax+u для цілих х і 0<u<1.
Починаючи із тотожності
u px k px+u = k px u px+k |
(4.8.1) |
і використовуючи припущення (а) з 2.6, знаходимо |
|
(1−uqx ) k px+u = k px (1−uqx+k ). |
(4.8.2) |
Помноживши на υk і додаючи за всіма k, отримаємо |
|
(1−uqx )ax+u = ax −u(1+i)Ax . |
(4.8.3) |
Тепер замінимо Ax на 1 −dax , щоб отримати потрібну формулу |
|
12
ax+u = |
(1+ui)ax −u(1+i) |
. |
|
(4.8.4) |
|||
|
1−uqx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
За допомогою (4.6.1) можна переписати цей результат у вигляді |
|
||||||
ax+u = |
1−u |
ax +u(1−qx ) a |
(4.8.5) |
||||
|
|||||||
|
1−uqx |
1−uqx |
x+1 |
|
|||
|
|
|
|||||
так що ax+u є зваженим середнім для ax і ax+1 . |
|
||||||
В практичних застосуваннях ax+u |
часто апроксимують за допомогою лінійної інтерполяції, |
||||||
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
ax+u ≈(1−u)ax +uax+1. |
|
|
|
(4.8.6) |
|||
Це наближення є практично задовільним для невеликих значень qx , що безпосередньо витікає з (4.8.5).
Приклад. Для ілюстрації візьмемо a70 = 8.0960 , |
a71 = 7.7364 , q70 = 0.05526 . Результати |
||||
наведено у таблиці: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
a70+u з (4.8.4), (4.8.5) |
|
a70+u з (4.8.6) |
|
|
1/12 |
8.0676 |
|
8.0660 |
|
|
2/12 |
8.0389 |
|
8.0361 |
|
|
3/12 |
8.0099 |
|
8.0061 |
|
|
4/12 |
7.9806 |
|
7.9761 |
|
|
5/12 |
7.9511 |
|
7.9462 |
|
|
6/12 |
7.9213 |
|
7.9162 |
|
|
7/12 |
7.8912 |
|
7.8862 |
|
|
8/12 |
7.8609 |
|
7.8563 |
|
|
9/12 |
7.8302 |
|
7.8263 |
|
|
10/12 |
7.7992 |
|
7.7963 |
|
|
11/12 |
7.7680 |
|
7.7664 |
|
Припустивши, що лінійна інтерполяція допустима також для ануїтетів з частішими виплатами :
ax( m+u) ≈(1 −u)ax( m) +uax( m+1) |
(4.8.7) |
із (4.3.5) отримаємо практичне наближення |
|
ax(m+u) ≈α(m)(1−u)ax +α(m)uax+1 −β(m). |
(4.8.8) |
Подібні співвідношення можна отримати для разової нетто-премії довічного страхування, яке починається із дробового віку. Наприклад, безпосередній наслідок (4.8.5)
Ax+u = |
1−u |
Ax + |
u(1−qx ) |
Ax+1. |
(4.8.9) |
1−uqx |
|
||||
|
|
1−uqx |
|
||
13