НО_лекция--13

такие, что B = UAV . Докажем, что A B. Как показано в выводе 1, матрицы U и

Vобратимы. Домножим равенство B = UAV на U 1 слева: U 1B = AV , затем на

V1 справа: U 1BV 1 = A. Учтем, что матрица U 1 равна (утв. 5 лекция 12):

U 1 = (U1 : : : Uk) 1 = Uk 1 : : : U1 1:

Матрицы, обратные к элементарным, являются элементарными (св-во 1 элементарных матриц), следовательно, матрица U 1 равна произведению элементарных матриц. По тем же причинам матрица V 1 является произведением элементарных матриц. Из опр.3 следует, что матрица A = U 1BV 1 эквивалентна матрице B.

Докажем транзитивность. Пусть A B и B C. Докажем, что A C. Из эквивалентности матриц A и B и матриц B и C следует, что существуют матрицы U; Ue; V; Ve, являющиеся произведениями элементарных матриц, такие, что:

A = UbCVb ) A C: /

Как известно, всякое отношение эквивалентности на множестве задает на нем разбиение на непересекающиеся классы эквивалентности. В каждом классе эквивалентности все матрицы эквивалентны друг другу и простейшим представителем в каждом классе эквивалентности является соответствующая матрица Dr, к которой может быть приведена элементарными преобразованиями строк и столбцов любая матрица из этого класса. Можно доказать, что разные матрицы Dr не эквивалентны друг другу, а именно, что справедливо следующее утверждение.

Утверждение 10. Каждая прямоугольная матрица A 2 Mmn эквивалентна един-

Из утв. 10 следует, что число p классов эквивалентности на множестве Mmn прямоугольных матриц равно числу возможных вариантов матрицы Dr (180), т.е. p = 1 + min(m; n).

Утв. 10 делает корректным следующее определение ранга матрицы.

Определение 4. (Первое определение ранга матрицы). Ранг матрицы

ной прямоугольной матрицы A равен рангу эквивалентной ей матрицы Dr:

A Dr () rank A = rank Dr = r:

Утверждение 11. Если квадратная матрица Dr обратима, она равна единичной матрице.

Доказательство. Предположим противное: пусть обратимая квадратная матрица Dr порядка n не единичная, т.е. имеет хотя бы одну нулевую строку. Поскольку она квадратная, наряду с нулевой строкой должен быть и нулевой столбец, в этом случае она будет иметь вид

01

11

Матрица Dr по условию обратима, следовательно, существует обратная матрица Dr 1 такая, что DrDr 1 = E. Обозначим элементы обратной матрицы Dr 1 через dij и запишем в развернутом виде равенство DrDr 1 = E:

Элемент ann в матрице, равной произведению матриц левой части этого равенства, ни при каких значениях d1n; : : : ; dnn не может быть равен 1, так как

0d1n1

ann = (0 : : : 0) @ ... A = 0;

dnn

т.е. равенство DrDr 1 = E невозможно. Следовательно, предположение о наличии нулевой строки в обратимой квадратной матрице Dr приводит к противоречию, доказывающему утверждение. /

Утверждение 12. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она является произведение элементарных матриц

A = U1 : : : Uk

A обратима () Ui элементарные матрицы; i = 1; : : : ; k:

Доказательство. ( То, что произведение элементарных матриц есть обратимая матрица было доказано ранее (св-во 3 элементарных матриц).

) Докажем, что если квадратная матрица обратима, то она есть произведение элементарных. В соответствии с утв. 8 любую прямоугольную матрицу, в том числе и квадратную матрицу A, можно привести к Dr-виду с помощью элементарных преобразований строк и столбцов. Следовательно, существуют элементарные матрицы

Uk; : : : ; U1; V1; : : : ; Vs такие, что

Uk : : : U1 A V1 : : : Vs = Dr ) UAV = Dr;

U = Uk : : : U1; V = V1 : : : Vs:

Матрицы U; V обратимы, матрица A обратима по условию утверждения, следовательно, Dr = UAV тоже должна быть обратимой матрицей. Матрица Dr в данном случае является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица A. Из утв. 11 следует, что в этом случае Dr = E. Это позволяет записать следующие равенства:

UAV = Dr = E ) A = U 1V 1 ) A = U1 1 : : : Uk 1Vs 1 : : : V1 1;

т.е. матрица A является произведением элементарных матриц, поскольку обратные к элементарным матрицы сами являются элементарными (св-во 1 элементарных матриц). /

Утв. 12 позволяет дать такое определение отношения эквивалентности матриц.

Определение 30. Матрица B эквивалентна матрице A (B; A 2 Mmn) тогда и только тогда, когда существуют обратимые матрицы P (P 2 Mm) и Q (Q 2 Mn) такие, что B = P AQ:

12

Утверждение 13. Обратимая матрица эквивалентна единичной матрице и ее можно преобразовать в единичную матрицу с помощью элементарных преобразований только строк.

Доказательство. Из утв. 12 следует, что любая обратимая матрица является произведением элементарных, т.е. для обратимой матрицы A справедливо равенство

A = U1U2 : : : Uk;

Ui элементарные матрицы, i = 1; : : : ; k. Домножим это равенство слева последовательно на матрицы U1 1; U2 1; : : : ; Uk 1, в результате получим

Матрицы Uk 1; : : : ; U1 1 являются элементарными (как обратные к элементарным). Домножение слева на элементарные матрицы равносильно, как показано выше, элементарным преобразованиям строк матрицы A, таким образом, из равенства (25) следует, что обратимую матрицу A можно преобразовать в единичную матрицу с помощью элементарных преобразований только строк. Кроме того, из (25) следует, что A E, так как существуют обратимые матрицы P и Q (P = Uk 1 : : : U1 1; Q = E), такие, что P AQ = E. По опр.30 это означает, что A E. /

Замечание 2. На утв. 13 основан один из способов отыскания обратной матрицы.

Доказательство 3) и 4) свойств обратимых матриц

В конце 12 лекции были сформулированы св-ва 3) и 4) обратимых матриц. Докажем св-во 3).

3) A обратима () AT обратима.

Доказательство.

) По утв. 12 обратимая матрица A является произведением элементарных матриц

A = U1 : : : Uk;

следовательно:

По св-ву 2 элементарных матриц, матрицы, транспонированные к элементарным, сами являются элементарными. Из (26) следует, что матрица AT , являясь произведением элементарных матриц, есть обратимая матрица.

Матрицы V1; V2; : : : ; Vs в (27) элементарные, следовательно, транспонированные к ним матрицы тоже элементарные, следовательно, A = VsT : : : V2T V1T есть обратимая матрица. /

Докажем св-во 4): (AT ) 1 = (A 1)T .

Матрица A обратима, следовательно, существует матрица A 1 такая, что

По доказанному выше св-ву 3) матрица AT обратима, следовательно, существует обратная к ней матрица (AT ) 1, удовлетворяющая равенству

13