Линейная алгебра и аналитическая геомерия

поверхность с уравнением F(x, y, z) = 0 через некоторую точку M (xM , yM , zM ),

достаточно подставить координаты этой точки в уравнение поверхности и проверить удовлетворится ли оно, т.е. будет ли F(xM , yM , zM ) = 0.

3.2.1. Плоскость

Определение 3.26. Плоскостью α называется поверхность, все точки

которой удовлетворяют уравнению вида

Взависимости от значений постоянных A, B, C, D возможны

следующие частные случаи расположения плоскости относительно прямоугольной декартовой системы координат:

1)А = 0 – плоскость α параллельна оси Ох;

2)В = 0 – плоскость α параллельна оси Оу;

3)С = 0 – плоскость α параллельна оси Оz;

4)D = 0 – плоскость α проходит через начало координат;

5)А = В = 0 – плоскость α параллельна плоскости хОу;

6)А = С = 0 – плоскость α параллельна плоскости хОz;

7)В = С = 0 – плоскость α параллельна плоскости yOz;

8)А = D = 0 – плоскость α проходит через ось Ох;

9)В = D = 0 – плоскость α проходит через ось Оу;

10)С = D = 0 – плоскость α проходит через ось Oz;

11)А = В = D = 0 – плоскость α совпадает с плоскостью хОу;

12)А = С = D = 0 – плоскость α совпадает с плоскостью xOz;

13)В = С = D = 0 – плоскость α совпадает с плоскостью yOz.

Уравнение плоскости может быть представлено в различных видах в зависимости от каких–либо заданных начальных условий. Рассмотрим различные способы составления уравнения плоскости.

3.2.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Для того чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

61

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рассмотрим точки M1 (x1, y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 (x3 , y3 , z3 ), не лежащие на одной прямой. Для того чтобы произвольная точка M (x, y, z) лежала в

Пример. Составим уравнение плоскости, в которой лежит треугольник

ABC с вершинами А(1, 0, 3), B(2, -1, 3), C(2, 1, 1).

Для этого воспользуемся формулой (3.14) и запишем:

(x -1) × 2 - y(-2) + (z - 3)(1+1) = 0, 2x - 2 + 2y + 2z - 6 = 0,

x + y + z - 4 = 0.

3.2.1.2. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Определение 3.27. Вектор nα , перпендикулярный плоскости α, называется

является основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат на эту плоскость.

Плоскость α проходит через точку Р, а её вектор нормали nα = OP = (4,− 3, 12). Применяя теорему 3.7, получим искомое уравнение

4(x - 4) - 3( y + 3) +12(z -12) = 0, 4x - 3y +12z -169 = 0.

62

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.2.1.3.Уравнение плоскости по двум точкам и направляющему вектору

Определение 3.28. Вектор aα = (a1,a2 ,a3 ) называется направляющим вектором плоскости α , если он принадлежит этой плоскости или

плоскости, ей параллельной.

Пусть плоскость α проходит через точки M1 (x1, y1, z1) и M 2 (x2 , y2 , z2 ), а вектор aα = (a1 , a2 , a3 ) − её направляющий вектор. Предположим, что векторы

Пример. Составим уравнение плоскости α , проходящей через две точки

(x − 2)(1− 8) − y(1−12) + (z +1)(−2 + 3) = 0,

−7(x − 2) +11y + (z +1) = 0,

−7x +14 +11y + z +1= 0,

−7x +11y + z +15 = 0.

3.2.1.4.Уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам

Пусть неколлинеарные векторы aα = (a1 , a2 , a3 ) и bα = (b1 , b2 , b3 )− направляющие векторы плоскости α, а точка M1 (x1, y1, z1)α. Тогда для произвольной точки M (x, y, z) , принадлежащей плоскости α, векторы

63

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

aα , bα , M1M компланарны. Рассуждая аналогично тому, как это сделано в двух предыдущих подпунктах, получим уравнение плоскости α :

Определение 3.29. Уравнение (3.16) называется уравнением плоскости в отрезках.

Геометрический смысл чисел a, b и c состоит в том, что они

являются абсциссой, ординатой и аппликатой точек пересечения этой плоскости с соответствующими координатными осями.

Следует отметить, что не каждую плоскость можно представить уравнением в отрезках, например, плоскости, параллельные координатным осям или координатным плоскостям, а также проходящие через начало координат, нельзя.

3.2.1.6. Расстояние от точки до плоскости

Определение 3.30. Расстоянием d = ρ(Mo ,α ) от точки Mo до плоскости α называется длина перпендикуляра, проведённого из точки M o к плоскости

α.

Теорема 3.8. Расстояние d = ρ(M o ,α ) от точки M o (xo , yo , zo ) до плоскости α с общим уравнением (3.13) вычисляется по формуле

d = A× xo + B × yo + C × zo + D . A2 + B2 + C2

Пример. Даны координаты вершин треугольной пирамиды А(1, 0, 3), В(2, -1, 3), С(2, 1, 1), D(1, 2, 5). Вычислим длину пирамиды, проведённой из вершины D.

64

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Воспользуемся теоремой 3.8. Для этого составим уравнение плоскости АBC и найдём расстояние ρ(D,(ABC)) до неё от точки D.

Уравнение плоскости ABC составим, воспользовавшись формулой

(3.14):

3.2.1.7.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть плоскости α и β заданы своими общими уравнениями:

α : A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и β : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Определение 3.31. Углом ϕ между двумя плоскостями α и β называется

α

Рисунок 19. Угол между плоскостями

Очевидно, что угол ϕ связан с углом ϕ1 одним из соотношений:

ϕ = ϕ1 или ϕ = 180o - ϕ1,

Следовательно, cosϕ = ± cosϕ1.

Угол между векторами нормали nα = (A1, B1,C1) и nβ = (A2 , B2 ,C2 ) найдём с помощью скалярного произведения (см. п. 2.4):

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

65

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Выбор знака дроби зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

На основе формулы (3.17) можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Сформулируем их в следующей теореме.

определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в системе координат удовлетворяют уравнению:

f (x, y, z) = 0,

называемому уравнением линии в пространстве.

В пространстве, в отличие от плоскости, линия может быть определена и другим способом: её можно рассматривать как множество точек пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Определение 3.31. Пусть F(x, y, z) = 0 и G(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии γ . Тогда система двух уравнений

ìF(x, y, z) = 0, γ : íîG(x, y, z) = 0

называется уравнением линии γ в пространстве.

Далее рассмотрим прямую, а также различные способы записи уравнений прямой в пространстве.

3.2.2.1. Уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Рассмотрим в пространстве некоторую прямую l и её направляющий вектор al = (a1, a2 , a3 ), который будем понимать по аналогии с плоским

случаем и в соответствии с определением 3.6. На прямой l выберем две точки – точку M o (xo , yo , zo ) с фиксированными координатами и точку M (x, y, z)

с текущими координатами (рис. 20).

66

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

z

Mo

ro r

x

Рисунок 20. Прямая l в пространстве

Если в уравнении (3.18) перейти к координатам, то получим уравнения

вида

Определение 3.32. Уравнение (3.18а) называется параметрическим уравнением прямой l в векторной форме. Уравнения (3.18б) называются параметрическими уравнениями прямой l в координатной форме.

Преобразовав систему уравнений (3.18б) и приравняв значения параметра t , получим уравнения прямой l в виде:

Определение 3.33. Уравнения (3.19) называются каноническими уравнениями прямой l.

Определение 3.34. Направляющими косинусами прямой l называются косинусы, которые могут быть вычислены через координаты направляющего вектора этой прямой по формулам:

67

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Числа a1, a2 , a3 называются угловыми коэффициентами прямой l .

Очевидно, что a1 : a2 : a3 = cosα : cosβ : cosγ .

3.2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Если на прямой l в пространстве выбрать две произвольные точки

Решая совместно последние уравнения, получим:

Определение 3.35. Уравнения (3.20) называются уравнениями прямой l, проходящей через две точки.

3.2.2.3. Общие уравнения прямой

Уравнение прямой l может быть рассмотрено как уравнение линии

В соответствии с определением 3.31 уравнения прямой l в этом случае

будут иметь вид

Определение 3.36. Уравнения (3.21) называются общими уравнениями прямой l.

Направляющий вектор прямой l, заданной общими уравнениями

(3.21), может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Пример. Составим канонические уравнения прямой, заданной общими

уравнениями

68

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ì2x - y + 3z -1 = 0, íî5x + 4y - z - 7 = 0.

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:

x= y - 2 = z -1.

-11 17 13

3.2.2.4.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть в пространстве заданы две прямые l и m своими параметрическими уравнениями, записанными в векторной форме:

l : r = r1 + t × al , m : r = r2 + t × am ,

где r = (x, y, z), r1 = (x1, y1 , z1 ), r2 = (x2 , y2 , z2 ), al = (a1l , a2l , a3l ), am = (a1m , a2m , a3m ).

Угол ϕ между прямыми l и m будем понимать в соответствии с определением 3.8. Угол ϕ и угол ϕ1 между направляющими векторами al и am этих прямых, выраженные в градусах, связаны друг с другом одним из

равенств

ϕ =ϕ1 или ϕ =180o -ϕ1.

Следовательно, cosϕ = ± cosϕ1.

Угол между направляющими векторами al = (a1l , a2l , a3l ) и am = (a1m , a2m , a3m ) найдём с помощью скалярного произведения (см. п. 2.4):

Таким образом, угол между прямыми l и m находится по формуле:

Выбор знака дроби зависит от того, какой угол между прямыми следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

69

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

С помощью формулы (3.22) можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Сформулируем их в следующей теореме.

Теорема 3.10. Справедливы утверждения

1. Для того чтобы прямые l и m были перпендикулярны необходимо и

достаточно выполнения равенства

a1l × a1m + a2l ×a2m + a3l × a3m .

2. Для того чтобы прямые l и m были параллельны необходимо и

достаточно выполнения равенств

a1l = a2l = a3l . a1m a2m a3m

3.2.3. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Определение 3.37. Углом между прямой l и плоскостью α называется угол θ между прямой l и её ортогональной проекцией m = прα l на плоскость

α (рис. 21).

nα al

ϕ l

αϕ

θ

m = прα l

Рисунок 21. Угол между прямой l и плоскостью α

Пусть плоскость α задана уравнением Ax + B y + C z + D = 0, а прямая l - параметрическим уравнением, записанным в векторной форме, r = ro + t × al . Из геометрических соображений (см. рис. 21) видно, что угол θ = 90o - ϕ, а ϕ − угол между вектором нормали nα и направляющим вектором al . Этот угол может быть найден с помощью формул:

В координатной форме выражение для вычисления угла между прямой и плоскостью примет вид:

70

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com