1 Оптика Задачи

зы. Найти радиус кривизны линзы, если радиус четвертого светлого кольца в проходящем свете равен 2·10-3 м. Ответ: 2 м.

44)В установке для наблюдения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено водой. Установка освещается монохроматическим светом с длиной волны 600 нм, падающим нормально поверхности линзы. Радиус кривизны линзы – 1,5 м. Определить показатель преломления воды, если радиус третьего светлого кольца в отраженном свете ра-

вен 1,3·10-3 м. Ответ: 1,32.

45)Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона равно 2,7·10-3 м. Радиус кривизны линзы – 1,5 м. Наблюдение проводится в отраженном свете. Найти длину волны монохроматического света, падающего нормально на установку. Ответ: 608 нм.

46)Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 550 нм, падающим нормально поверхности линзы. Найти радиус кривизны линзы, если расстояние между четвертым и девятым светлыми кольцами в проходящем свете равно 8,1·10-4 м. Ответ: 1,2 м.

47)В установке для наблюдения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено бензолом. Показатель преломления стекла – 1,5, показатель преломления бензола – 1,6. Установка освещается монохроматическим светом, падающим нормально поверхности линзы. Найти расстояние между девятым и пятым светлыми кольцами в проходящем свете, если расстояние между четвертым и вторым темными кольцами в отраженном свете равно 4·10-4 м. Ответ: 0,5 мм.

2. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН

2.1.Дифракция Френеля на круглом отверстии

2.1.1.Основные формулы и обозначения

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля монохроматическое излучение точечного источника S (рис. 7) можно заменить излучением воображаемых источников, расположенных на волновом фронте P радиусом a. Поверхность P разбивается на кольцевые зоны Френеля так, чтобы расстояния от краев соседних зон до точки наблюдения M отличались на / 2. Пусть O – точка пересе-

21

чения поверхности P с линией SM , тогда a SO – расстояние от источника S до поверхности P , b OM – расстояние от поверхности до точки наблюдения. При b амплитуда волн, приходящих в точку M от зон, медленно убывает с увеличением расстояния до зоны (т. е. с ростом номера зоны k ):

Радиус k -й зоны Френеля при малых k

rk abk a b . (11)

Если b a , то волновой фронт в точке наблюдения можно считать плоским, а выражение (36) принимает вид:

ческой волны поставить непрозрачную преграду с круглым отверстием так,

rотв rk b a – по формуле (12). Дифракционная картина на экране симметрична относительно точки M и состоит из концентрических чередующихся светлых и темных колец, число которых равно числу открытых отверстием зон

22

и в центре картины наблюдается минимум (темное круглое пятно). Если при

2.1.2. Задачи

48)Найти радиус третьей зоны Френеля, если экран с диафрагмой находится на расстоянии 10 м от точечного источника монохроматического света с длиной волны 600 нм. Экран находится на расстоянии 20 м от отверстия. От-

вет: 3,46 мм.

49)Свет с длиной волны 0,6 мкм от точечного монохроматического источника падает нормально на диафрагму с круглым отверстием радиусом 3 мм. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии, если экран находится на расстоянии 10 м от диафрагмы? Темным или светлым будет центр дифракционной картины на экране? Источник света расположен на расстоянии 10 м от отверстия. Ответ: три зоны, светлым.

50)Экран находится на расстоянии 40 м от точечного монохроматического источника света с длиной волны 500 нм. На расстоянии 20 м от источника помещен экран с диафрагмой. При каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия будет а) наиболее темным, б) наиболее светлым? Ответ: а) 3,2 мм; б) 2,2 мм.

51)Дифракционная картина наблюдается от точечного источника монохроматического излучения с длиной волны 500 нм. Посредине между источником света и экраном помещена непрозрачная ширма с отверстием диаметром 1,8 мм. Чему равно расстояние от источника до экрана, если отверстие открывает две зоны Френеля? Ответ: 3,24 м.

52)Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 4 м от точечного источника монохроматического излучения с длиной волны 600 нм. Посредине между экраном и источником света находится диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия в нем будут укладываться три зоны Френеля?

Ответ: 1,34 мм.

23

53)Точечный источник света с длиной волны 400 нм помещен на расстоянии 1 м от непрозрачной преграды с отверстием радиусом 2 мм, за которой на расстоянии 1,5 м находится экран. Сколько полностью открытых зон Френеля может наблюдаться в этих условиях? На каком расстоянии от преграды нужно расположить экран, чтобы наблюдалось минимальное из возможных число открытых зон? Ответ: 16, 10 м.

54)На расстоянии 6 м от точечного монохроматического источника света

сдлиной волны 600 нм находится экран. Посредине между экраном и источником света расположена непрозрачная ширма с отверстием радиусом 2,4 мм. Ширму медленно сдвигают на 1,5 м ближе к экрану. Сколько раз при ее перемещении в центре дифракционной картины на экране будет наблюдаться темное пятно? Ответ: один раз.

55)На круглое отверстие от точечного источника монохроматического излучения падает световая волна длиной 550 нм. При каком радиусе отверстия окажется открытой только одна центральная зона Френеля, если расстояние от точечного источника до отверстия равно 1 м, а от отверстия до точки наблюдения – 2 м? Во сколько раз надо увеличить диаметр отверстия, чтобы оказались открытыми три зоны Френеля? Ответ: 0,606 мм; 1,72.

56)Найти радиус пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта, если экран находится на расстоянии 15 м от отверстия. Длина волны падающего света – 0,4 мкм. Ответ: 5,5 мм.

57)Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус двенадцатой зоны Френеля для той же точки наблюдения. Ответ: 5,2 м.

58)На круглое отверстие радиусом 3 мм в непрозрачном экране падает параллельный пучок света с длиной волны 0,5 мкм. На каком расстоянии от экрана в центре дифракционной картины будет наблюдаться наиболее темное пятно? Ответ: 9 м.

59)На круглое отверстие диаметром 10 мм падает плоская монохроматическая волна длиной 0,614 мкм. Определить, светлое или темное пятно находится в центре дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии 20,35 м от отверстия. Ответ: светлое пятно (две зоны Френеля).

24

60) На непрозрачную преграду с отверстием радиусом 1 мм падает плоская монохроматическая волна. Когда расстояние от преграды до установленного за ней экрана равно 0,575 м, в центре дифракционной картины наблюдается максимум интенсивности. При увеличении расстояния до 0,862 м максимум интенсивности сменяется минимумом. Определить длину волны падающего света.

Ответ: 580 нм.

2.2. Дифракция Фраунгофера на щели

2.2.1. Основные формулы и обозначения

хода, поэтому не изображена на рис. 8.) В фокальной плоскости линзы на расстоянии b от щели параллельно полуплоскостям расположен экран Э. В результате дифракции Фраунгофера на экране наблюдается дифракционная картина в виде симметричных относительно щели бесконечных полос, параллельных щели. Распределение интенсивности света I на экране показано справа от него. При падении на щель монохроматического света на экране чередуются светлые и темные полосы, центральная светлая полоса наиболее яркая. При падении белого света центральная полоса белая, остальные полосы – цветные. При угле дифракции оптическая разность хода крайних лучей (рис. 9)

25

Если расстояние от центра O экрана до точки наблюдения интерференции x b, то угол дифракции мал и выполняется соотношение: sin tg x / b.

Рис. 9 Тогда точки минимума интенсивности дифракционной картины на экране

определяются условием:

где m – порядок минимума. Точки максимума определяются условием:

где m – порядок максимума (порядок дифракции). Нулевой порядок дифракции ( k 0 ) отвечает центральному максимуму, наблюдаемому при 0 0.

2.2.2. Задачи

61)На непрозрачную пластинку с узкой щелью падает нормально плоская волна с длиной 500 нм. Угол отклонения прошедших лучей, соответствующий первому дифракционному максимуму, составляет 30°. Определить ширину ще-

ли. Ответ: 1500 нм.

62)На щель шириной 2 мкм падает нормально параллельный пучок света

сдлиной волны 589 нм. Найти угол между вторыми дифракционными макси-

мумами. Ответ: 94,8°.

63)На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол отклонения прошедших лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе на экране, равен 9´. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели? Ответ: 955.

26

64)На щель шириной 12 падает нормально монохроматический свет с длиной волн . Найти углы дифракции для второго и третьего максимумов интенсивности. Ответ: 7°, 12°.

65)На щель шириной 0,1 мм падает нормально пучок монохроматического света с длиной волны 500 нм. Дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы, оптическая сила которой 5 дптр. Найти расстояние между минимумами дифракции второго порядка. От-

вет: 4 мм.

66)На щель в металлической пластине шириной 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм. За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Что наблюдается на экране, если угол дифракции равен а) 17,2 , б) 25,8 ? Ответ: а) минимум;

б) максимум.

67)На щель шириной 0,01 мм падает плоская монохроматическая волна длиной 0,55 мкм. На экране, находящемся на расстоянии 2 м от щели, наблюдают дифракционную картину. Определить расстояние между вторыми дифракционными максимумами. Ответ: 33 см.

68)На щель нормально падает пучок монохроматического света. Длина волны падающего света укладывается в ширине щели восемь раз. Какова ширина нулевого максимума в дифракционной картине, если расстояние от щели до экрана равно 1 м? Ответ: 25 см.

69)На щель шириной 0,05 мм падает нормально монохроматический свет

сдлиной волны 0,6 мкм. Определить угол между первоначальным направлением пучка света и направлением на четвертую темную полосу. Найти число зон Френеля на волновой поверхности, открываемых щелью для этого угла дифракции. Ответ: 3°.

70)Плоская световая волна длиной 500 нм падает нормально на непрозрачную плоскую преграду, в которой имеется щель шириной 0,2 мм. На расстоянии 1 м от преграды расположен экран, на котором наблюдается дифракционная картина. Найти расстояние между соседними максимумами второго и третьего порядка. Ответ: 2,5 мм.

71)На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием 2 м проектирует на экран дифракционную картину. Ширина центральной светлой полосы –

27

5 см. Во сколько раз надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой ширине последнего? Ответ: в 80 раз.

72)Каков наибольший порядок дифракционного максимума для желтой линии натрия (длина волны – 571,4 нм) при нормальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов? Ответ: 4; 9.

73)Монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм падает на длинную прямоугольную щель шириной 12 мкм под углом 45° к ее нормали. Определить угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального максимума. Ответ: 4,2.

74)Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную щель шириной 12 мкм под углом 30° к ее нормали. Определить длину волны падающего света, если угол между направлениями на центральный максимум и на первый минимум составляет 3,3°. Ответ: 650 нм.

75)Белый свет падает нормально на узкую длинную щель в непрозрачном экране. Определить ширину щели, если разность между углами дифракции, соответствующими первому максимуму для красного света (длина волны – 641нм) и второму максимуму для фиолетового света (длина волны – 400 нм), оказалась равной 0,025 рад. Ответ: 1,54 мкм.

2.3. Дифракционная решетка

2.3.1. Основные формулы и обозначения

Пусть на дифракционную решетку шириной l с числом щелей (штрихов) N и периодом d l / N падает нормально монохроматическая ЭМВ с длиной (рис. 10); xm – координата точки наблюдения интерференции на экране Э; L d – расстояние от решетки до экрана. Тогда главные максимумы дифрак-

где m – порядок главного максимума. Распределение интенсивности ЭМВ на экране показано справа от него.

28

Если на дифракционную решетку падает свет сложного спектрального состава, то на экране наблюдаются центральный максимум и совокупности спектральных линий для каждой волны.

Если угол дифракции мал, то выполняется соотношение:

sin tg x / L.

Разрешающая способность дифракционной решетки R – способность решетки создавать раздельные изображения (линии), соответствующие двум близким по длине волнам, – определяется выражениями:

2.3.2. Задачи

76)Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол 30°. На какой угол отклоняет она спектр четвертого порядка? Найти угол между спектрами четвертого порядка. Ответ: 42°; 84°.

77)На дифракционную решетку, содержащую 100 штрихов на каждый миллиметр, падает нормально монохроматический свет. Угол между спектрами третьего порядка равен 20°. Определить длину падающей световой волны. От-

вет: 579 нм.

78)Свет с длиной волны 5,3·10-7 м нормально падает на дифракционную решетку с периодом 1,5·10-6 м. Найти: 1) угол дифракции для максимума наибольшего порядка; 2) расстояние от дифракционной решетки до экрана, где

29

наблюдается спектр, если расстояние между максимумами интенсивности первого порядка равно 0,26 м. Ответ: 1) 2; 2) 0,37 м.

79)На дифракционную решетку, содержащую 500 штрихов на 1 мм, падает нормально луч белого света. Определить разность углов отклонения начала спектра второго порядка и конца спектра первого порядка, если длина волны красного света равна 0,76, фиолетового – 0,40 мкм. Ответ: 1,25°.

80)Дифракционная решетка содержит 1200 штрихов на 1 мм. На нее нормально падает параллельный пучок лучей белого света. Какой наибольший порядок полного спектра дает эта решетка? Каков угол между направлением на красную и фиолетовую линии в спектре первого порядка, расположенном с одной стороны от главного максимума? Длина волны красного света равна

7,6·10-7, фиолетового – 4,0·10-7 м. Ответ: 1; 37°.

81)На дифракционную решетку с периодом 2·10-6 м в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Какой наибольший порядок дифракционного максимума дает эта решетка для зеленого и красного света (с длинами волн 5,1·10-7 и 6,6·10-7 м соответственно)? Определить, под каким углом виден спектр первого порядка для этих волн. Ответ: 4, 3; 15°, 19°.

82)На дифракционную решетку с периодом 6 мкм нормально падает монохроматический свет. Угол между спектрами первого и второго порядка 4°36 , расположенных с одной стороны от главного максимума. Определить длину световой волны. Ответ: 481 нм.

83)На дифракционную решетку, имеющую 430 штрихов на 1 мм, падает нормально свет от натриевой горелки (длина волны – 580 нм). Найти: 1) угол отклонения трубы спектрометра, при котором наблюдается последний дифракционный максимум интенсивности; 2) порядок этого максимума; 3) расстояние между двумя максимумами первого порядка на экране, расположенном на расстоянии 3 м от решетки. Ответ: 1) 86°; 2) 4; 3) 1,55 м.

84)На крыльях жука имеется серия параллельных линий. При отражении нормально падающего света с длиной волны 560 нм крылья кажутся яркими под углом 46°. Найти расстояние между линиями на крыльях жука. От-

вет: 778 нм.

85)Белый свет с волнами длиной от 400 до 700 нм падает нормально на дифракционную решетку, имеющую 8000 штрихов на 1 см. Найти ширину

30