Линейное программирование

Произведение количества единиц продукции на цену соответствующей ей единицы продукции дает прибыль от реализации этого вида продукции. Суммируя по всем видам продукции, получим общую прибыль. План производства продукции должен быть таким, чтобы общая прибыль была максимальной, т.е.:

(50)

Мы получили прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости продукции.

Проанализируем оптимальный план с привлечением теорем двойственности. Для системы ограничений исходной задачи получим:

При подстановке известного оптимального плана в первой строчке (51) получилось равенство, следовательно, дополнительная переменная равна нулю и по теореме 8 игрек один строго больше нуля. Аналогично записано в остальных двух строчках (51).

Для системы ограничений двойственной задачи запишем:

Нам известно, что количество выпускаемой продукции первого вида равно нулю, следовательно, по теореме 8, соответствующая ей переменная должна быть больше нуля, отсюда появляется в верхней строчке (52) неравенство. Аналогично записывается в остальных строчках равенства (52).

Согласно теореме 8, в равенстве (50) в первой и второй строчке мы видим количество выпускаемой продукции первого и второго видов равное нулю. Это произошло потому, что себестоимость одной единицы, как продукции первого вида, так и продукции второго вида превышает его цену.

21

Учитывая, что объективно обусловленная оценка сырья третьего вида равна нулю (у 3 = 0), из двух последних уравнений (52) найдем объективно обусловленные оценки сырья первого и второго видов, рассматривая систему уравнений:

0,5 y1* 3y2* 6,

Сырье первого вида является более дефицитным в сравнении с сырьем второго вида (его объективно обусловленная оценка равная трем больше второй оценки). Сырье третьего вида не используется полностью по оптимальному плану, следовательно, оно недефицитное. Её объективно обусловленная оценка равна нулю.

Следует отметить, что выполняется первая теорема двойственности (теорема 7):

Прибыль при оптимальном плане равна затратам на ресурсы. Если план не оптимален, то, согласно основному неравенству двойственности, затраты превышают прибыль от реализации продукции.

Базисные переменные исходной задачи:

имеют своими коэффициентами в (51) базисные столбцы:

Если столбец запасов сырья обозначить символом В, а столбец базисных переменных (55) обозначить символом х , то получим матричное равенство:

В (58) А-1 – обратная матрица. Обратная матрица существует, поскольку исходная матрица А состоит из элементов базисного минора.

Изменяя запасы сырья в (58) мы получим изменение базисных переменных, т.е. справедливо равенство:

22

Вычислим обратную матрицу, получим:

Учитывая условие задачи, запишем столбец изменения запасов сырья:

Изменение запасов сырья повлечет изменение плана выпуска продукции

здесь для числа 31 учтена лишь целая часть. План выпуска после изменения сырья равен:

Положительное значение всех чисел в столбце (63) говорит о том, что мы остаемся в рамках исходной оптимальной программы выпуска продукции. Согласно третьей теореме двойственности, допускается некоторое изменение сырья, а, следовательно, и плана выпуска этой продукции.

До изменения сырья продукция вида В и Г выпускалась в количестве 400 и 550 единиц соответственно, после изменения будет выпускаться в количестве

350 и 581единиц.

Изменение плана выпуска привело к изменению общей прибыли на величину равную

23

В (64) с представляет собой строчку цен каждой единицы продукции вида В и Г, не используемое сырьё третьего вида не продается, поэтому третий элемент в строчке цен с равен нулю.

Общая прибыль будет равна:

Для ответа на последний пятый вопрос удобно вычислить себестоимость одной единицы продукции “Д” и сравнить её с ценой от реализации этой единицы. Сумма произведений норм затрат сырья на соответствующие объективно обусловленные оценки даст себестоимость одной единицы продукции:

Себестоимость одной единицы составляет 12 ден. ед., а цена от реализации этой единицы продукции “Д” равна 10 ден. ед., следовательно, нецелесообразно.

3. Транспортная задача.

24