teor_ver_1 (1)

В – 7

1. Эксперимент состоит в стрельбе по мишени два раза. Пусть событие А – попадание в мишень первым выстрелом, событие В – попадание в мишень вторым выстрелом. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) АВ; б) ; в) .

2. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что: а) все цифры номера различны; б) в номере нет цифр 5, 6, 9.

3. Имеется 5 билетов стоимостью по 100 рублей, 3 билета – по 300 рублей и 2 билета – по 500 рублей. Наугад берутся 3 билета. Определить вероятность того, что все 3 билета стоят 700 рублей.

4. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,5 и 0,6. Найти вероятность того, что у первого будет попаданий больше, чем у второго.

5. В магазин поступили лампочки с трех заводов изготовителей. 800 с первого, 1000 со второго, 1200 с третьего. Вероятность того, что лампа, изготовленная первым заводом, перегорит, в течение первого часа работы, равна 0,08, вторым – 0,1, третьим – 0,15. Какова вероятность того, что купленная лампа сгорит в течение первого часа работы?

6. Для передачи сообщения по телеграфу используют сигналы «точка» и «тире». Свойства помех таковы, что искажают 2/5 сигналов «точка» и 1/3 сигналов «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. При приеме сигнала был принят сигнал «точка». Какой из сигналов вероятнее всего передавался?

7. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях равно два раза выпадет по три единицы.

8. Вероятность выхода из строя за время Т конденсатора 0,2. Определить вероятность тог, что за время Т из 100 конденсаторов, работающих независимо, выйдут из строя: а) от 14 до 26 конденсаторов; б) ровно 30.

9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут три негодных изделия.

10. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открытии замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа опробований.

11. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	-4	1	2			-13	2
    	р	0,2	0,3			0,8	0,2

12. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

13. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 100мм, фактическая изготовленных деталей не менее 64мм и не более 136мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 110мм.

В – 8

1. Пусть два баскетболиста по очереди бросает мяч в корзину до первого попадания, но не более чем по три броска. Выигрывает тот, кто первый забрасывает мяч. Событие А_к – первый баскетболист попадает при своем к-ом броске, В_к второй баскетболист попадает при своем к-ом броске. А – выигрывает первый баскетболист, В – выигрывает второй баскетболист. Первый баскетболист бросает первым. Определите состав множества элементарных исходов и запишите события А и В в алгебре событий.

2. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры номера различны. Какова вероятность угадать номер телефона, если известно, что среди его цифр нет 0, 3, 5, 7, 9?

3. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в одной пачке не будет ни одного туза, а в другой – все четыре.

4. Студенты Леонидов и Малиновский играет три партии в шахматы. Вероятности выигрыша в одной у каждого из них соответственно равны 0,3 и 0,2, вероятность ничьей равна 0,5. Какова вероятность выиграть матч студентам Малиновским?

5. На трех станках изготавливается 10% всех деталей, на втором – 30%, на третьем – 60%. Для каждой детали вероятность быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – на втором, 0,9 – на третьем. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бездефектной.

6. В партии 5 радиоприемников первого класса, 7 радиоприемников второго класса и 3 радиоприемника третьего класса. Вероятность, что радиоприемник проработает заданное количество часов для приемников первого, второго и третьего, классов равна соответственно 0,4, 0,2, 0,1. Наудачу выбранный приемник проработал заданное число часов. Какова вероятность того, что это был приемник первого класса?

7. Известна вероятность р=0,9 успешного запуска управляемого снаряда. Найти вероятность того, что из 10 запусков будет, по меньшей мере, 9 успешных.

8. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что из 500 наугад купленных билетов: а) не менее 48 и не более 55 безвыигрышных, б) проигрышных половина.

9. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=0,0005.Найти вероятность того, что за время Т откажет не более трех элементов.

10. Вероятность промышленного содержания никеля в каждой пробе руды равна 0,03. Исследованию подлежит 5 проб. Составить закон распределения числа проб с промышленным содержанием никеля. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.

11. Х и У – независимые случайные величины ,заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределеней и на оснавании свойств математического ожидания и дисперсии.

    	-1	2	4			-1	3
    	р	0,4	0,1			0,3	0,7

12. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е).

13. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Цена деления шкалы амперметра 0,5А. Показания округляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка не более 0,1А.

В – 9

1. В урне 2 черных, 3 красных и 1 белый шар. Пусть событие - на удачу вынули i –й черный шар, –на удачу вынули j –й красный шар, С –на удачу вынули белый шар. Вынули два шара. Выразить в алгебре событий. Следующие события: -оба шара разные; - один шар белый, другой красный; –оба черные.

2. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждые из которых разделен на 10 секторов, отмеченных подряд идущими натуральными числами. Замок открывается только в том случае, когда цифры образуют определенную комбинацию. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр? Какова вероятность открыть замок, если известно, что кодовая комбинация не содержит цифр 2, 4, 6, 8 и цифры не повторятся?

3. В зале насчитывается 20 мест, случайным образом занимают места 10 человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные 7 мест.

   Выход из строя за время t элементов электрической цепи – независимые события, имеющие соответственно следующие вероятности: Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

4. Вероятность быть избранным в Простоквашенскую Думу у дяди Федора равна 0,5, у кота Матроскина 0,8, у почтальона Печкина 0,7. Пес Шарик безграмотный, поэтому он голосует на удачу. Какова вероятность того, что изберут того кандидата, за которого проголосовал Шарик.

5. Имеется два одинаковых ящика с деталями. В первом ящике 8 стандартных и 2 нестандартных детали, во втором – 5 стандартных и 3 нестандартных детали. Из каждого ящика на удачу извлечено по одной детали, а затем из этих двух вновь на удачу выбрана деталь и она оказалось стандартной. Из какого ящика вероятнее всего была извлечена деталь?

6. Спортсмен выполняет семь бросков мячом по корзине. Вероятность попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,6. Найти вероятность того, что спортсмен попадает в корзину не менее шести раз.

7. Испытание подогревается партия, насчитывающая 100 транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить вероятность того, то во время испытаний откажет: а) менее половины транзисторов; б) ровно 10 транзисторов.

8. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что будет искажено не более трех знаков.

9. Составлять закон распределения числа попадания в цель, если произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа попаданий.

10. Х и У – независимые случайные величины ,заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределеней и на оснавании свойств математического ожидания и дисперсии.

    	1	2	4			3	4
    	0,2	р	0,5			0,8	0,2

11. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е).

    Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в)

12. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы показывают время, которое отличается от истинного более, чем на 10 секунд, если минутная стрелка электрических часов перемещается скачкообразно в конце каждой минуты.

В – 10

1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножествами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событий А, В, С запишите такие события: а) произошло одно и только одно из данных событий; б) произошло только событие С из данных событий; в) не произошло ни одного из данных событий.

2. В конверте среди 100 фотокарточек, находятся две разыскиваемые, на одной мать, на другой – сын. Следователь на удачу извлекает последовательно фотокарточки без возвращения. Найти вероятность того, что на первой из извлеченных фотокарточек будет мать, а на второй сын, если а) было извлечено два фотоснимка, б) пять фотоснимков.

3. Из девяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди пяти на удачу взятых билетов два выигрышных.

4. В пистолетах у дуэлянтов по 6 патронов. Первый начинающий попадает в своего противника с вероятностью 0,3, второй попадает в противника с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что первый останется жив.

5. При отклонении от нормального режима работы автомата сигнализатор С-1 срабатывает с вероятностью 0,3, сигнализатор С-2 –с вероятностью 0,7, сигнализатор С-3 – с вероятностью 0,9. Вероятность того, что автомат укомплектован сигнализатором С-1 равна 0,2, сигнализатором С-2 – 0,3, сигнализатором С-3 – 0,5. Найти вероятность того, что при выходе автомата из строя сигнал будет получен.

6. Имеется три сорта пшеницы-3 кг – одного сорта,2 кг – другого, 1 кг – третьего. Всхожестью обладают 70% семян первого сорта, 80% - второго,90% - третьего. Все семена были ссыпаны в один мешок. На удачу взятое зерно проросло. Какова вероятность того, что это было семечко первого сорта?

7. В студии телевидения пять телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность того ,что она включена в данный момент , равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включено не менее четырех камер.

8. Монета подбрасывается 200 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) не менее 95 и не более 105 раз, б) ровно 50 раз.

9. В таблице случайных чисел цифры сгруппированы по две. Найти вероятность того, что среди ста пар 09 встретится не менее двух раз.

10. Четыре студента повторно переписывают контрольную работу. Вероятность того, что первый студент перепишет равна 0,95, второй – 0,8 третий – 0,75, четвертый – 0,5. Составить закон распределения числа студентов, которые перепишут контрольную работу. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.

11. Х и У – независимые случайные величины, заданны таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б) ряды распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойств математического ожидания и дисперсии.

    	-8	2	3			2	8
    	0,4	р	0,5			0,3	0,7

12. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е).

13. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, имеющей плотность распределения

В – 11

1. Производится наблюдение за группой, состоящей из 4 однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно один из 4 объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д - обнаружено ровно два объекта; Н – обнаружены все 4 объекта. В чем состоят события: а) АВ; б) ; в) ВН? Совпадают ли события ВС и Д?

2. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что а) все цифры номера различны, б) в номере нет цифр 0, 1, 2, 5.

   Выход из строя за время Т элементов электрической цепи - независимые события, имеющие соответственно следующие вероятности: р1=0,2, р2=0,25, р3=0,3, р4=0,1, р5=0,4. Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

3. Для поражения цели достаточно трех попаданий, при двух попаданиях вероятность поражения цели равна 0,6, при одном попадании – 0,3. Какова вероятность поразить цель, если три охотника стреляют залпом, первый охотник попадает с вероятностью 0,8, второй – 0,7, третий – 0,4.

4. Детали, выпускаемые цехом, с вероятностями, равными 0,2, 0,3, 0,5 поступают одному из трех контролеров, вероятность обнаружить брак для каждого из которых равна соответственно 0,7, 0,9 и 0,5. Случайно взятая из числа проверяемых деталь оказалась бракованной. Вероятнее всего какой из контролеров обнаружил брак?

5. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что в семье из 5 детей не более двух мальчиков.

6. Вероятность появления события в некотором опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится: а) в большинстве из 60 опытов; б) в половине опытов.

7. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если она наступает при отказе хотя бы одного из элементов.

8. В лотерее из 100 билетов разыгрываются три вещи, стоимость которых 1500, 200 и 600 рублей. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего два билета. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.

9. Х и У – независимые случайные величины, заданны таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б) ряды распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойств математического ожидания и дисперсии.

   	-3	1	6			-2	1
   	0,	р	0,5			0,7	0,3

10. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е).

11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

12. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, превосходящей по абсолютной величине 5г.

13. Цена деления шкалы амперметра 0,2 А. Показания округляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, меньшая 0,03 А.

В– 12

1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие: А₁ – появление четного числа очков; А₂ – появление двух очков; А₃ – появление четырех очков; А₄ – появление шести очков. Докажите на вероятностном языке и на теоретико-множественном языке, что а) А₂А₃=Ø; б) в) .

2. 10 вариантов контрольной работы распределяются случайным образом среди 5 студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятность того, что: а) варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными; б) варианты с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.

3. Имеется 5 билетов стоимостью по 100 рублей, 3 билета по 300 рублей и два билета по 500 рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

4. Три стрелка, вероятность попадания которых при одном выстреле в мишень соответственно равны: 0,8, 0,7, 0,6 делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины.

5. Иван-Царевич подъехал к развилке дорог. На камне он прочитал: налево поедешь – женатому быть с вероятностью 0,6, прямо поедешь – женатому быть с вероятностью 0,4, направо поедешь – женатому быть с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что Иван-Царевич останется холостым, если дорогу он выбирает наудачу.

6. На сборку поступило 3000 деталей, изготовленных первым автоматом, 2000 деталей – вторым. Первый автомат делает 0,2% брака, второй – 0,3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Вероятнее всего какой из автоматов изготовил ее?

7. Вероятность отказа локомотива на линии за время полного оборота составляет 0,01. Найти вероятность того, что в 8 поездок произойдет не более двух отказов локомотива на линии.

8. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А наступит: а) точно 220 раз; б) менее 240 и более 180 раз.

9. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 секунд, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова.

10. Составить закон распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) числа попаданий мячом в корзину.

11. Х и У – независимые случайные величины, заданны таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б) ряды распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойств математического ожидания и дисперсии.

    	2	3	5			-1	1
    	0,2	р	0,2			0,3	0,7

12. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е).

13. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Цена деления школы измерительного прибора 0,1. Показания округляются до ближнего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, меньшая 0,03.