L05-Релятивистская механика

будем иметь в виду, что при малых скоростях (V << c)

релятивистское выражение для импульса должно

переходить в ньютоновское выражение

al

p = mv = m

dr

→

i

dt

n

p =

mv

t

de

p = m v

Такое выражение следующее

v2

1− c2

i

Его можно объяснить и так – импульс как и в

ньютоновской механике

rf, но масса не

инвариантна и зависит от скорости по закону

mr =

m

C

1−

v2 , где m – массаonпокоя, а

c2

y

mr – релятивистская масса.

§ 43. Релятивистские выражения для силы и

энергии

m

Второйpanзакон Ньютона гласит, что производная

o

C

импульса частицы (материальной точки) по времени

p =

mv

i

al

Соотношение ma = F

t

- в релятивистском случае

n

неприменимо, а ускорение и сила в общем случае не

коллинеарны.

i

de

Формулы преобразований компонентf силы

следующие:

on

( β = vo/c, v' — скорость частицы в системе К').

C

Если в системе Кy' действующая на частицу сила F'

перпендикулярна к скорости частицы v', скалярное

произведение F'V' равно нулю и первая из этих

формул упрощается:

pan

m

o

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии,

Cумножим релятивистский второй закон Ньютона на

кинетической энергии частицы. Следовательно, левая

часть соотношения должна быть истолкована как

al

приращение кинетической энергии Т частицы за

время dt. Таким образом,

i

t

n

Интегрирование полученного соотношения и выбор

константы интегрирования выполняется с учетом

f

того, что кинетическая энергия должна обращаться в

нуль при v=0. Отсюда для константыideполучается

значение, равное −mc2

on

и тогда релятивистское

выражение для кинетической энергии частицы имеет

вид

C

y

pan

В случае малых скоростей (v<< c) выражение можно

переписать

m

o

Это ньютоновское выражение для кинетической

энергии частицы. Этого и следовало ожидать,

поскольку при скоростях, много меньших скорости

света, все формулы релятивистской механики должны

Cпереходить в соответствующие формулы

ньютоновской механики.

приписать свободной частице, кроме полученной

кинетической энергии, дополнительную энергию,

равную

al

i

t

Таким образом, полная энергия свободной частицы

de

2

определяется выражением Е=Т+Е0=Т+mcn.

Тогда, получим, что

i

f

При V=0 это выражение переходит в

Поэтому Е0

C

называют энергиейonпокоя. Эта энергия

y

представляет собой внутреннюю энергию частицы, не

связанную сдвижением частицы как целого.

pan

Полученные формулы справедливы не только для

частицы, но и для сложного тела, состоящего из

многих частиц. Энергия Ео такого тела содержит в

себе, помимо энергий покоя входящих в его состав

частиц, также кинетическую энергию частиц

(обусловленнуюm

их движением относительно центра

oмасс тела) и энергию их, взаимодействия друг с

C

другом. В энергию покоя, как и в полную энергию, не

В случае, когда р<<mc, эту формулу можно

представить в виде

i

al

Заметим, что Ньютоновское выражение для

t

mv

2

2

кинетической энергии равно T =

=

pn

2m

2

Полезна также формула

i

de

f

Интересен сформированный из полученных формул

инвариант, т. е. величину, onне изменяющуюся при

преобразованиях Лоренца:

C

y

(напомним, что масса m и скорость с являются

инвариантными величинами).

§ 44. Преобразованияpan

импульса и энергии

Полнаяmэнергия Е и импульс р не являются

o

C

инвариантами. Действительно, обе величины зависят

от V, скорость же в различных системах отсчета

al

i

t

n

de

Из сопоставления формул следует, что компоненты

импульса ведут себя при преобразованиях как

i

координаты, а энергия - как время.

m

f

on

§ 45. Взаимосвязь массы и энергии

C

Воспользовавшись релятивистской массой

mr =

y

v2

1− c2

pan

формулу

m

можно написать в виде

Отсюда вытекает, что энергия тела и его

oрелятивистская масса всегда пропорциональны друг

другу. Всякое изменение энергии тела ΔЕ

Cсопровождается изменением релятивистской массы

тела mr=ΔЕ/с2 и, наоборот, всякое изменение

релятивистской массы

mr сопровождается

изменением энергии тела ΔЕ = с2 mr

энергией приводит к тому, что утверждение о

al

сохранении суммарной релятивистской массы частиц

i

представляет собой сказанное иными словами

утверждение о сохранении суммарной полной

n

энергии. В связи с этим не принято говоритьtо законе

de

сохранения релятивистской массы как об отдельном

законе.

f

В противоположность релятивистскойi

массе

суммарная масса покоя системы взаимодействующих

частиц не сохраняется.

C

Например: Работа атомныхonэлектростанций

y

основывается на цепной реакции деления ядер урана

(или плутония) при захвате медленных нейтронов).

Деление осуществляется разными путями. Один из

них выглядит следующим образом:

m

Захвативpanнейтрон, ядро урана распадается на ядро

o

C

цезия с массовым числом 140 и ядро рубидия с

§ 46. Частицы с нулевой массой

i

al

Положив в формуле для полной энергии

t

n

m равной нулю, получим соотношение

Е = ср,

i

de

которое согласуется с формулойfдля импульса

только при условии, что v on= c. Отсюда следует, что

частица с нулевой массой всегда движется со

C

скоростью света в вакууме. Это световая частица или

фотон.

y

Энергия фотона определяется формулой

pan

где h - постоянная Планка, ν —частота света. Фотон

обладает импульсом

m

o

C

проявляется в виде давления, оказываемого светом на

тело. Световое давление измерил Лебедев в 1900 г.

al

Результаты измерений оказались в полном согласии с

теорией.

i

n

Общая теория относительности (ОТО) представляетt

de

собой релятивистскую теорию гравитации. В случае

слабых гравитационных полей и малых скоростей

ОТО переходит в ньютоновскую теорию (в закон

всемирного тяготения). Фотон движетсяi

со скоростью

f

с; поэтому формулы ньютоновской теории к нему

неприменимы.

Согласно ОТО воздействиеonгравитационного поля на

частицу определяется ее энергией и импульсом, а не

C

массой. Поэтому, хотя фотон и безмассовая частица,

y

он подвержен действию гравитационных полей.

Для случая, когда фотон движется вдоль линий

гравитационного поля, результаты ОТО совпадают с

результатами, получающимися в ньютоновской

теории дляpanчастицы с массой m = hν/c2.

m

Однако в случае, когда фотон движется «поперек»

o

C

поля, результаты ОТО и ньютоновской теории резко

расходятся, причем с экспериментом согласуются

Фотоны, приходящие на Землю от Солнца, движутся

вдоль линий гравитационных полей. В поле Солнца

силы тяготения совершают над фотоном

отрицательную работу, в поле Земли работа сил поля

положительна.

al

i

Однако поле Солнца намного сильнее поля Земли.

n

Поэтому в сумме совершаемая над фотономtработа

de

отрицательна, что приводит к уменьшению энергии

фотона. Уменьшение энергии сопровождается

уменьшением частоты света. Это уменьшение носит

f

название гравитационного красногоiсмещения

on

(частота красного света меньше, чем фиолетового).

C

y

pan

m

o

C