L03-Динамика, законы сохранения

N

p&1 = F12 + ...+ F1N + F1

= åF1k + F1

k =2

N

p&2

= F21 + ...+ F2 N + F2

= å F2k + F2

k =1,(k ¹2)

. . . . . . . . .

al

N

p&N = FN1 + ...+ FN ,N -1 + FN = åFNk + FN

i

k =1

Складывая почленно эти N уравнений и учитывая, что

F12 + F21 = 0 и

n

т. д. справа останутся толькоtвнешние

силы

d

de

N

(p1 + p2 +...+ pN ) = F1

+ F2 + ... + FN =

åFi

dt

i

i=1

Сумма

импульсов

частиц системы называется

импульсом системы

on

f

N

N

p = åpi = åmi vi

C

i=1

i=1

Импульс является аддитивной величиной.

y=

F

pan

N

Из записи

dp

å i следует, что при отсутствии

dt

i=1

внешних

сил

dp

= 0 ,

т.е.

для замкнутой

системы

dt

m

импульс постоянен. Это закон сохранения

импульса:

импульс

замкнутой

системы

материальных точек остается постоянным. Этот закон

oсправедлив не только в рамках классической

механики. Он является фундаментальным законом

Cприроды.

dpx

N

i

= åFxi

dt

i=1

al

t

Центром масс (инерции) системы называется точка С,

n

положение которой задается радиусом-вектором

m1r1 + m2r2

+...+ mN rN

m r

å

m r

iå i i

i i

rc

=

=

de=

m1 + m2 +...+ mN

f

m

åmi

В однородном поле сил тяжести центр масс совпадает

с центром тяжести системы.

on

C

Импульс системы частиц – произведение суммарной

массы частиц на скорость центра масс системы

p = mvc

y

Скорость центра масс

å

m r&

å

m v

i

p

i i

i

vc

= r&c

pan=

=

=

m

m

m

m

Поскольку для замкнутой системы p = mvc = const ,

o

C

то центр движется прямолинейно и равномерно или

неподвижен.

§ 29. Центральный удар шаров

Примером

применения

законов

сохранения

количества

движения

и

энергии при

решении

al

реальной физической задачи является удар абсолютно

упругих и неупругих тел.

i

n

При соударении тел друг с другом они претерпеваютt

de

деформации. При этом кинетическая энергия, которой

обладали тела перед ударом, частично или полностью

переходит

в потенциальную энергию

упругой

f

деформации и в так называемуюi

внутреннюю

энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел

сопровождается повышением их температуры.

C

Существуют два предельныхonвида удара: абсолютно

y

упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим

называется

такой удар,

при котором

механическая

энергия тел не переходит в другие, немеханические,

виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия

переходит полностью или частично в потенциальную

m

упругой

деформации.

Затем

тела

энергию

возвращаютсяpanк первоначальной

форме, отталкивая

o

друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой

C

переходит

в

кинетическую

деформации снова

ударе выполняется лишь закон сохранения импульса,

i

al

закон же сохранения механической энергииt

не

соблюдается — имеет место

закон сохранения

n

суммарной энергии различных видов —механической

и внутренней.

i

de

f

Рассмотрим вначале абсолютно

неупругий удар.

как и до удара:

C

m1v10 + m2 v20

+ m2 )v

= m1v

+ m2 v = (m1

Отсюда следует

y

v =

m1v10 + m2 v20

одинаковая скорость частиц

m1

+ m2

pan

после удара.

m

o

al

i

t

Обозначим скорости

n

и v2.

шаров после удара v1

de

Напишем уравнения сохранения импульса и энергии:

i

f

Преобразуем первое уравнение следующим образом:

C

+ b)(a − b)

Учтя

формулу

(a2 − b2 ) = (a

второе

on

y

уравнение перепишем в виде

pan

Все векторы здесь коллинеарны, поэтому получаем из

последних

выражений

и

далее

m

скорости шаров после удара

o

C

Отметим, что скорости шаров после абсолютно

упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом

al

деле, приравняв друг другу выражения для v1 и v2

i

получим: v10 = v20. Следовательно, для того чтобы

скорости шаров после удара оказались одинаковыми,

необходимо, чтобы они были

n

одинаковымиtи до

de

удара, но в этом случае соударение не может

произойти. Отсюда следует, что условие равенства

скоростей шаров после удара несовместимо с законом

f

сохранения энергии.

i

Когда массы соударяющихся шаров равны, то шары

C

при соударении обмениваются скоростями. В

частности, если один

из onшаров одинаковой массы,

y

например второй, до соударения покоится, то после

удара он движется с такой же скоростью, какую имел

первоначально первый шар; первый же шар после

удара оказывается неподвижным.

m

С помощью полученных формул можно определить

скоростьpanшара после упругого удара о неподвижную

o

стенку

(которую можно

или движущуюся

C

рассматривать как шар бесконечно большой массы).,

изменяется также величина скорости шара (возрастает

на удвоенную скорость стенки, если стенка движется

al

навстречу шару, и убывает на удвоенную скорость

стенки, если стенка «уходит» от

i

ее

догоняющего

шара).

t

n

de

§ 30. Закон сохранения момента импульса

Найдем

третью

аддитивную

сохраняющуюся

величину.

f

Рассмотрим систему,iсостоящую из двух

on

взаимодействующих частиц, на которые действуют

также внешние силы. Уравнения движения

следующие

m1v&1 = F12 + F1 и m2 v&2 = F21 + F2

y

Векторно умножаем ихC, соответственно, на r1 и r2:

pan

×F1

m1r1 × v&1 = r1 ×F12 + r1

m2r2 × v&2 = r2 ×F21 + r2 ×F2

Поскольку

d

r× v = r × v& + r& × v = r × v& ,

то

m

dt

o

1

d

r1

× v1 = r1 ×F12 + r1

×F1 и m2

d

r2 × v2 = −r2 ×F12 + r2 ×F2

C

dt

dt

что mv = p , тогда

Сложим эти уравнения и учтем,

получим

d

(r1 ×p1 + r2

×p2 ) = r1 ×F1 + r2 ×F2

dt

Если система замкнута, то правая часть равна нулю и

r1 ×p1 + r2 ×p2

= const

Получили

аддитивную сохраняющуюся величину

r ×p = L

al

– момент импульса относительно точки О

(см. рис.).

i

t

n

de

Это

векторная

f

сумма моментовiимпульсов частиц

on

входящих в систему: L = åLi =å ri ×pi

i

i

Определим момент силы F относительно точки О

M = r×F

y

как:

C

pan

m

o

Видно, что модуль момента силы M = rF sinα = lF ,

C

l = r sinα - плечо относительно точки О.

где

d

L = åMвнешн

dt

i

Эта формула сходна формуле 2 закона Ньютона

dp

N

= åFi

dt

i=1

Из

d

L = åMвнешн

видно, что

момент

импульса

dt

i

ial

t

замкнутой (в отсутствии внешних сил) системы

частиц остается постоянным. Это законnсохранения

момента импульса.

i

de

Проекция вектора L на ось Z называется моментом

f

импульса частицы или системы частиц относительно

этой оси.

on

Согласно

момента

импульса

рис. модуль вектора

C

α - длина

частицы равен L = rp sinα = lp , где l = r sin

перпендикуляраyиз точки О на прямую, вдоль которой

направлен импульс частицы, называется плечом

импульса относительно точки О.

pan

m

o

C