Иваненко Гидравлика

Для продольного касательного напряжения трения τ по боковой поверхности жидкого столба можно записать два выражения:

1)согласно закону Ньютона

τ= –µ · du/dr;

2)согласно уравнению равномерного движения (35)

τ= ρ · g ·R ·J.

Приравняв правые части этих выражений и решая относительно скорости u, получим

du = –ρ · g · R ·J · dr/2µ.

Знак «–» принят, так как мы рассматриваем сопротивление потока движению.

Интегрируя это уравнение, получаем выражение для определения скорости

u = –ρ · g ·J · R2/2µ + C.

Постоянную интегрирования С находим из следующих условий: r = r0, u = 0, т. е. скорость на стенке русла должна равняться

нулю:

Закон распределения скоростей по сечению трубы при ламинарном режиме представляет собой параболу, имеющую максимум на оси потока. Зависимость (37) носит название уравнение Стокса, по имени ее автора.

Максимальное значение скорости (r = 0) будет наблюдаться в центре трубы:

Имея выражение для максимальной скорости потока, можно выразить скорость в любой точке через максимальную скорость и положение точки в сечении потока:

Извыраженияτ=±µ(du/dr)следует,чтовеличинанапряжениясил

трения изменяется по живому сечению трубы по линейному закону

Рис. 33. Изменение скорости u и касательного напряжения τ по сечению трубопровода

(рис. 33). Его максимальное значение τmax будет у стенки трубы r = r0, а минимальное τ = 0 – в центре трубы r = 0.

Определим расход жидкости, проходящей по рассматриваемой трубе. Элементарный расход жидкости, проходящей через элементарную часть площади живого сечения в виде кольца толщиной dr, имеющего радиус r:

dQ = u · dω = u · 2π · r · dr = ρ · g · J (r02 – r2 ) 2π · r · dr / 4µ.

Интегрируя по всей площади живого сечения:

Сопоставляя выражения средней скорости и максимальной скорости, можно видеть, что в круглой трубе при ламинарном режиме движения средняя скорость v в два раза меньше максимальной umax:

v = 0,5umax.

Структура турбулентного потока

Отличительной особенностью турбулентного движения жидкости является хаотическое движение частиц и линий тока в потоке (рис. 34). Скорость в каждой точке потока постоянно изменяется как по величине, так и по направлению. Однако при этом можно наблю-

ub

Рис. 34. Движение частиц и характер линий тока в турбулентном потоке

дать и некоторую закономерность в таком движении. Если выбрать интервал времени, то окажется, что колебания скорости происходят около некоторого уровня. Этот уровень сохраняется постоянным при выборе различных интервалов времени. Такое явление носит название пульсация скоростей. Величина скорости в данной точке в данный момент времени носит название мгновенной скорости. График изменения мгновенной скорости во времени представлен на рис. 35. Если выбрать на кривой скоростей некоторый интервал времени и провести интегрирование кривой скоростей, а затем найти среднюю величину, то такая величина носит название осредненной скорости. Разница между мгновенной и осредненной скоростью называется скоростью пульсации.

Профиль осредненных во времени скоростей при турбулентном режиме движения отличается от графика скоростей при ламинарном режиме, т. е. он не параболический. Вершина профиля более широкая и средняя скорость значительно больше, как показано на рис. 36:

v ≠ 0,5 · umax.

v

vоср

t, c

Рис. 35. Пульсация скорости в турбулентном потоке

60

Рис. 36. Модель турбулентного режима движения

Если величины осредненных скоростей в различные интервалы времени будут оставаться постоянными, то такое турбулентное движение жидкости будет установившемся. При неустановившемся турбулентном движении жидкости величины осредненных скоростей меняются во времени.

Пульсация жидкости является причиной перемешивания жидкости в потоке. Интенсивность перемешивания зависит, как известно, от числа Рейнольдса, т. е. при сохранении прочих условий – от скорости движения жидкости. Таким образом, в конкретном потоке жидкости характер ее движения зависит от скорости. Для турбулентного потока это имеет решающее значение.

В периферийных слоях жидкости скорости всегда будут минимальными, и режим движения в этих слоях, естественно, будет ламинарным. Увеличение скорости до критического значения приведет к смене режима движения жидкости с ламинарного режима на турбулентный, т. е. в реальном потоке присутствуют оба режима: как ламинарный, так и турбулентный (см. рис. 36, 37). Таким образом, поток жидкости состоит из ламинарной зоны (у стенки ка-

Ядро турбулентного потока

Переходная область

Рис. 37. Сечение турбулентного потока

61

нала) и турбулентного ядра течения (в центре), а так как скорость к центру турбулентного потока нарастает интенсивно, то толщина периферийного ламинарного слоя чаще всего незначительна, и сам слой называется ламинарной пленкой, толщина которой зависит от скорости движения жидкости.

Касательные напряжения в турбулентном потоке. Полное суммарное касательное напряжение τ, возникающее в турбулентном потоке, определяют как сумму двух напряжений

τ = τв + τи,

где τв – вязкостное напряжение, вызываемое внутренним трением жидкости: τв = ± µ · (du/dr); τи – инерционное напряжение, обусловленное турбулентным перемешиванием.

Второе слагаемое создается пульсационными добавками скорости, зависимость которых от осредненных характеристик турбулентного потока до сих пор полностью не установлена. Наиболее известным является решение, полученное на основе полуэмпирической теории Прандтля, согласно которой

τи = ρ · L2 · (dv / dr)2,

где L – длина пути перемешивания.

Притурбулентномдвижениипомимопродольногодвиженияимеется еще и поперечное перемещение частиц со скоростью v′, которая называется пульсационной скоростью. Поэтому физически длину пути перемешивания можно представить как путь, который должна пройти в поперечном направлении частица жидкости относительно остальной ее массы, чтобы в результате смешения с окружающим турбулентным потоком потерять свою пульсационную составляющую скорости.

Таким образом, суммарное касательное напряжение

При большой турбулентности потока (Re >> 10 000) можно считать,чтокасательноенапряжениебудетпропорциональноплотности жидкости и квадрату градиента скорости. Если турбулентный режим характеризуется небольшими числами Re, вязкостное напряжение соизмеримо с инерционным, и полное напряжение будет пропорционально скорости в степени, несколько меньше второй.

Гидравлически гладкие и шероховатые трубы

Состояниестеноктрубывзначительноймеревлияетнаповедение жидкости в турбулентном потоке. Так, при ламинарном движении жидкость движется медленно и плавно, спокойно обтекая на своем пути незначительные препятствия. Возникающие при этом местные сопротивления настолько ничтожны, что их величиной можно пренебречь. В турбулентном же потоке такие малые препятствия служат источником вихревого движения жидкости, что приводит к возрастанию этих малых местных гидравлических сопротивлений, которыми в ламинарном потоке пренебрегают.

Величина и форма различных выступов и неровностей, имеющихся на стенках (шероховатость), зависит от материала и обработки стенок. С течением времени шероховатость изменяется от появления ржавчины, коррозии, осадков и др. В качестве основной характеристики шероховатости служит так называемая абсолютная шероховатость Δ, представляющая собой среднюю величину выступов и неровностей.

Если выступы шероховатости меньше толщины δ вязкого (ламинарного) подслоя (рис. 38), т. е. если < δ, тогда неровности стенки будут полностью погружены в этот слой, турбулентная часть потока не будет входить в непосредственное соприкосновение со стенками и потери энергии (напора) не будут зависеть от шероховатости, а будут обусловлены лишь свойствами самой жидкости. Такие трубы называются гидравлически гладкими.

Гидравлическигидравличе гладкаятруба

Ггидравлическишероховатаятруба

Рис. 38. Внутренняя поверхность трубы

Если же > δ, неровности стенок будут выступать в турбулентную область, тем самым увеличивать беспорядочность движения и существенным образом влиять на потерю энергии. В этом случае трубы называют гидравлически шероховатыми.

Такое деление условно, так как величина толщины δ вязкого (ламинарного) подслоя непостоянна и уменьшается с увеличением Re.

Следовательно, одна и та же труба (стенка) в зависимости от Re может быть и гидравлически гладкой, и шероховатой.

Для характеристики влияния шероховатости на гидравлические сопротивления в гидравлике вводится понятие относительной шероховатости ε, под которой понимают безразмерное отношение абсолютной шероховатости к некоторому линейному размеру, например, радиусу трубы: ε = / r. Иногда вводится понятие относительной гладкости: ε = r / .

На гидравлические сопротивления влияет не только абсолютное значение шероховатости, но в значительной степени и форма выступов, густота и характер их расположения. Различают стенки с равномерной (обычно используемой в лабораторных исследованиях) и неравномерной (встречающейся на практике) шероховатостью.

При гидравлических расчетах используют понятие так называемой эквивалентной шероховатости. Эта шероховатость представляет собой такую величину выступов однородной абсолютной шероховатости, которая дает при подсчетах одинаковую с действительной шероховатостью величину потери напора.

Лекция 12

Определение потерь напора по длине и местных гидравлических сопротивлений. Расчетные зависимости, коэффициенты. Классификация гидравлических систем

Потери энергии в системах (31) зависят от ряда факторов и складываются из потерь напора по длине – hl или hдл и местных потерь

напора – hм.

Потери напора по длине при ламинарном движении. Из уравне-

ния (40) находим:

Потери напора по длине при ламинарном режиме движения пропорциональны первой степени скорости.

Установим выражение для гидравлического уклона, связанного с потерями напора по длине при ламинарном режиме. Для этого разделим почленно уравнение на L – длину рассматриваемого участка, а затем умножим и поделим на 2v, получим:

где λ – коэффициент гидравлического трения, или коэффициент Дарси. Окончательно формула для определения потери напора по длине

может быть записана так (формула Дарси–Вейсбаха):

Зависимость, определяющая величину линейных потерь напора при ламинарном режиме движения, показывает, что потери напора пропорциональны первой степени средней скорости, зависят от рода жидкости, обратно пропорциональны площади сечения трубы и не зависят от шероховатости стенок трубы.

Потери напора на трение при турбулентном движении. Основ-

ной расчетной формулой для потерь напора по длине при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула Дарси–Вейсбаха (42). Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения.

При турбулентном режиме движения жидкости коэффициент λ находится по эмпирическим формулам. В общем случае коэффициент гидравлического трения зависит от числа Re и шероховатости стенок трубы или русла ∆, т. е. λ = f(Re, ∆).

Вопросу влияния различных факторов на значение λ посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ.

НаиболееполнойработойпоопределениюλбылитрудыИ.И.Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости lg (1000 λ) от lg Re для ряда значений ∆/r0. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклеивания песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рис. 39.

В области ламинарного режима (Re < 2300 или lg Re < 3,36) все опытные точки независимо от шероховатости расположились на

Рис. 39. График Никурадзе

66

одной прямой I. Следовательно, в этом случае λ зависит только от критерия Рейнольдса Re и не зависит от шероховатости.

При значениях Re от 2300 до 3000 λ быстро возрастает с увеличением Re, оставаясь одинаковым для различных значений шероховатости.

В области турбулентного режима (lg Re > 3,48, т. е. Re > 3000) начинает сказываться влияние шероховатости, при этом, чем больше шероховатость, тем выше значение λ для одних и тех же чисел Re.

Для труб с большой шероховатостью λ постепенно возрастает с увеличением Re, достигая некоторого постоянного значения. Для труб с малой шероховатостью опытные точки в некотором интервале располагаются вдоль наклонной прямой II (так называемая прямая Блазиуса для «гладких» труб). Отклонение от этой прямой наступает тем раньше, чем больше шероховатость. При этом λ тоже стремится к некоторому определенному пределу (прямая III). Это так называемая область «шероховатых труб», отвечающая квадратичному закону сопротивления, т. е. τ ≈ v2 или hl ≈ v2.

Таким образом, всю область чисел на графике Никурадзе можно разделить на пять зон (табл. 5).

Основные закономерности, установленные Никурадзе, были в дальнейшем подтверждены и развиты рядом исследователей. В настоящее время при определении коэффициента λ также используют график Г. А. Мурина (или график ВТИ), который приводится практически во всех книгах по гидравлике. Во многих случаях предпочтительней пользоваться для определения не графиком, а расчетны-

Таблица 5

ми зависимостями для определения коэффициента гидравлического трения, представленными в табл. 6.

Для прямоугольных лотков с искусственно приданной равномерной шероховатостью построены графики Зегжда. Часто используется также номограмма Колбрука–Уайта (рис. 40), существенно отличающаяся от графика Никурадзе.

Местные потери напора. Местные потери напора – это потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями, т. е. такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения поперечных размеров или конфигурации происходит деформация потока. Всякая перестройка структуры потока, связанная с появлением дополнительных касательных напряжений, причиной которых являютсявозникающиевпотокедополнительныевихреобразования, вызывает потери напора.

Местные потери энергии имеют ту же физическую природу, что ипотериподлине–эторезультатпреобразованиячастимеханической энергии в тепловую за счет преодоления касательных напряжений трения. Общими для всех видов местных сопротивлений являются:

•искривление линий тока;

•изменение площади живого сечения;

•отрыв основной струи от стенок с образованием водоворотных

зон;

•повышение пульсации скорости и давления.

Таблица 6

Рис. 40. Номограмма Колбрука–Уайта для определения λ

Основные виды простейших местных гидравлических сопротивлений можно разделить на пять групп потерь:

•потери, связанные с изменением сечения потока (случаи входа жидкости в трубопроводы, выхода жидкости в резервуар, внезапное расширение или сужение и т. д.);

•вызванные изменением потока (повороты, колена, тройники, крестовины и т. д.);

•связанные с протеканием жидкости через арматуру;

•связанные с делением или слиянием потоков;

•связанные с изменением сечения потока.

Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.

Существует принцип наложения потерь, когда на некотором участке с рядом местных сопротивлений происходит суммирование потерь энергии.

Местные потери напора определяют по формуле Вейсбаха как произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного сопротивления и коэффициента местного сопротивления ζ:

циенты местных сопротивлений находят опытным путем. Значения их для различных элементов трубопроводов приводятся в технических справочниках. Некоторые простейшие местные гидравлические сопротивления представлены в табл. 7.

Иногда местные сопротивления выражают через эквивалентную длину прямого участка трубопровода lэкв. Эквивалентной длиной называют такую длину прямого участка трубопровода данного диаметра, потери напора в котором при пропуске расхода равны рассматриваемым местным потерям.

Приравнивая формулы для линейных и местных потерь напора, имеем

откуда

или

Потери напора при движении аномальных (неньютоновских) жидкостей можно определять по уравнению Дарси–Вейсбаха (41), что подтверждено исследованиями Б. С. Филатова. Обычно режим движения турбулентный, и значение λ принимают в пределах от 0,017 до 0,025, при этом λ принимают тем больше, чем меньше концентрация раствора.

При производстве земляных работ получил широкое применение метод гидромеханизации. Грунт размывается струей воды, засасывается землесосом и транспортируется по трубам в отвал или к месту намыва грунта. Смесь воды с размельченным грунтом называется пульпой, или гидросмесью, а трубы, по которым перекачивается пульпа, – пульповодами. При некоторой достаточно малой скорости частицы грунта начинают осаждаться и заиливать трубопровод. Эта скорость называется критической. Обычные формулы гидравлики, приведенные выше для трубопроводов с водой к пульповодам, неприменимы.

70

Таблица 7

Некоторые простейшие местные гидравлические сопротивления

Гидравлический расчет пульповодов заключается в определении критических скоростей и потерь напора. Профессор А. П. Юфин предложил следующие эмпирические формулы:

для критической скорости:

а) в трубопроводах диаметром до 200 мм vкр = 0,2d10,65 eaγ d 0,54;

б) в трубопроводах диаметром больше 200 мм vкр = 9,83d 4w γγв −0,4 ,

где d – диаметр трубопровода, м; d1 – средний диаметр твердых ча-

стиц, мм; e = 2,71– основание натуральных логарифмов; γ – удельный вес пульпы; γв– удельный вес воды; a = 3,86/d10,13; w – так на-

зываемая «гидравлическая крупность», т. е. скорость падения частиц в спокойной воде.

Для потерь напора:

а) при критической скорости γ

б) при скорости выше критической

h = hв + (hкр − hвε2 )4ε,

где l – длина трубопровода; g – ускорение свободного падения; hв – потери напора в трубопроводе при движении чистой воды при том же расходе; hкр – потери напора при движении пульпы с критической скоростью; ε = νкр/ν. Остальные обозначения те же.

Классификация гидравлических систем

В зависимости от преобладания и соотношения видов потерь энергии потоком жидкости все гидравлические системы можно разделить на три группы:

1.Ультракороткиесистемы.Этоотверстия,насадки,шлюзыит.п.

Вэтих системах преобладают местные потери напора

hw ≈ hм.

73

2. Бесконечно длинные системы. К этой группе относятся магистральные трубопроводы, водоводы, каналы и т. д. В этих системах преобладают потери напора, обусловленные наличием сил трения:

hw ≈ а · hl,

где а – коэффициент, учитывающий местные потери. При выполнении практических расчетов значение а определяют по зависимости

а= 1 + ∑hм / ∑hl или а ≈ 1,05–1,15.

3.Короткие трубопроводы. В этих системах а >1,15 и расчет потерь напора осуществляют по зависимости (31) как суммы местных потерь напора и потерь напора по длине. К коротким трубопроводам относятся всасывающие трубопроводы насосов, дюкера, сифоны

ит. п.

Лекция 13

Истечение жидкости через отверстия. Сжатие струи и его виды, основные коэффициенты и расчетные зависимости

Одной из типичных задач гидравлики, которую можно назвать задачей прикладного характера, является изучение процессов, связанных с истечением жидкости из отверстия в тонкой стенке и через насадки.

При таком движении вся потенциальная энергия жидкости, находящейся в емкости (резервуаре), расходуется на кинетическую энергию струи, вытекающей в газообразную среду, находящуюся под атмосферным давлением (рис. 41), или в жидкую среду при определенном давлении (рис. 42).

Основной задачей при истечении жидкости через отверстия и насадки является определение скорости и расхода вытекающей жидкости.

Истечение жидкости через отверстие может происходить при по- стоянномнапоре–случайустановившегосядвижения,ипеременном напоре – при неустановившемся движении. Примером неустановившегося истечения может служить задача по опорожнению емкости.

Отверстия классифицируют следующим образом. 1. По размеру:

а) малые отверстия, диаметр которых не более 0,1 Н (где Н – высота расположения поверхности жидкости над центром отверстия);

б) большие отверстия.

2. По толщине стенки, в которой сделано отверстие:

а) отверстия в тонкой стенке, когда толщина стенки больше трех диаметров отверстия;

б) отверстия в толстой стенке. 3. По степени затопления:

а) незатопленные, из которых жидкость истекает в атмосферу; б) затопленные.

4.По форме: круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные

идругие отверстия.

При истечении жидкости из малого отверстия струя на некотором расстоянии от стенки сжимается, что объясняется инерцией частиц жидкости, движущейся при подходе к отверстию по криволинейным траекториям. Как показывает опыт, наиболее сжатое сечение струи находится за стенкой на расстоянии, равном приблизительно 0,5d отверстия.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 43):

1)полное сжатие, когда струя испытывает сжатие со всех сторон (отверстия I и II, а));

2)неполное сжатие наблюдается, когда отверстие примыкает

кбоковой стенке или дну резервуара, т. е. сжатие струи с одной стороны (рис. 43, б, в) или нескольких сторон (рис. 43, г) отсутствует (отверстие III).

Полное сжатие подразделяют на совершенное, когда l > 3a (отверстие I) и несовершенное, когда l < 3a (отверстие II).

При расчетах сжатие струи учитывается коэффициентом сжатия.

76

Коэффициентом сжатия струи называется отношение площади ωс сжатого сечения струи к площади ωo отверстия (рис. 44, а), из которого происходит истечение

где dс – диаметр сжатого сечения струи; dо – диаметр отверстия. Отверстием в тонкой стенке называется такое отверстие, края ко-

торого имеют острую кромку (рис. 44, б) и толщину стенки δ < 3d. В этом случае струя, огибая входную кромку, истекает не касаясь внутренней поверхности отверстия.

Выведем аналитические зависимости для определения скорости и расхода вытекающей жидкостей.

Рис. 44. Истечение через круглое отверстие

77