Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_ruchnoy_schet_chislennye_metody

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Лабораторная работа №5 Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Численное решение задач с начальными условиями Коши

Постановка задачи:

Дано дифференциальное уравнение y''+B(x,y) y'+K(x,y)=0 , [a,b] - интервал интегрирования д.у. , h=(b-a)/n - шаг интегрирования д.у. , где n - выбранное число разбиений [a,b], y(a) = y0 , y'(a) = y'0 - начальные условия для д.у.. Требуется определить приближенные значения функций y(x), y'(x), удовлетворяющие д.у. и начальным условиям.

Приведем исходное уравнение к системе д.у. первого порядка dydx z,

dxdz B(x, y)z K (x, y) f (x, y, z) y(x0 ) y0 , z(x0 ) y0'

Название метода	Итерационная формула
Метод Эйлера	xi 1 xi h,
	yi 1 yi hzi ,
	zi 1 zi hf (xi , yi , zi ),

Название метода

Итерационная формула

Метод Эйлера

с центрированием

f (x , y

, z

)

xi 1

yi 1

1 ,

, y

, z

Метод Эйлера

xi 1

с усреднением

hzi ,

hf (xi

, yi , zi )

zi 1

f (xi , yi , zi )

f (xi 1 , yi 1

, zi 1 )

Рассмотрим конкретный пример:

d 2 y

y(x) x, y(0) 1, y'(0) 0

на отрезке [0,1].

dx2

Решим задачу явным методом Эйлера.

Введем функцию z(x)=dy/dx. Тогда получим задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

dydx z,

dxdz 2z y x, y(0) 1, z(0) 0.

Разобьем отрезок на n=5 равных частей. Тогда шаг h=(b-a)/n=(1-0)/5=0.2

Формулы метода Эйлера:

xi 1 xi	h,
yi 1 yi	hzi ,
zi 1 zi	h( 2zi	yi	xi ),	x0 1, y0 1, z0 0

Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1):

x1 x0									h 0 0,2 0,2,
y1 y0										hz0													1 0,2 1 1,
z1 z0 h( 2z0																													y0									x0 ) 0 0,2(( 2) 0 1 0) 0,2.
Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2):
x2 x1									h 0,2 0,2 0,4,
y2 y1										hz1													1 0,2 ( 0,2) 0,96,
z2 z1 h( 2z1 y1																																					x1 ) ( 0,28) 0,2(( 2) ( 0,28) 0,96 0,4) 0,28.
Формулы метода Эйлера с центрированием:

x					x												h
x			1		x				i
	i		1						i		2
	i		2								2
y					y													h			z				,
y			1		y					i											z			i	,
			1							i	2													i
	i
	i			2
z					z											h				( 2z												y								x						)
z			1		z				i											( 2z									i			y						i		x						)
i			1						i		2																		i									i						i
i			2								2
xi 1 xi											h
yi 1 yi											hz													1 ,
																					i			2
																								2
zi zi								h( 2z																			1				y								1 x									1 ),
																										i									i												i
																										i	2								i				2								i	2

Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1):
x					x									h						0												0,2						0,1,
x	1				x		0													0																		0,1,
	1						0				2																				2

	2
	2
y					y										h					z						1								0,2									0 1,
y	1				y			0												z			0			1																	0 1,
	1							0			2												0													2

	2
	2
z				z									h						( 2z													y									x						) 0		0,2	( 2 0 1 0) 0,1.
z	1			z		0													( 2z									0				y					0				x				0		) 0			( 2 0 1 0) 0,1.
	1					0					2																	0									0								0			2

	2
	2
x1 x0									h 0 0,2 0,2,
y1 y0										hz1														1 0,2( 0,1) 0,98,

											2
z1 z0									h( 2z1																					y1									x1 ) 0 0,2(( 2)( 0,1) 1 0,1) 0,14.

																									2						2								2
Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2):
x					x							h							0,2														0,2									0,3,
x	3				x														0,2																							0,3,
	3					1					2																				2
	2										2																				2
	2
y					y									h					z						0,98																	0,2				( 0,14) 0,966,
y					y														z						0,98																					( 0,14) 0,966,
		3					1				2											1																	2
	2										2																												2
	2

z		z		h	( 2z		y	x ) ( 0,14)	0,2	( 2( 0,14) 0,98 0,2) 0,19,
	3
		1	2			1	1	1	2
	2

x2 x1			h 0,2 0,2 0,4,
y2 y1			hz3			0,98 0,2( 0,19) 0,942,

z2 z1 h( 2z3 y3 x3 ) ( 0,14) 0,2(( 2)( 0,19) 0,966 0,3) 0,197.

Формулы метода Эйлера с усреднением:

xi 1 xi

yi 1 yi hzi ,

h( 2zi yi

xi ),

zi 1 zi

i 1

zi zi 1

( 2zi

1 )

xi ) ( 2zi 1 yi 1 xi

Вычисление точек (х1,у1) и (х1,z1):

x1 x0

h 0 0,2,

hz0

1 0,2 0 1,

h( 2z0

x0 ) 0 0,2(( 2) 0 1 0) 0,2,

0 ( 0,2)

0,2

0,98,

z z

( 2z0 y0 x0 ) ( 2z1

y1 x1 )

0 0,2

(( 2) 0 1 0)(( 2)( 0,2) 1 0,2)

0,14

Вычисление точек (х2,у2) и (х2,z2):

x2 x1

h 0,2 0,2 0,4,

hz1

0,98 0,2 ( 0,14) 0,952,

h( 2z1

x1 ) ( 0,14) 0,2(( 2)( 0,14) 0,98 0,2) 0,24,

( 0,14) ( 0,24)

z1 z

0,2

0,942,

x2 )

z h

( 2z1 y1 x1 ) ( 2z2 y2

( 0,14) 0,2 (( 2) ( 0,14) 0,98 0,2)(( 2)( 0,24) 0,952 0,4) 0,197, 2

Содержание

Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной. Методы отделения и уточнения корней……………………………………………………………….. 3

Шаговый метод………………………………………………………………... 4 Метод Ньютона ……………………………………………………………….. 4

Метод половинного деления…………………………………………………. 5 Метод простой итерации……………………………………………………... 7 Решение систем линейных уравнений. Прямые и итерационные методы…... 9

Метод Гаусса………………………………………………………………….. 9

Метод простой итерации…………………………………………………….. 11

Метод Зейделя………………………………………………………………… 14

Аппроксимация и Интерполяция……………………………………………….. 16 Метод наименьших квадратов……………………………………………….. 16 Метод неопределѐнных коэффициентов…………………………………….. 21 Вычисление определѐнного интеграла…………………………………………. 31 Метод центральных прямоугольников………………………………………. 31

Метод трапеций……………………………………………………………….. 31 Метод Симпсона………………………………………………………………. 31

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Численное решение задач с 34 начальными условиями Коши…………………………………………………..

Метод Эйлера………………………………………………………………….. 34

Модифицированный метод Эйлера…………………………………………. 36 Модифицированный метод Эйлера………………………………………….. 37

Литература

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином,2003

2.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.:Наука, 1989

3.Калиткин Н.Н., Численные методы. ВНV-Санкт-Петербург, 2011

4.Алексеев Е.Р., Чеснокова О. В. Решение задач вычислительной математики в Mathcad . Серия: Самоучитель. М.: НТ Пресс, 2006

5.Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе MathCad, ВНV-Санкт-Петербург, 2005

6.Турчак Л.И. Основы численных методов. Изд - во «Наука», 1987

7.Джон Г. Мэтьюз. Численные методы. Изд - во «Вильямс», 2001

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151.48 Mб17metodichka_excel_2sem от шуваловой 1.pdf
#
27.03.2015448.51 Кб88Metodichka_IRIT_NEW.doc
#
27.03.201589.6 Кб5Metodichka_Kursovoy_proekt1.doc
#
27.03.2015324.61 Кб916METODIChKA_po_ISTORII_2014.doc
#
11.03.2016107.64 Кб54METODIChKA_po_ISTORII_2014.docx
#
28.03.20151.08 Mб18Metodichka_ruchnoy_schet_chislennye_metody.pdf
#
28.03.2015588.2 Кб15metodichka_SI_1_semestr.pdf
#
27.03.20151.44 Mб11metodik1.doc
#
27.03.2015529.92 Кб15metodik2.doc
#
11.03.20161.27 Mб32Metrologia_Ekzamen_Otvety.pdf
#
27.03.20151.23 Mб12MET_ACCE.DOC