Математика, теория+расчетные 1 семестр

x

e x

16.1. y=

.

16.2. y=

.

16.3. y=x lnx.

e x

x

16.4 .y=

ln x

.

16.5. y=

x

.

16.6. y=e −x 2 .

x

ln x

16.7. y=ln(x2+1).

16.8. y=ln(x2–1).

16.9. y=ln(4–x2).

16.10. y= x2e–x.

16.11. y=

1

.

16.12. y= x2e–2x.

x

2

− 4

16.13. y= x2 e −x

2

.

16.14. y=

x

.

16.15. y=

x

.

x

2

−1

1 − x

2

16.16. y=

x 2

.

16.17.y=

x

.

−x 2

4 − x 2

1

+ x 2

16.18. y= x e 2 .

16.19. y=

x 2

.

16.20. y= x–lnx.

16.21. y=x+lnx.

x 2 −1

1

1

x 2

16.22. y= x+

.

16.23. y= x–

.

16.24. y=

.

x 2

x 2

x −1

x 2

16.26. y= ln(1–x2).

16.27. y= ln(x2–4).

16.25. y=

.

2 − x

16.28. y= ln(9–x2).

16.29. y=

x 2

+ 1

x 2 + 1

x 2

− 1 .

16.30. y=

1 − x 2 .

Задача 11. Найти производные от функций

ln(sin 2x )

,

cos3x + xtg 3 x

(sin x )tg 2x , x 4 + y 4 + 3x sin y = 0 .

ln(sin 2x )

′

=

+ xtg

3

x

cos3x

1

1

1

1

cos2x

2(cos3x

+ xtg 3 x ) − ln(sin 2x ) 3sin 3x

+tg 3 x

+ x

sin 2x

cos(3 x )2

3

(3 x )2

.

(cos3x + xtg 3 x )2

При решении 2-го примера используется логарифмирование:

y = (sin x )tg 2x , ln y = tg 2x ln(sin x ),

tg 2x 2 ln(sin x )

y′

1

1

′

y = cos2 2x 2 ln(sin x) + tg2x sin x cos x ,

y

= (sin x )

cos2 2x +tg 2xctgx .

В последнем задании дифференцируются обе части равенства:

4x 3

+ 4y 3 y ′ + 3sin y + 3x cos y y ′ = 0

′

3

3

y

′

(4y 3

+ 3x cos y )

y (4y

+ 3x cos y ) = 4x

+ 3sin y ,

=

4x 3

+ 3sin y

.

Задача 12. Для вычисления первой и второй производной для па-

x

= ϕ(t )

'

yt'

раметрической функции

воспользуемся формулами: y x =

,

= ψ(t )

xt'

(y

'

)'

y

y x"

=

x

t

.

xt'

x = cost ,

Найдем производные от функции

Решение.

y = sin2 t.

2sin t

'

(sin2 t)t'

2sin t cost

"

(−2 cost)t'

yx

=

(cost)t'

=

−sin t

=2сos t,

yxx

=

(cost)t'

=

−sin t

=–2.

Задача 13. Найти уравнение касательной и нормали к кривой, за-

данной уравнением y=4x2–13x+15 в точке с абсциссой x0=2.

Решение. Находим y0=4(2)2–13 2+15= –5 и y’(x0)=(8x–13)|x=2=3,

то-

Решение. Воспользуемся формулой f(x+

x)= f(x0)+f ’(x0)

x.

В данном случае x0=1,

x= –0,022 и ln(x+ x)=ln(x0)+(1/x0)

x, и по-

этому ln 0,978 = ln1+(1/1)(–0,022).

Задача 15. Вычислить lim(arctgx )x .

x

→0

Решение. Сначала используем основное логарифмическое тожде-

ство:

lim x ln(arctgx )

,

затем находим

предел

показателя:

lim(arctgx )x = e x

→0

x →0

(ln(arctgx ))′ = lim

lim x ln(arctgx ) = lim ln(arctgx ) = lim

− x 2

= lim

− x

= 0

x →0

x →0

1

x

x →0

(1x )

x →0 arctgx (1 + x 2 )

x →0 1 + x 2

′

(x ~ arctgx при x → 0 ).

Задача 16. Исследовать функцию у= x 2

− 2x + 2 и построить гра-

Находим первую производную y ′ =

x 2 − 2x

и, приравнивая ее к ну-

(x − 1)2

x

– ∞,0

0

0,1

1

1,2

2

2,+ ∞

y

–2

не

2 min

max

сущ.

–

y′

+

–

не

+

сущ.

+

y′′

–

–

–

не

+

+

сущ.

5. Рассмотрим односторонние пределы lim

y = −∞, lim

y = ∞.

x →1−0

x →1+0

Следовательно, x=1 – вертикальная асимптота. Найдем наклонную

асимптоту по формуле y=kx+b, где

y

k= lim

f (x )

= lim x

2

− 2x + 2 = 1,

x →±∞

x

x →±∞

x (x −1)

b= lim (f (x ) − kx ) =

x →±∞

2

− 2x + 2

− x + 2

1

x

x

− x

= lim

= −1 .

−1

lim

(x −

1)

x −1

x →±∞

x →±∞

Следовательно, y=x–1. Строим

график функции (рис. 17).

Рис. 17