ЛЕКЦИИ МДТТ РУС
.pdfкоторая зависит не только от напряжений, но также и от пластических деформацийeijp |
и |
|||||||||||||||||
характеристик упрочнения, |
представленных параметром L . Уравнение |
(14.2) |
дает |
|||||||||||||||
поверхность нагружения, что означает следующее: |
f1* = 0 определяет границу упругой |
|||||||||||||||||
зоны, f1* < 0 |
соответствует |
упругой |
зоне внутри |
поверхности |
нагружения, а |
f1* > 0 |
||||||||||||
соответствует области вне поверхности нагружения и смысла не имеет. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Найдем полный дифференциал функции f1* (σ ij ,ε ijp , L) (14.3): |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¶f * |
|
¶f * |
¶f * |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
df1* = |
1 |
dσij |
+ |
1 |
dεijp + |
1 dL. |
|
|
|
(14.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¶σij |
|
¶εijp |
¶L |
|
|
|
|
|
|
||
* |
|
|
∂f * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|||
Если f1 |
= 0 и |
|
1 |
dσij < 0, |
то говорят, что имеет место процесс разгрузки; если f1 |
= 0 |
и |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂σij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
∂f * |
|
|
|
|
|
1 |
dσij |
= 0, |
то мы имеем нейтральное нагружение; если f1 |
= 0 и |
1 |
dσij > 0, |
то |
||||||||||
|
|
∂σij |
||||||||||||||||
|
∂σij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
происходит процесс активного нагружения. Тот способ, каким пластические деформации eijp входят в функцию (14.2) в процессе нагружения, определяется законом
упрочнения. Здесь описываются два наиболее простых из этих законов.
Гипотеза изотропного упрочнения при нагружении постулирует, что поверхность текучести просто увеличивается в размерах, сохраняя при этом свою начальную форму. Кривые текучести в девиаторной плоскости для критериев Мизеса и Треска-Сен-Венана будут концентрическими окружностями и правильными шестиугольниками соответственно (рис. 43).
При кинематическом упрочнении начальная поверхность текучести перемещается в новое положение в пространстве напряжений без изменений формы и размеров. Тогда формулу (14.1), нужно заменить следующей:
где αij |
|
f1 (σij − αij ) = 0, |
|
|
(14.4) |
||
– |
координаты |
центра новой |
поверхности |
текучести. |
Если упрочнение |
||
предполагается линейным, то |
|
|
|
||||
|
|
|
αij |
= cε ijp , |
|
|
(14.5) |
причем |
с – |
постоянная. |
В |
одномерном |
случае кривая |
текучести |
Треска-Сен-Венана |
переносилась бы так, как показано на рис. 44. |
|
|
Рис. 43 Рис. 44
Модель вязкопластической среды
Соединение вязких и пластических элементов приводит к так называемым вязко-
пластическим средам. |
|
||||||||||||||
Параллельное соединение двух элементов – вязкого и пластического |
– дает |
||||||||||||||
вязкопластическую среду (рис. 45: а). |
|
||||||||||||||
При этом закон деформации имеет вид: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= σS + μ |
|
, |
(14.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при |
|
σ |
|
³ σ S ; |
|
σ |
|
< σ S среда не испытывает деформаций (рис. 46). |
|
||||||
|
|
|
|
|
Эта схема отражает тот факт, что для многих веществ заметное течение появляется лишь при определенной нагрузке; скорость течения при этом зависит от вязкости среды.
Вязкопластическими свойствами характеризуются многие реальные вещества – металлы при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т.д.
|
|
Рис. 45 |
|
Рис. 46 |
Последовательное соединение (рис. |
45: б) двух |
элементов – вязкого и |
||
пластического |
– |
приводит к ползуче - |
пластической |
среде, представляющее |
значительный интерес в задачах ползучести. |
|
|
||
При σ < σS |
эта среда ведет себя как вязкая жидкость, следующая закону вязкости |
|||
Ньютона или нелинейному закону течения. |
|
|
||
При σ = σS |
среда течет подобно идеально пластическому телу. |
Теория пластического течения
Как только возникают пластические деформации, определяющие соотношения теории упругости перестанут быть верными. В силу того, что пластические деформации зависят от всей истории нагружения материала, в теории пластичности соотношения между напряжением и деформацией очень часто формулируют через приращения
деформаций: |
|
dεij = sijdλ, |
(14.7) |
здесь коэффициент пропорциональности dλ дается в дифференциальной форме, чтобы подчеркнуть, что приращения пластической деформации связаны с конечными компонентами девиатора напряжений sij , а εij - компоненты тензора деформации.
Множитель dλ может меняться в процессе нагружения и является, поэтому скалярной функцией, а не фиксированной постоянной. Соотношения (14.7) представляют закон течения для жестко идеально пластического материала (теория пластичности Сен-
Венана – Мизеса). При записи (14.7) предполагают, что главные оси тензоров приращений деформации и напряжений совпадают.
Разложив приращения деформации на упругую и пластическую части:
dεij = dεije + dεijp , |
(14.8) |
и связав приращения пластической деформации с компонентами девиатора напряжений, приходим к уравнениям Прандтля-Рейсса:
|
|
|
|
p |
= sij dλ, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dε ij |
|
|
|
|
|
|
(14.9) |
|||||||||
|
|
|
|
|
= dε e |
+ s |
|
dλ, |
|
|
|
||||||
|
dε |
ij |
ij |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ν |
|
|
|
|
|
||
dεe |
= |
1 |
dσ |
|
− |
δ |
|
dσ . |
(14.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ij |
|
|
2G |
|
ij |
|
1+ ν |
ij |
|
|
|
||||||
Формулы (14.9) – (14.10) |
|
представляют закон течения упруго идеально пластического |
|||||||||||||||
материала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцию компонент напряжения g (σ ij |
), которая обладает следующим свойством: |
||||||||||||||||
|
|
dεijp |
= |
∂g |
dλ, |
|
|
|
|
|
(14.11) |
||||||
|
|
∂σij |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют пластическим потенциалом. Для так называемого устойчиво пластического материала такая функция существует и тождественно совпадает с функцией текучести.
Интенсивность напряжений можно кратко записать так:
σ |
|
= |
3 |
s s |
|
, |
(14.12) |
|
|
|
|||||
|
i |
|
2 ij |
ij |
|
|
здесь sij – компоненты девиатора напряжений.
Интенсивность приращений пластических деформаций определяется так:
dεip = |
2 |
dεijpdεijp . |
(14.13) |
|
3 |
||||
|
|
|
Используя интенсивности напряжения и приращения пластической деформации, определенные соответственно формулами (14.12) и (14.13), получим выражение для коэффициента dλ из соотношения (14.9):
dλ = |
3dεip |
(14.14) |
2σi . |
Вопросы для самоконтроля:
1. Объясните механизм изотропного упрочнения металлов? 2. Объясните механизм кинематического упрочнения металлов?
Рекомендуемая литература:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.
2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.
Лекционные занятия № 29 - 30.
Название темы: Деформационная теория пластичности. Задача Ламе для трубы. Параметр Генки. Теория Ильюшина.
Цель лекций: Изложить основные гипотезы деформационной теории пластичности.
Ключевые слова: интенсивность напряжений; интенсивность деформаций; девиатор деформаций; девиатор напряжений.
Основные вопросы (положения) и краткое содержание:
Деформационная теория пластичности; задача Ламе для трубы; параметр Генки; теория Ильюшина.
Рассматриваются основные положения деформационной теории пластичности Надаи
– Генки - Ильюшина. На основе теории пластичности Надаи – Генки – Ильюшина изучаются упругопластические состояния толстостенной трубы.
Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:
Деформационная теория пластичности
При изучении пластических деформаций наряду с теорией течения, которая основывается на уравнениях (14.7) – (14.10) и связывает приращения деформаций с напряжениями, существует так называемая деформационная теория пластичности Генки, в которой предполагается зависимость между напряжениями и полными деформациями. Эти соотношения имеют вид:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
eij |
= |
ϕ + |
|
|
sij , |
(15.1) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2G |
|
|
|
|||
ε |
|
= |
(1 − 2ν ) |
σ |
|
, |
(15.2) |
|||
ii |
|
ii |
||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь eij – компоненты девиатора деформаций, а ϕ – |
параметр Генки. Параметр Генки |
можно выразить через эквивалентные напряжения и деформацию
ϕ = |
3 ε ip |
, |
|
|
(15.3) |
||||||||
2 |
|
σ i |
|
|
|||||||||
где σ – интенсивность напряжений, а |
ε p - интенсивность пластической деформации |
||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||
определяется соотношением (15.4); |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ε ip = |
|
|
|
|
2 |
ε ijpε ijp . |
(15.4) |
||||||
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Учитывая (15.3), (15.4), из (15.1) находим |
|||||||||||||
ε ijp = |
3 |
|
ε ip |
sij . |
(15.5) |
||||||||
2 σ i |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Основные гипотезы теории упругопластических деформаций А.А.Ильюшина:
|
σ = Kε , |
|
|
|
|
|
(15.6) |
|||
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
(15.7) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
σ i = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (ε i ), |
|
|
|
|
|
(15.8) |
|||
|
|
|
|
здесь K |
– |
модуль |
объемного сжатия, σ – среднее |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
гидростатическое давление, |
ε – |
объемное расширение, – |
||||
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
девиатор деформаций, σi – |
||
|
|
|
|
девиатор |
напряжений, |
– |
||||
|
|
|
|
интенсивность |
напряжений, |
ε i – |
интенсивность |
|||
|
|
|
|
деформаций. В соответствии с третьей гипотезой для |
||||||
|
|
|
|
определения зависимости интенсивности напряжений от |
||||||
|
|
|
|
интенсивности |
деформаций |
можно |
воспользоваться |
|||
|
|
|
|
Рис. 47 |
результатами испытаний на растяжение (рис. 47). |
|
При простом нагружении теория течения совпадает с теорией упругопластических деформаций
В этом случае экспериментальные данные хорошо согласуются с теорией пластичности.
Сложное нагружение: результаты экспериментального изучения сложного нагружения лучше согласуются с теорией течения, чем с теорией упругопластических деформаций.
Исследование процесса деформации упругопластической трубы с учетом упрочнения материала
Для случая осесимметричной и притом плоской деформации ( εz = 0 ) толстостенной трубы напряжения и деформации в ней определяются также просто и при наличии
упрочнения материала. Полагаем наличие одного внутреннего давления ( pa |
= p) . |
Будем полагать известной из опытов зависимость |
|
τ = f (γ ), |
(15.9) |
например, из опыта на чистое кручение.
Наибольшее касательное напряжение в любой точке рассматриваемой трубы может
быть, как известно, выражено через главные напряжения |
|
|||||||
τ = σ θ |
− σ r . |
|
|
|
(15.10) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Кроме того, для εz |
= 0 и несжимаемости материала имеем: |
|
||||||
γ = ε |
θ |
− ε |
|
= |
2B |
, |
(15.11) |
|
r |
|
|||||||
|
|
|
r |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь
ε |
|
|
= |
1 |
|
(σ |
|
−νσ |
θ |
), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
(σ |
θ −νσ r ), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε |
θ |
= |
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
σ r |
= |
|
|
|
|
|
|
A(1 |
+ν ) − |
|
|
|
(1 −ν ) , |
|
||||
1 −ν |
2 |
r |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
A(1 +ν ) + |
B |
|
(1 −ν ) . |
|||||||
σ |
θ |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 −ν |
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля:
1. В чем отличие деформационной теории пластичности от теории течения? 2. На какие характеристики материалов влияет эффект упрочнения?
Рекомендуемая литература:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.
2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.