book chis_met
.pdf
Аналогично вычисляем последующие приближения. Получаем следующие результаты вычислений:
k |
x1 |
x2 |
x3 |
kx(k+1) − x(k)k1 |
1 |
1 |
1,1 |
0,59 |
|
2 |
0,721 |
1,00990 |
0,62691 |
0,279 |
3 |
0,73533 |
1,00109 |
0,62636 |
0,01433 |
4 |
0,73715 |
1,00101 |
0,62618 |
0,00182 |
5 |
0,73718 |
1,00105 |
0,62618 |
0,00003 |
|
|
|
|
|
Если сравнить полученные результаты с точным решением |
|
|
|
||||||
x1 = |
704 |
= 0, 73717, |
x2 = |
956 |
= 1, 00105, x3 |
= |
598 |
= 0, 62618, |
|
|
|
|
|
||||||
955 |
955 |
955 |
|||||||
то видно, что метод Зейделя в данном случае сходится быстро, так как уже пятое приближение совпадает с точным решением до пятого знака [8].
1.2.3Метод релаксации
При решении системы линейных алгебраических уравнений методом релаксации поступают следующим образом.
¯
Систему Ax¯ = b преобразуем к виду
¯ |
|
−x¯ + β + αx¯ = 0, |
|
т.е. |
|
n |
|
X |
|
−xi + βi + αij xj = 0, (i = 1, n) |
(1) |
j=1 j=6i
Взяв в качестве начального приближения x¯(0) и подставив его в систему (1), получим
невязки
|
|
|
δi(0) = −xi + βi |
+ |
n |
αij xj |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=6i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если одной из неизвестных xk(0) дать приращение |
|
xk(0) , то соответствующая невязка δk(0) |
||||||||||||||
уменьшиться на величину |
(0) |
, а все остальные |
невязки |
x(0) |
|
i |
6= |
k |
|
увеличатся на величину |
||||||
(0) |
|
xk |
|
(0) |
|
i |
( |
|
|
) |
(0) |
дать |
||||
αik xk . Таким образом, чтобы обратить невязку δxk |
|
в нуль, достаточно величине xk |
||||||||||||||
приращение |
xk(0) = δk(0), тогда |
δ(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а все |
|
|
δi(1) = δi(0) + αik δk(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(i 6= k). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обращаем в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения соответствующей
компоненты на величину, равную этой невязке, т.е. мы получаем невязки δ(1) |
. С ними посту- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
паем аналогично и т.д. Процесс заканчивается на N шаге, когда все невязки будут равны |
||||||||
нулю с заданной степенью точности ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя все приращения xi(m) (i = |
|
|
|
) с xi(0), получим значения корней |
||||
1, n, m = |
1, N |
|||||||
xi(N +1) = xi(0) + |
N |
(i = 1, n). |
|
|||||
|
xi(m) |
|
||||||
|
|
X |
|
|
|
|
||
m=1
21
Пример. Решить систему методом релаксации с точностью ε = 10−3
15, 21x1 + 1, 11x3 = 9, 01
1, 32x1 + 14, 82x2 − 0, 61x3 = 8, 52
0, 75x1 − 1, 26x2 − 15, 44x3 = 8, 33
Решение. Исходная система, подготовленная к релаксации, имеет вид:
−x1 − 0, 0730x3 + 0, 5924 = 0
−x2 − 0, 0891x1 + 0, 0412x3 + 0, 5790 = 0
|
−x3 + 0, 048x1 − 0, 081x2 − 0, 5395 = 0 |
|||||
|
|
¯ |
|
|||
(0) |
|
|
|
|
(0) |
= (0, 5924; 0, 5790; 0, 5395). Нор- |
Выбрав в качестве x = 0, находим вектор невязки δ |
|
|||||
ма этого вектора больше |
10 |
−3 |
|
|
− |
|
|
, поэтому будем улучшать "пробное"решение с целью умень- |
|||||
шения невязок δi(0) . Выбираем одну из них, которая имеет наибольшее по модулю численное
значение. Это δ(0) = 0, 5924. Будем приводить ее к нулю, путем соответствующего изменения |
||||||||||
|
|
1 |
|
на величину x1(0) = δ1(0) = 0, 5924. |
|
|||||
значения переменной x1 |
|
|||||||||
|
Для удобства выписываем матрицу α: |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
α = −0, 0890 |
0 |
0, 0412 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−0, 0730 |
||
|
|
|
|
|
|
0, 0486 |
−0, 0816 |
0 |
|
|
|
Возьмем x(0) = (0, 0, 0). Тогда δ(0) = (0, 5924; 0, 5790; −0, 5395). |
|||||||||
|
Расчетный бланк дальнейших вычислений |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
xk(m) |
|
δ1(m) |
δ2(m) |
δ3(m) |
m |
|
|
|
|
1 |
0,5924 |
|
0 |
0,5263 |
-0,5107 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0,5263 |
|
0 |
0 |
-0,5536 |
2 |
|
|
|
|
3 |
-0,5536 |
|
0,0404 |
-0,0228 |
0 |
3 |
|
|
|
|
1 |
0,0404 |
|
0 |
-0,0264 |
0,0019 |
4 |
|
|
|
|
2 |
0,0264 |
|
0 |
0 |
0,0040 |
5 |
|
|
|
|
3 |
0,0040 |
|
-0,0002 |
0,0001 |
0 |
6 |
|
|
|
|
1 |
-0,0002 |
|
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение x(8) |
= (0, 6326; 0, 5000; −0, 5496), невязка δ(8) = (−0, 0001; 0; 0). |
||||||||
1.3Задания
1.Решить системы методом Гаусса с выбором главного элемента.
2.Решить системы методом единственного деления.
3.Решить системы методом оптимального исключения.
4.Решить системы методом отражения (вариант 1).
1. |
8, 45x1 +6, 23x2 +4, |
68x3 +0, 91x4 =2, 1; |
2. |
6, 21x1 |
−8, 49x2 |
+7, 72x3 |
+9, 24x4 |
=91, 0; |
|||||
|
|
||||||||||||
|
−6, 45x1 |
+7, 11x2 |
−9, 34x3 |
+7, 78x4 |
=−36; |
|
6, 54x1 |
+4, 37x2 |
+0, 92x3 |
−4, 71x4 |
=96, 1; |
||
|
4, 41x1 |
+6, 51x2 |
|
7, 89x3 |
+0, 63x4 |
= 0, 2; |
6, 96x1 +6, 21x2 |
+3, 18x3 |
0, 61x4 |
=87, 2; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
9, 26x1 +9, 37x2 −9, |
89x3 +9, 49x4 =35, 6. |
|
−7, 43x1 +1, 96x2 +4, 53x3 −3, 51x4 =78, 2. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
3. |
|
|
+7, 35x2 |
−1, 31x3 |
−3, 96x4 |
=−24, 8; |
|
4. |
|
|
|
+5, 96x2 |
−1, 48x3 |
−5, 53x4 |
=−62, 7; |
|
||||||||||||||||||||||
1, 33x1 |
|
2, 56x1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−5, 38x1 |
−9, 31x2 |
−4, 68x3 |
−3, 99x4 |
=−89, |
8; |
|
4, |
92x1 |
+4, |
25x2 |
−0, 84x3 |
−6, |
60x4 |
=18, 7; |
|
||||||||||||||||||||||
4, 73x1 |
|
9, 22x2 +5, 52x3 +6, 31x4 = |
|
14, 5; |
|
2, |
99x1 |
+7, 46x2 |
+0, 44x3 |
|
|
2, |
11x4 |
=56; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 83x1 −1, 85x2 +9, 99x3 −1, 86x4 =60, 7. |
|
|
8, |
32x1 |
−3, 80x2 |
−5, 48x3 |
+0, |
71x4 |
=93, 3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
7, 62x1 |
+8, 77x2 |
+6, 40x3 |
+5, 17x4 |
=40, 7; |
|
6. |
6, |
43x1 |
−3, 98x2 |
−7, 55x3 |
−1, |
53x4 |
=30, 3; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1, |
77x1 |
−5, |
31x2 |
+6, |
46x3 |
−8, |
85x4 |
=−52, 3; |
|
|
−5, 87x1 |
−7, 28x2 |
−3, 15x3 |
−0, 42x4 |
=25, 1; |
|
|||||||||||||||||||||
1, 58x1 |
|
3, 24x2 +8, 34x3 |
|
|
4, 90x4 =88, 5; |
|
0, |
93x1 |
+9, 41x2 |
+0, 35x3 |
|
|
0, |
23x4 |
= |
|
44, 6; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6, 56x1 −1, 46x2 +1, 98x3 −9, 48x4 =29, 2. |
|
|
−9, 87x1 −0, 09x2 +0, 04x3 +9, 96x4 =85, 8. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
0, 72x2 |
−1, 16x3 |
+8, 13x4 |
=−0, 3; |
|
8 |
|
|
|
−4, 99x2 |
−6, 66x3 |
−1, 65x4 |
=−97, 9; |
|
|||||||||||||||||||||
9, 55x1 |
|
|
8, 33x1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−0, 07x1 |
+9, 89x2 |
−0, 17x3 |
−0, 28x4 |
=0, 1; |
|
|
6, |
61x1 |
+5, |
03x2 |
+1, 64x3 |
−3, |
32x4 |
=79, 8; |
|
||||||||||||||||||||||
3, 03x1 |
−4, 90x2 +2, 08x3 +7, 19x4 =99, 8; |
|
1, |
69x1 |
|
|
9, 95x2 |
+1, 75x3 |
+1, |
80x4 |
=82; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0, 72x1 −3, 53x2 +5, 75x3 −7, 77x4 =−0, 5. |
|
−6, 45x1 +5, 36x2 +8, 92x3 +4, 29x4 =84, 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
+2, 97x2 |
−7, 46x3 |
+5, 51x4 |
=−24, 9; |
10 |
1, |
92x1 |
+4, 54x2 |
−3, 55x3 |
−0, |
01x4 |
=87, 5; |
|
||||||||||||||||||||||
−0, 43x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1, 03x1 |
+7, 21x2 |
−3, 28x3 |
−6, 61x4 |
=32, 1; |
|
|
5, |
97x1 |
+3, |
33x2 |
−0, 70x3 |
−7, |
38x4 |
=98, 7; |
|
||||||||||||||||||||||
8, 06x1 +3, 58x2 +1, 65x3 |
|
|
4, 77x4 = |
|
92, 8; |
|
|
2, 57x1 |
|
1, 59x2 +5, 84x3 |
|
5, 75x4 =86, 2; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, 88x1 −7, 88x2 +9, 00x3 −8, 88x4 =−17, 6. |
|
|
−9, 91x1 −5, 66x2 −5, 57x3 −1, 24x4 =73, 6. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
+2, 35x2 |
|
0, 97x3 |
−8, 61x4 |
=2, 1; |
|
12 |
|
|
|
−7, 38x2 |
+8, 48x3 |
−8, 89x4 |
=−88, 5; |
|
|||||||||||||||||||||
6, 68x1 |
|
|
5, 85x1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3, 64x1 |
+4, 65x2 |
−8, 99x3 |
+5, 66x4 |
=−21, |
5; |
|
1, |
4x1 |
+7, 68x2 |
−0, 92x3 |
−3, 23x4 =−60, 4; |
|
|||||||||||||||||||||||||
0, 43x1 +1, 82x2 |
−7, 75x3 +4, 08x4 =80, 7; |
|
9, |
6x1 |
|
|
9, 28x2 |
|
|
9, 67x3 |
|
|
8, 95x4 = |
|
48, 8; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, 34x1 +0, 42x2 −3, 24x3 +7, 19x4 =−17, 1. |
|
|
−8, 61x1 −7, 55x2 −6, 16x3 −3, 71x4 =−37, 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
6, 84x1 |
+1, 55x2 |
−1, 6x3 +9, 95x4 =64, 3; |
|
14. |
5, |
98x1 |
+3, 35x2 |
−0, 67x3 |
−7, |
31x4 |
=79; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−0, 44x1 |
+2, 56x2 |
−7, 87x3 |
+4, 7x4=1, |
3; |
|
|
9, |
86x1 |
+8, |
75x2 |
+8, 61x3 |
+7, |
36x4 |
=−69, 3; |
|
||||||||||||||||||||||
|
1, 65x1 |
|
1, 7x2 +6, 66x3 |
|
5, 03x4 = 34, 4; |
2, 03x1 +4, 72x2 |
|
|
3, 24x3 |
|
|
8, 52x4 = 90, 3; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8, 37x1 −3, 4x2 −1, 77x3 +4, 83x4 =−70. |
|
|
−1, 75x1 −0, 26x2 +7, 99x3 −2, 27x4 =88, 8. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
6, 92x1 |
+7, 59x2 |
+4, 51x3 |
+2, 11x4 |
=34, 5; |
|
16. |
4, |
73x1 |
+4, 33x2 |
|
|
0, 94x3 |
|
|
6, |
61x4 |
=68, 7; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1, |
8x1 −5, 57x2 +6, 24x3 −9, 33x4 =−42, 8; |
|
|
0, |
68x1 |
−5, |
55x2 |
+5, 13x3 |
+9, |
59x4 |
=−99, 8; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3, 37x1 +8, 75x2 |
|
4, 62x3 |
|
5, 87x4 =91, 7; |
|
2, |
46x1 |
+5, 85x2 |
−1, 69x3 |
−5, |
83x4 |
=69; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0, 48x1 +3, 66x2 −6, 82x3 +6, 84x4 =26, 2. |
|
|
2, |
49x1 |
+6, 67x2 |
−0, 83x3 |
−4, |
16x4 |
=37, 7. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
3, 33x1 |
−5, 32x2 |
+8, 02x3 |
−7, 3x4 =−91, 4; |
|
18. |
6, |
21x1 |
+9, 38x2 |
−6, 83x3 |
−7, |
45x4 |
=24; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2, |
62x1 |
−0, |
64x2 |
−8, |
02x3 |
+1, |
35x4 |
=50, 1; |
|
|
−9, 21x1 |
−2, 61x2 |
−1, 81x3 |
+5, 59x4 |
=−82, |
1; |
|||||||||||||||||||||
|
9, 27x1 |
|
6, 56x2 |
|
5, 83x3 |
|
2, 39x4 =58, 7; |
|
|
4, 27x1 |
|
1, 71x2 +4, 02x3 |
|
7, 68x4 =41, 9; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 79x1 +9, 4x2 +1, 19x3 +0, 6x4=67, 4. |
|
|
6, |
35x1 |
+8, 67x2 |
+5, 02x3 |
+3, |
69x4 |
=−34, 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
|
|
−4, 62x2 |
−0, 45x3 |
+4, 94x4 |
=−75, 9; |
20. |
2, |
97x1 |
−1, 69x2 |
−8, 71x3 |
−0, |
4x4 =54, 8; |
|
|||||||||||||||||||||||
−5, 83x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5, 31x1 |
+8, 25x2 |
−7, 05x3 |
−8, 79x4 |
=−12, |
8; |
|
9, |
96x1 |
+7, |
68x2 |
+7, 64x3 |
+5, |
33x4 |
=−32, 5; |
|
|||||||||||||||||||||
−5, 51x1 +9, 44x2 |
|
6, 06x3 |
|
6, 62x4 =11, 4; |
|
0, |
89x1 |
|
|
9, 51x2 |
+1, 39x3 |
+1, |
89x4 |
= |
|
77, 7; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||
|
−2, 68x1 +0, 7x2 +8, 02x3 −1, 28x4 =35, 5. |
|
|
−6, 71x1 +5, 18x2 +6, 47x3 +3, 66x4 =77, 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
5.Решить системы (D + kC)x = b методом квадратного корня.
6.Решить системы (D + kC)x = b методом Халецкого.
1. k = 0, 1(0, 1)1, 5.
|
D = 7 10 8 |
7 , C = |
0 0, 1 |
0 |
0 |
|
, b = |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 7 6 5 |
|
|
|
0, 1 0 |
|
0 0, 1 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 7 9 |
10 |
|
0, 1 0 |
|
0 0, 1 |
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0, 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 8 10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. k = 0, 1(0, 1)1, 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3, 26 |
|
||
|
2, 32 1, 49 5, 26 1, 56 |
|
3, 92 |
|
|
0 |
0, 1 0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
1, 28 2, 32 4, 14 −3, 24 , −5, 15 |
|
|
|
0, 1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
−3, 02 |
||||||
D = |
43, 24 1, 56 2, 44 5, 42 |
|
1, 94 |
, C = |
|
0 |
0 |
|
0 |
0, 1 |
0 |
, b = |
8, 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 14 5, 26 4, 06 2, 44 |
|
4, 39 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0, 1 0 |
0 |
|
|
|
|
0, 83 |
|
|||||
|
−5, 15 3, 92 4, 39 1, 94 |
|
4, 63 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0, 1 |
|
|
|
−6, 45 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
7.Решить системы методом простой итерации и методом Зейделя с точностью ε = 10−4.
8.Решить системы методом релаксации с точностью ε = 10−3.
D = |
1, 42 |
5, 33 |
1, 11 |
−1, 82 |
, C = |
0 |
1 |
0 |
0 |
, b = |
6, 06 k = 0(1)15. |
||||||
|
6, 22 |
1, 42 |
−1, 72 |
1, 91 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
7, 53 |
|
1, 91 |
1, 82 |
1, 42 |
6, 55 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
8, 06 |
|||
|
−1, 72 1, 11 |
5, 24 |
1, 42 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Решить системы методом отражения (вариант 2).
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=16+38i; 1. (8+i)x1+(2−i)x2+(1+ i)x3=17 + 25i;
(3 + i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=1+25i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=61−i; 3. (8+ i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=51−3i;
(3+ i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=21+21i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=15+35i; 5. (8+ i)x1+(2− i)x2 +(1+ i)x3=35+25i;
(3+ i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=4+28i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=40+67i; 7. (8+ i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=15+33i;
(3+ i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=−8+41i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=68+16i; 9. (8+ i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=40+18i;
(3+ i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=37+17i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=30−12i; 2. (8+i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3 =21+15i;
(3+i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=21+11.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=26+34i; 4. (8+i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=13+17i;
(3+i)x1+(1+ i)x2 +(2+3i)x3=−1+23i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=55i; 6. (8+i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=−8+21i;
(3+i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=−16+40i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=−40−67i; 8. (8+i)x1+(2− i)x2 +(1+ i)x3=−15−33i;
(3+i)x1+(1+ i)x2+(2+3i)x3=8−41i.
(1+2i)x1+(4−5i)x2+(7+4i)x3=−6+23i; 10. (8+i)x1+(2− i)x2+(1+ i)x3=10i;
(3+i)x1+(1+ i)x2 +(2+3i)x3=−16+3i.
24
2Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
Собственным значением квадратной матрицы A называется такое число λ, для которого
выполняется соотношение |
|
Ax¯ = λx,¯ |
(17) |
если x¯ - некоторый не нулевой вектор, называемый собственным вектором матрицы A, соответствующий собственному значению λ.
Это соотношение можно переписать в виде:
¯ |
(18) |
(A − λE)¯x = 0. |
Условием существования ненулевого решения однородной системы (18) является требование
A |
λE |
= |
a21 |
a22 − λ |
·· ·· ·· |
a1n |
=( |
1)n[λn |
p1λn−1 |
pn] = 0. (19) |
|
|
|
a11 − λ |
a12 |
|
a1n |
λ |
|
|
|
| − |
| |
a· ·n· |
a· ·n· |
· · · |
ann· · · |
− |
− |
− · · ·− |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
− |
|
|
|
|
Определение компонент собственного вектора требует решения системы n однородных уравнений с n неизвестными; для вычисления всех собственных векторов матрицы требуется решать n систем вида
(A − λiE)Xi = 0,
где Xi = (x1i, x2i, . . . , xni) - собственный вектор матрицы A, принадлежащий собственному значению λi.
Под полной проблемой собственных значений понимается проблема нахождения всех собственных значений матрицы A, так же как и принадлежащих этим собственным значениям
собственных векторов.
2.1Методы получения характеристического многочлена
2.1.1Метод Леверье.
Метод Леверье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения (19).
Пусть
Qn(λ) = (−1)nhλn − p1λn−1 − · · · − pni |
(20) |
характеристический полином матрицы A и λ1, . . ., λn его корни, среди которых могут быть
равные.
Тогда характеристический полином можно разложить на множители:
Qn(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2) . . . (λ − λn). |
(21) |
Перемножая скобки, стоящие справа в (21), а затем приведя подобные члены и сравнивая с коэффициентами из (20) получим, так называемые формулы Виета, выражающие коэффициенты многочлена через его корни:
25
p1 = σ1, p2 = −σ2 , . . . , pn−1 = (−1)n−2σn−1, pn = (−1)n−1σn, σ1 = λ1 + λ2 + · · · + λn,
σ2 = λ1λ2 + λ1λ3 + · · · + λn−1λn, σ3 = λ1λ2λ1 + · · · + λn−2λn−1λn,
· · ·
σn = λ1λ2 · · ·λn элементарные симметрические функции корней характеристического урав-
нения. Рассмотрим еще следующие симметрические функции корней:
Sk = λk1 + λk2 + · · · + λkn, k = 1, 2, . . . , n.
Теорема единственности, известная из курса высшей алгебры, утверждает: любой симметрический многочлен можно единственным образом представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Это представление выражается для степенных сумм по формуле Ньютона
Sk − p1Sk−1 − p2Sk−2 − · · · − pk−1S1 − kpk = 0, (k = 1, . . . , n).
Отсюда получаем
p2 |
= |
1 |
|
(S2 p1S1), |
||
|
p1 |
= S1, |
− |
|||
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(Sk − p1Sk−1 − . . . − pk−1S1), |
||
pk = |
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и можно найти все pk , если будут известны Sk .
Эти суммы вычисляются следующим образом:
(22)
(23)
S1 = λ1 + λ2 + . . . + λn = SpA,
т.е.
S1 = a11 + a22 + . . . + ann.
Как известно, λk1 , λk2 , · · · , λkn являются собственными значениями матрицы Ak . Поэтому
Sk = λk1 + λk2 + . . . + λkn = SpAk,
т. е. если Ak = [a(ijk)], то
Sk = a(11k) + a(22k) + . . . + a(nnk).
Таким образом, схема раскрытия векового определителя по методу Леверье весьма простая, а именно: сначала вычисляются Ak (k = 1, 2, . . . n) - степени матрицы A, затем находятся соответствующие Sk - суммы элементов главных диагоналей матриц Ak и, наконец, по формулам (23) определяются искомые коэффициенты pk (k = 1, 2, . . . , n).
Пример. Раскрыть характеристическое уравнение, найти собственные значения заданной
матрицы |
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
A= |
1 |
2.5 |
1 |
||
|
|
1 |
1 |
3 |
|
26
k |
|
Ak |
|
SpAk |
pk |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2,5 |
1 |
7,5 |
7,5 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5,5 |
6 |
|
|
2 |
5,5 |
8,25 |
6,5 |
25,25 |
-15,5 |
|
6 |
6,5 |
11 |
|
|
|
23,5 |
25,75 |
29,5 |
|
|
3 |
25,75 |
32,625 |
33,25 |
101,625 |
9,5 |
|
29,5 |
33,25 |
45,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Q3(λ) = −(λ3 − 7, 5λ2 + 15, 5λ − 9, 5); λ1 = 1, 185; λ2 = 1, 76; λ3 = 4, 555.
2.1.2Метод Фадеева
Метод Д.К. Фадеева является видоизменением метода Леверье. Помимо упрощений при вычислении коэффициентов характеристического полинома он позволяет определить обратную матрицу и собственные вектора матрицы.
Будем вместо последовательности A, A2, . . ., An вычислять последовательность матриц A1, A2, . . . , An, построенную следующим образом:
A1 = A, |
SpA1 = p1, |
B1 = A1 − p1E, |
|||
A2 = AB1, |
|
SpA2 |
= p2, |
B2 = A2 − p2E, |
|
2 |
|||||
. . . |
|
|
|
|
|
An−1 = ABn−2, |
|
SpAn−1 |
= pn−1 |
, Bn−1 = An−1 − pn−1E, |
|
|
n − 1 |
||||
An = ABn−1, |
|
SpAn |
= pn, |
Bn = An − pnE. |
|
|
n |
||||
Можно доказать, что
1)Bn -нулевая матрица,
2)если А - неособенная матрица, то A−1 = Bn−1/pn,
3)каждый столбец матрицы
Rk = λnk −1E + λnk −2B1 + . . . + Bn−1
состоит из компонент собственного вектора, принадлежащего собственному числу λk .
Пример. Построить характеристическое уравнение матрицы по методу Д.К. Фадеева
A = |
1 |
2.5 |
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
3 |
|
27
k |
|
Ak |
|
pk = qk |
|
Bk |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
-5,5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2,5 |
1 |
7,5 |
1 |
-5 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
1 |
-4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-9 |
-2 |
-1,5 |
|
6,5 |
-2 |
-1,5 |
2 |
-2 |
-10,5 |
-1 |
-15,5 |
-2 |
5 |
-1 |
|
-1,5 |
-1 |
-11,5 |
|
-1,5 |
-1 |
4 |
|
9,5 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
9,5 |
0 |
9,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
9,5 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Q3(λ) = −(λ3 − 7, 5λ2 + 15, 5λ − 9, 5); λ1 = 1, 185; λ2 = 1, 76; λ3 = 4, 555. |
|
|||
|
0, 68421 −0, 21053 |
−0, 15789 |
||
Попутно получилась обратная матрица A−1 = |
−0, 21053 |
0, 52632 |
−0.10526 |
|
|
−0, 15789 |
−0, 10526 |
0, 42105 |
|
2.2Частичная проблема собственных значений.
Для решения частичной проблемы собственных значений, состоящей в определении од-
ного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов, обычно используются итерационные методы. Строится такой итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, причем используемые алгоритмы обычно весьма экономичны.
2.2.1Метод простой итерации
Построим итерационный процесс, применяя метод простой итерации к решению системы уравнений
λ~x = A~x. |
(24) |
Запишем (24), введя вспомогательный вектор y: |
|
~y = A~x, |
(25) |
λ~x = ~y. |
(26) |
Пусть ~x(0) - начальное приближение собственного вектора ~x, причем собственные векторы на каждой итерации нормированы, так что |~x| = 1(k = 1, 1, . . .). Используем соотношение (25) для вычисления ~y(1):
~y(1) = A~x(0) .
Соотношение (26) используем для вычисления первого приближения λ(1), применяя умножение обеих частей равенства скалярно на ~x(0) :
λ = |
~y · ~x(0) |
= ~y(1) |
· |
~x(0). |
|
~x(0) · ~x(0) |
|||||
|
|
|
Здесь учтено, что вектор ~x(0) нормирован. Следующее приближение собственного вектора ~x(1) можно вычислить, нормируя вектор ~y(1).
28
Окончательно итерационный процесс записывается в виде
~y(k+1) = A~x(k),
|
λ(k+1) = ~y(k+1) · ~x(k), |
(27) |
||
~x(k+1) |
|
~y(k+1) |
|
|
= |
|
, k = 0, 1, . . . , |
|
|
|~y(k+1)| |
|
|||
и продолжается до установления постоянных значений λ и ~x. В качестве критерия завершения итераций следует проверять близость векторов (signλ(k+1))~x(k+1) и ~x(k).
Найденное в результате итерационного процесса (27) число λ является наибольшим по модулю собственным значением данной матрицы A, а ~x - соответствующим ему собственным
вектором. Скорость сходимости этого итерационного процесса зависит от удачного выбора начального приближения. Если начальный вектор близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся быстро.
Пример. Найти максимальное собственное значение и собственный вектор матрицы A
A= |
1 |
2, 5 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
За начальный вектор примем ~x = (1, 1, 1). Итерации дадут:
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x1 |
0,5111 |
0,4913 |
0,4855 |
0,4837 |
0,4831 |
x2 |
0,5750 |
0,5686 |
0,5648 |
0,5631 |
0,5623 |
x3 |
0,6389 |
0,6598 |
0,6673 |
0,6701 |
0,6711 |
λ |
13,5000 |
4,5490 |
4,5543 |
4,5549 |
4,5550 |
|
|
|
|
|
|
y1 |
4,0000 |
2,2361 |
2,2110 |
2,2031 |
2,2005 |
y2 |
4,5000 |
2,5875 |
2,5725 |
2,5648 |
2,5615 |
y3 |
5,0000 |
3,0027 |
3,0393 |
3,0522 |
3,0570 |
|y| |
7,8262 |
4,5510 |
4,5545 |
4,5550 |
4,5550 |
maxi |~xk+1 − ~xk | |
0,4889 |
0,0209 |
0,0075 |
0,0028 |
0,0010 |
|λ(k+1) − λ(k)| |
|
8,951 |
0,0053 |
0,0007 |
0,0001 |
Ответ: λmax = 4, 555, ~x = (0, 4831; 0, 5623; 0, 6711).
2.2.2Метод прямых итераций
Предположим, что матрица A имеет только вещественные различные по модулю соб-
ственные значения. Занумеруем их в порядке убывания модулей:
|λ1| > |λ2| > . . . |λn| > 0.
Метод прямых итераций предназначен для вычисления наибольшего по модулю собственного значения λ1 и отвечающего ему собственного вектора u(1) и состоит в следующем. Выберем произвольный вектор x(0) и построим последовательность векторов x(k) по правилу
x(k) = A(x(k−1) /αk−1), k = 1, 2, . . . ,
29
где αk−1 - наибольшая по модулю компонента вектора x(k−1), т.е. |αk−1 = max |x(ik−1)|. Из-
1≤i≤n
вестно, что при k → ∞
αk = λ1, x(k) → u(1).
На практике вычисления продолжают до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
|αk − αk−1| < ε,
где ε - заданная точность вычисления собственного значения λ1. При этом αk принимают за приближенное значение λ1, а x(k) - за приближение к u(1). Если за M итераций (M -
предельно допустимое число итераций, задаваемое программистом), заданная точность не достигается, вычисления прекращаются.
Пример. Найти наибольшее собственное значение матрицы
A= |
1 |
2, 5 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
и соответствующий ему собственный вектор.
Решение. Выберем начальный вектор y = (1, 1, 1) и составим таблицу:
|
|
k |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
|
Ay |
A2y |
A3y |
A4y |
A5y |
A6y |
1 |
|
4 |
17,5 |
78,75 |
357,375 |
1625,93 |
7403,34 |
||
1 |
|
4,5 |
20,25 |
91,625 |
416,062 |
1892,65 |
8616,39 |
||
1 |
|
5 |
23,5 |
108,25 |
495,125 |
2258,81 |
10295,03 |
||
c1(k) = y1(k+1)/y1(k) |
4 |
4,375 |
4,5 |
4,5381 |
4,5500 |
4,5533 |
|||
c2(k) = y2(k+1)/y2(k) |
4,5 |
4,5 |
4,5247 |
4,5409 |
4,5490 |
4,5525 |
|||
c3(k) = y3(k+1)/y3(k) |
5 |
4,7 |
4,6064 |
4,5739 |
4,5621 |
4,5577 |
|||
λ(k) = |
1 |
(c1(k) + c2(k) |
+ c3(k)) |
4,5 |
4,525 |
4,5437 |
4,5510 |
4,5536 |
4,5545 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(k+1) − λ(k) |
|
|
0,025 |
0,0187 |
0,0073 |
0,0026 |
0,0009 |
||
В качестве собственного вектора матрицы A можно взять
7403, 34 A6y= 8616.39
10295.03
p
Нормируя его (|z| = z12 + z22 + z32), окончательно получаем
~x = |
0, 5620 |
, а λmax = 4, 5545. |
|
0, 4829 |
|
|
0, 6715 |
|
2.2.3Метод обратных итераций
Предположим, что матрица A имеет только вещественные различные по модулю соб-
ственные значения. Занумеруем их в порядке убывания модулей:
|λ1| > |λ2| > . . . |λn| > 0.
30