An_geometria_Lin_algebra

Потребуем, чтобы в системе (2) был бы отличен от нуля коэффициент a22′, чего можно опять-таки добиться с помощью перестановки уравнений.

Если же после первого шага во всех уравнениях, кроме первого, коэффициенты обратятся в нуль, то приступают к следующему шагу, а именно: повторяя алгоритм Гаусса, аннулируем далее коэффициенты при x2 во всех

уравнениях, начиная с 3-го. Причём, после какого-то шага число уравнений может уменьшаться (это имеет место, если какие-то уравнения являются линейными комбинациями других уравнений, т.е. не являются независимыми).

После последнего шага мы можем придти к таким ситуациям:

1) Число неизвестных совпадает с числом уравнений, и матрица системы приведена к треугольному виду (ann ≠ 0) :

Теперь можно из последнего уравнения выразить xn = bn , подставить

ann

найденное xn в предыдущее уравнение, найти xn−1 и идти далее восходящим ходом к первому уравнению, находя шаг за шагом xn−2 ,xn−3 ,...,x2 ,x1 . Очевидно, что в этом случае ранг матрицы

92

Система имеет бесчисленное множество решений, r(A) =r(Ap ) <n .

Замечание. При исследовании систем методом Гаусса систему обычно не выписывают, а работают с расширенной матрицей системы Ap , выпол-

няя элементарные преобразования, соответствующие алгоритму Гаусса. Пример 3. Исследовать систему методом Гаусса

2x + y +z = 3

x + 2y −z = 0 x − y +z = 2

Решение. Запишем расширенную матрицу коэффициентов данной системы и приведём её к треугольному виду:

Вернёмся теперь обратно к системе, записанной в привычном виде: x − y +z = 2

3y −z = −1 . −z = −1

Теперь следует применить восходящий ход алгоритма Гаусса и выписать решение: −z = −1 => z =1, подставим z =1 во второе уравнение, тогда получим y = 0 ; и, наконец, подставим y = 0 и z =1 в первое уравнение, по-

лучим x = 0 −1+ 2 =1. В результате имеем решение данной системы: x =1,y =0,z =1.

Пример 4. Исследовать систему методом Гаусса

94

или в матричной форме A X = 0 , где 0 – нулевой столбец.

Свойства однородной системы

1.Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (тривиальное) решение.

2.Пусть

шений λX + μY , где λ, μ , также является решением системы.

Более того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной системы (1) также является решением этой системы.

3. Если система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Определение. Совокупность решений X1,X2 ,...,Xk однородной сис-

темы (1) называется фундаментальной системой решений, если

1)X1,X2 ,...,Xk - линейно независимы,

2)любое решение системы X представимо в виде линейной комбинации

где E1 ,E2 ,...,Ek - фундаментальная система решений; c1 ,c2 ,...,ck - произ-

вольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (1) называют общим решением однородной системы.

4. Теорема (о фундаментальной системе решений)

Если ранг r матрицы A однородной системы (1) меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n −r решений.

Доказательство. Доказательство этой теоремы даёт способ отыскания фундаментальной системы решений.

96

Рассмотрим матрицу A системы (1)

Как и прежде, не умоляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A. Тогда, по теореме о базисном миноре строки с номерами от r +1 до m представимы в виде линейных комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими r , нулевые. Следовательно, их можно отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной, но имеет r уравнений. Запишем её в следующем виде:

вестных xr+1,xr+2 ,...,xn - свободными.

Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные значения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным

образом, поскольку A* , матрица системы (3), квадратная и её элементы об-

разуют базисный минор (detA* ≠ 0).

Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:

В каждом i -ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на i -ом месте. Всего таких наборов n −r . Подставим поочерёдно эти наборы значений переменных xr+1 ,...,xn в систему (3),

решим её относительно x1,x2 ,...,xr и получим следующие решения:

97

Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (3), а значит и (1):

Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.

Проверим линейную независимость столбцов X1, X2 , ..., Xn−r . Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов X1 , ..., Xn−r

Минор порядка n −r , образованный последними n −r строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен n −r , и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что и означает линейную независимость решений X1, X2 ,..., Xn−r .

3) Возьмём произвольное решение однородной системы (1)

98

Доказывается аналогично свойству 1.

3.Любое решение Z неоднородной системы представимо в виде суммы Z = Y +X , где столбец Y - частное решение неоднородной системы, а столбец X - решение однородной системы, соответствующей системе (1).

4.Пусть X1, X2 ,..., Xn−r фундаментальная система решений однород-

ной системы (2), а Y - частное решение неоднородной системы. Тогда всё множество решений неоднородной системы представимо в виде

где r - ранг матрицы системы; c1,c2 ,...,cn−r - произвольные постоянные.

При этом выражение (3) называют общим решением системы. Доказательство. По свойству 3 всякое решение неоднородной сис-

темы представимо в виде Z =Y +X , а любое решение однородной системы в виде X =c1X1 + ... +cn−rXn−r по теореме о фундаментальной системе ре-

шений.

Пример 1.. Решить однородную систему

x1 + 2x2 +x3 = 0 2x1 +x2 −3x3 = 0 3x1 +3x2 −2x3 = 0

Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A этой системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы A, совершая линейные преобразования над строчками

Очевидно, что rgA = 2 , т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных и значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:

Полагая, например, x3 =1, получим систему

100