Chast_2_1_l_3-5

был равен нулю. Из (2.38) следует, что этот интеграл равен нулю и в любой другой момент времени:

Это и есть принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме. Силовые линии вектора индукции магнитного поля замкнуты или уходят в бесконечность. Например, зарисуем примерную картину силовых линий катушки с током (в сечении) (рис. 2.37):

Рис. 2.37. Магнитное поле тока катушки с круговыми витками

Мы вывели принцип непрерывности магнитного потока из закона электромагнитной индукции и нулевых начальных условий. Вместо этого можно считать, что это опытный факт или постулат. Никакие эксперименты до настоящего времени не опровергли этот принцип.

16. Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Выпишем уравнения, которые мы обсуждали ранее:

61

Поскольку равенство (2.45) справедливо для любого замкнутого контура l и для любой поверхности S , натянутой на этот контур, то заключаем, что равны подынтегральные выражения:

Это и есть закон полного тока в дифференциальной форме.

Аналогично, записав закон электромагнитной индукции (2.33) в виде

и применив к левой части теорему Стокса, получим закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

Для получения теоремы Гаусса в дифференциальной форме применим к левой части теоремы Гаусса в интегральной форме (2.10) математическую теорему Гаусса – Остроградского (1.10):

Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Аналогично может быть выведен принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме:

63

div rot B 0 .

Закон сохранения заряда (2.50) может быть получен из закона полного тока (2.46) и теоремы Гаусса (2.48).

На самом деле, если в принципе непрерывности электрического тока

(теорема Гаусса в дифференциальной форме), то мы получим (2.50).

Исправление закона полного тока, которое было произведено в интегральной форме, можно произвести также в дифференциальной форме.

До Максвелла:

Если взять дивергенцию от левой и правой частей (2.52), то

div 0 .

Наблюдается противоречие с законом сохранения заряда. Исправим закон полного тока

rotB 0 0 a ; div div a 0;

div a 0 ;

t

Теорема Гаусса

div 0 E .

Продифференцируем это выражение по времени:

65

75-7. Пользуясь математическими теоремами Стокса и Гаусса-

Остроградского, выведите уравнения Максвелла в интегральной форме из уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

76-8. Выведите принцип непрерывности электрического тока в дифференциальной форме из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

77-9. То же для закона сохранения заряда.

78-10. Исходя из принципа непрерывности магнитного потока,

сформулировать первый закон Кирхгофа для узла магнитной цепи (рис. 2.38).

Рис. 2.38. К выводу первого закона Кирхгофа для узла магнитной цепи

Лекция 6 18. Закон сохранения энергии в электродинамике. Вектор Умова-

Пойнтинга

Рассмотрим движущиеся заряженные частицы и электромагнитное поле,

которое они создают. Запишем закон полного тока и закон электромагнитной индукции для точек рассматриваемой части пространства:

пустоте этот вектор не несет нового физического содержания, по сравнению с вектором В , хотя он имеет другую размерность.