2_Kinematyka

35

радіусами, проведеними в точки 1 та 2 із центру кривини О (сторони цих кутів взаємно

перпендикулярні). При прямуванні t до нуля також прямує до нуля і довжина дуги s ,

обмежена точками 1 та 2, а разом з нею прямує до нуля і кут . Це означає, що в трикутнику,

При цьому враховано визначення модуля швидкості (2.5). Після підстановки (2.25) в (2.24)

вираз для вектора прискорення набуває вигляду

37

При поступальному русі будь-яка пряма, пов’язана з твердим тілом, залишається паралельною своєму початковому напрямку.

Рис. 2.10

Поступальний рух твердого тіла може бути описаний як рух однієї його точки: траєкторії всіх точок твердого тіла можуть бути отримані паралельним зсувом траєкторії однієї з них. На

Рис. 2.10 пряма AB залишається паралельною своєму початковому напрямку, так само як і прямі,

що їх можна було б провести через точки A і D , B і D тощо. Траєкторія точки B може бути отримана, наприклад, шляхом зсуву траєкторії точки C на відстань, що дорівнює довжині відрізка

CB . Отже, для опису поступального руху можна застосувати всі ті величини, які були введені для матеріальної точки: переміщення, шлях, швидкість, прискорення.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують кола, центри яких лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.

На Рис. 2.11 показані вісь обертання OO та колова

траєкторія однієї з точок твердого тіла P , положення якої

відносно початку O , через якій проходить вісь обертання,

визначається радіус-вектором r . Покажемо тепер, що

абсолютно тверде тіло може бути переведене із одного

свого положення в будь-яке інше положення шляхом

Рис. 2.11

39

вершиною точку C і позначені на Рис. 2.12 через . Якщо відняти від кута A1CB2 по черзі кожен із цих кутів , то отримаємо кути A1CA2 та B1CB2 , які виявляються, таким чином,

рівними між собою (вони позначені на Рис. 2.12 через ). Рівність кутів A1CA2 та B1CB2

означає, що при повороті на кут не тільки точка A1 переходить у положення A2 , а й точка B1 у

положення B2 , а, отже, одночасно і всі відповідні точки твердого тіла досягають кінцевого

положення.

Таким чином, ми довели теорему Ейлера, відповідно до якої тверде тіло, що має одну закріплену нерухому точку, може бути переведене з одного положення в будь-яке інше одним поворотом на деякий кут навколо нерухомої осі, що проходить через точку закріплення.

2.2.2. Вектор нескінченно малого повороту та вектори кутової швидкості і

кутового прискорення

Для того, щоб однозначно описати поворот твердого тіла необхідно, по-перше, вказати вісь обертання, по-друге, напрям обертання навколо цієї осі, і , по-третє, величину самого повороту.

Розглянемо нескінченно малий (елементарний) поворот навколо осі OO , при якому точка

шляхи і набувають різних переміщень. Натомість поворот твердого тіла характеризують направленим відрізком, пропорційним куту повороту, відкладеним вздовж осі обертання, причому двом можливим напрямам обертання відповідають два протилежні напрями цього відрізка.

Нескінченно малому (елементарному) повороту, тобто повороту на нескінченно малий кут d

навколо деякої нерухомої осі, ставлять у відповідність так званий вектор нескінченно малого

повороту d , модуль якого дорівнює величині кута повороту, і який направлений вздовж осі

обертання так, що коли дивитись у напрямку цього вектора, то поворот здійснюється за годинниковою стрілкою.

40

З Рис. 2.11 видно, що існує простий лінійний зв’язок між модулем приросту радіус-вектора та кутом повороту:

Покажемо, що величина d дійсно є вектор. Для цього переконаємося, що величини такого

типу мають основну властивість векторів: а саме, для них справедливий закон додавання векторів.

Властивість (2.35) векторів нескінченно малих поворотів відіграє винятково важливу роль як у класичній, так і, особливо, в квантовій механіці. Повороти на скінченні кути навколо різних осей такої

властивості не мають. Це видно вже з того, що лінійний зв’язок між модулем переміщення dr і кутом

41

нескінченно малого повороту d (2.30) у випадку скінченого повороту на кут повинен бути замінений

нелінійним зв’язком між та

dr

направлено вздовж осі обертання таким чином, що коли дивитись у напрямку цього вектора, то рух усіх точок твердого тіла відбувається за годинниковою стрілкою

Вектор кутового прискорення, що характеризує швидкість і напрям зміни вектора кутової швидкості, вводиться аналогічно вектору лінійного7 прискорення, як відношення приросту

може як співпадати з напрямом останнього, коли кутова швидкість зростає, так і мати протилежний напрям, якщо обертання уповільнюється. Якщо ж орієнтація осі обертання відносно якоїсь системи відліку змінюється з часом, то навіть при незмінній за модулем кутовій швидкості

існує кутове прискорення , відмінне від нуля.

7 Уведені раніше для опису руху матеріальної точки характеристики (вектори швидкості, прискорення,

переміщення тощо) називають лінійними на відмінну від кутових характеристик таких як, наприклад кутова швидкість або кутове прискорення.

42

2.2.3. Зв’язок між лінійними та кутовими характеристиками обертового руху

Щоб отримати зв’язок між вектором лінійної швидкості довільної точки твердого тіла, що

обертається, та його кутовою швидкістю , розділимо ліву та праву частини (2.26) на dt

Легко бачити, що перший доданок у правій частині (2.40) являє собою тангенціальну складову прискорення точки, а другий доданок його нормальну складову.

Відзначимо деякі принципові відмінності між величинами, що описують поступальний та обертовий

рух. Напрями таких векторів як r , , a виникають природнім шляхом без жодної видимої альтернативи.

певної довжини і певної орієнтації — стрілки. Аксіальний вектор a також зображено відрізком прямої

певної довжини і певної орієнтації, якому приписано обертання в напрямі, вказаному дуговою стрілкою. На практиці використовують більш зручне символічне зображення аксіального вектора у вигляді стрілочки,

напрям якої обрано за правилом правого ґвинта, про що нагадує кружок у початку вектора. Під символами полярного і аксіального векторів для більшої наочності показані геометричні фігури, що мають симетрію цих векторів: для полярного вектора це круговий конус, а для аксіального вектора — круговий циліндр, що обертається.

При поворотах поведінка обох типів векторів однакова: вони переходять самі в себе при обертаннях на довільні кути навколо осей, що співпадають з ними (з осями конуса та циліндра), але змінюють напрям на протилежний при поворотах на кут навколо будь-якої з осей до них перпендикулярних.

43

Рис.2.13

Суттєва різниця між полярними та аксіальними векторами виявляється при так званих дискретних перетвореннях простору типу віддзеркалення в площині та просторової інверсії. У третьому рядку Рис. 2.13

показано віддзеркалення зображень полярного та аксіального векторів у перпендикулярній до них площині

(дзеркалі). Видно, що символ, який зображає полярний вектор при віддзеркаленні змінює свій напрям на протилежний, в той час коли символ аксіального вектора залишається без змін. Той самий результат буде при віддзеркаленні конуса і циліндра, що обертається, оскільки напрям обертання при такому віддзеркаленні не змінюється.

Якщо ж віддзеркалення здійснюється в площині паралельній полярному та аксіальному векторам, то результат буде протилежним: полярний вектор не зазнає зміни, а аксіальний вектор змінює напрям, оскільки в дзеркалі обертання зображення відбувається в протилежному напрямі (для наочності на місце символів

44

аксіальних векторів можна помістити циліндр, що обертається. У третьому стовпчику на Рис. 2.13 показано як змінюється символічне зображення аксіального вектора. Різниця в поведінці ―полярної‖ та ―аксіальної‖ стрілок очевидна.

добуток двох полярних векторів є аксіальний вектор.

Аксіальні вектори можна додавати за тими самими правилами, що й полярні, тобто за звичними правилами паралелограма, трикутника тощо. Але додавати до полярного аксіальний вектор і навпаки не можна.

2.2.4. Формула додавання кутових швидкостей