ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 30
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
18 |
|
|
− |
6 |
. |
||
1 |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
a + 3a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
2.2.Чему равно значение выражения 4912 log7 36−2log7 3 ?
2.3.Решите уравнение:
2cos2 x +cos2x = 0.
2.4. Решите уравнение:
(5x−3)x−1 = 25x 125x+1 .
2.5. Найдите первообразную функции f (x) = e2x − cosx , график которой проходит через начало координат.
2.6.Чему равна сумма корней уравнения x4 −3x2 −4 = 0 ?
2.7.На стороне BC квадрата ABCD отметили точку M так, что DAM=60°. Найдите отрезок MD, если AB = 
3 см.
2.8.Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите уравнение касательной к графику |
функции f (x) = 4x − 3 |
||
в точке с абсциссой x0 = 1. |
|
|
|
3.2. Найдите область определения функции f (x) = |
|
(x +4)(3− x) |
. |
|
|
||
|
|
lg(x2 +1) |
|
3.3.Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее большей боковой стороны на 15 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.
61
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
2 5x −1 > 5x − 2.
4.2.м При каких значениях параметра b система
2x + y = a ,ax + y = b
имеет решения при любом значении параметра a?
4.3.м Решите уравнение:
(arcsin x)(arccosx) = − π92 .
4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.
62
Вариант 31
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. |
Упростите выражение |
2cos2 |
αtgα |
. |
||
cos2α−sin2 |
α |
|||||
|
|
|
||||
2.2.Найдите значение x, если log7 x = log7 2,5+4log7 2−log710.
2.3.Упростите выражение:
|
a −8 |
− |
a +8 |
|
: 16 a . |
|
|
|
|||||
a +8 |
a −8 |
|||||
|
|
|
64−a |
2.4.Решите неравенство 6x−x2 < 361 .
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 8x3 +3x2 −2 , график которой проходит через точку A(−1; 2) .
2.6.Число 162 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18; ... .
Найдите номер этого члена.
2.7.В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB = 2
2 см, BAC=30°, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AD.
2.8.Площадь боковой поверхности конуса равна 240π см2. Найдите объем этого конуса, если радиус его основания равен 12 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
10sin2 x +10cos2 x = 11.
3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = (x2 +2x −1)4
в точке с абсциссой x0 = 0.
3.3.Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 15 см, а диагональ боковой грани — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
63
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
(x −a)arcsin(x −7) = 0
имеет единственное решение?
4.2.м Решите систему уравнений:
3 x + y + 4 + 3 y + 7 = 4,
x + 2y = 5.
4.3.м Решите неравенство:
logx (4+ 3x) > 2.
4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 :3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на
расстояние 
8 см.
64
Вариант 32
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
−1
2.1. Чему равно значение выражения 81 31 27 ? 93
2.2. |
Найдите корень уравнения 0,125x = 2 4x . |
2.3. |
Чему равно значение выражения sin(2α − 3π) , если sinα = −0,6 |
иπ < α < 32π ?
2.4.Найдите множество решений неравенства log8(2x +3) > log8(x −1) .
2.5. Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = x3 −5x
вточке с абсциссой x0 = 2.
2.6.Решите уравнение 3 x4+2 + 3 x5+3 = 2.
2.7. В прямоугольной трапеции ABCD известно, что BC || AD, D = 45°, AC = CD = 4 см. Чему равна площадь трапеции?
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведенной хорды, образует с плоскостью
основания угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведенной хорды равно a.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
2 |
4− x2 dx . |
|
|
3.1. Вычислите интеграл ∫ |
|
|
|
−2 |
|
|
|
3.2. Упростите выражение |
2cos2 |
2α−1 |
|
|
|
||
2ctg(π4 −2α)cos2 (π4 +2α) |
|||
3.3.Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC, если
AD:DB=1:2.
65
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x2 + (2a −1)x + a2 − 3a = 0
имеет два различных положительных корня?
4.2.м Решите уравнение:
log22 x + (x −1)log2 x = 6− 2x .
4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x + 33
x2 на промежутке −18;1 .
4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.
66
Вариант 33
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения log4 36 − log4 5+ 12 log4 2581 ?
2.2.Решите уравнение:
3x+3 +5 3x−1 = 86.
2.3. Решите неравенство:
(x −4x)(2x +3) ≤ 0 .
2.4.Вычислите значение выражения:
6 (8− 
7)6 +4 (2− 
7)4 .
2.5. Найдите первообразную функции f (x) = 6x2 −8x + 3, график которой проходит через точку M (–2;10).
2.6.Найдите функцию, обратную к функции y = 16 x −7 .
2.7.Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите площадь параллелограмма.
2.8.Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 8 см, проведена плоскость, которая пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой 120°. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 16 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Составьте |
уравнение |
касательной |
к |
графику |
функции |
f (x) = x3 − 12 x2 −4 в точке с абсциссой x0 = 2 .
3.2.Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin2 x + 05,sin2x = 1.
3.3.Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.
67
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x4 − (a − 3)x2 + a2 −5a = 0
имеет три различных корня?
4.2.м Вычислите интеграл:
2
∫
2x − x 2 dx .
1
4.3.м Решите неравенство:
32x +1 −8 15x +52x+1 ≤ 0.
4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.
68
Вариант 34
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения log4 log9 4 81 ?
2.2.Упростите выражение sin3sinαα − cos3cosαα .
2.3.Решите уравнение:
3x2 +7x −4 = −x .
2.4.Найдите множество решений неравенства x2 +x 2x +1 < 0 .
−1
2.5. Чему равно наибольшее значение функции |
f (x) =1+3x2 − x3 на проме- |
||
жутке [–1; 1]? |
|
|
|
2.6. Найдите первообразную функции f (x) = |
2 |
, график которой |
|
3x +4 |
|||
|
|
||
проходит через точку A (4;5) .
2.7.В трапеции ABCD известно, что BC||AD, K — точка пересечения диагоналей, AK:KC=9:4, DK–BK=15 см. Найдите диагональ BD.
2.8.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Постройте график функции f (x) = |
cosx −1+1. |
|||||
3.2. Решите уравнение: |
|
|
|
x3 |
|
|
log2 |
(27x)+log |
3 |
=17 . |
|||
9 |
||||||
3 |
|
|
|
|||
3.3.Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
69
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
51+4sin2x cos2x −24 5cos(π2 −x)−5 = 0 .
4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = −x2 + 4, которая перпендикулярна прямой x −2y + 2 = 0 .
4.2.м При каких натуральных значениях n многочлен
P(x) = (12−7x2)n − (5x −14)2n
делится нацело на многочлен x − 2 ?
4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади треугольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.
70