КИМ11
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Номер: 6.71.С |
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Задача: Разложить функцию |
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f (z)= (z +1)sin |
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в ряд |
Лорана |
в области |
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z +1 |
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0 ≤ |
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z +1 |
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< ∞. |
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(−1)n |
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∞ |
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(−1)n |
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∞ |
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1 |
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∞ |
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Ответы: 1). |
∑ |
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2). |
∑ |
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3). |
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∑ |
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(2n +1)(z +1)2n |
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n =0 |
(z +1)n |
n =0 n(z +1)n |
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n =0 |
+1 |
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∞ |
(−1)n |
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(−1)n |
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4). |
∑ |
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5). |
∑ |
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(2n +1)!(z +1)2n |
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n =0 |
(2n +1)!(z +1)n |
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Номер: 6.72.С |
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Задача: Разложить функцию |
f (z)= (z + i)2 cos |
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1 |
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в ряд Лорана в области |
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z |
+ i |
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0 ≤ |
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z + i |
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< ∞. |
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(−1)n+1 |
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(−1)n |
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∞ |
1 |
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∞ |
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∞ |
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Ответы: 1). |
∑ |
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2). |
∑ |
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3). |
∑ |
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(n +1)!(z + i)n +1 |
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n =0 n !(z + i)n |
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n =0 |
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n =0 (2n)!(z + i)2n −2 |
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∞ |
1 |
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∞ |
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1 |
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4). |
∑ |
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5). |
∑ |
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(2n)!(z + i)2n |
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(2n)!(z + i)n |
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n =0 |
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n =0 |
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Номер: 6.73.С |
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Задача: Разложить функцию |
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f (z)= sin |
1 |
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в |
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ряд |
Лорана |
в области |
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(z − i)3 |
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0 ≤ |
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z − i |
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< ∞. |
(−1)n |
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(−1)n |
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(−1)n |
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∞ |
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∞ |
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∞ |
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Ответы: 1). |
∑ |
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2). ∑ |
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3). ∑ |
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(2n +1)!(z − i)2n +1 |
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n =0 n !(z − i)n |
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n =0 |
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n =0 (3n)!(z − i)3n |
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∞ |
(−1)n |
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∞ |
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(−1)n |
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4). |
∑ |
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5). |
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∑ |
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(2n +1)!(z − i)3(2n +1) |
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+1)!(z − i)3n |
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n =0 |
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n =0 (2n |
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Номер: 6.74.С
1
Задача: Разложить функцию f (z) = (z −1)3 e z−1 в ряд Лорана в области 0 ≤ z −1 < ∞.
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∞ |
1 |
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∞ |
(−1)n |
∞ |
1 |
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Ответы: 1). |
∑ |
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2). |
∑ |
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3). ∑ |
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n =0 n !(z −1)n |
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n =0 n !(z −1)2n |
n =0 n !(z −1)3n |
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∞ |
1 |
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∞ |
(−1)n |
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4). |
∑ |
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5). |
∑ |
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n =0 n !(z −1)n −3 |
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n =0 n !(z −1)3(n −1) |
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Номер: 6.75.С
Задача: Разложить функцию f (z) |
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1 |
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= |
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в ряд Лорана в окрестности точки |
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z(z + 2) |
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z0 = 0 . |
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(-1)n +1 × z n |
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1 |
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1 |
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1 |
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|
∞ |
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1 |
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1 |
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∞ |
z n |
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Ответы: 1). - |
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- |
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- |
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+ |
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∑ |
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2). - |
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- |
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- |
∑ |
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3z3 |
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z |
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2n |
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2z |
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z |
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2z 2 |
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n =0 |
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2 |
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n=0 2n +2 |
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1 |
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1 |
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∞ |
z n |
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1 |
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∞ |
(-1)n +1 z n |
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1 |
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∞ |
(-1)n +1 z n |
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3). - |
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- |
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- ∑ |
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4). |
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+ ∑ |
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5). |
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+ |
∑ |
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2z |
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z |
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+2 |
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2z |
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2n +2 |
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2z |
2n +2 |
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2 |
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n =0 2n |
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2 |
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n=0 |
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n=0 |
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Номер: 6.76.С |
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||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z) |
= |
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z |
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в ряд Лорана в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z + 1)(z - 2)2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = −1. |
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+ ∑∞ (-1)n (2n + 1)(z + 1)n |
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||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). - |
1 |
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1 |
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+ |
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1 |
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9 (z + 1)2 |
3(z + 1) |
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n =0 |
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3n |
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||||||||||||||||||||||||||
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2). - |
2 |
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1 |
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|
- |
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|
2 |
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- ∑∞ (2n +1)(z + 1)n |
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9 (z + 1)2 |
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3(z + 1) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n =0 3n +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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3). |
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1 |
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+ |
∑∞ (-1)n (2n + 1)(z + 1)n |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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3(z + |
1) |
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n =0 |
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3n +2 |
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4). - |
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1 |
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|
+ |
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∑∞ (2n +1)(z + 1)n |
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9(z + 1) |
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n =0 3n+2 |
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|||||||||||||||||||||||
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|
5). |
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1 |
|
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|
|
+ |
|
|
|
∑∞ (-1)n (2n + 1)(z + 1)n |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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9(z + |
1)2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n=0 |
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32n +1 |
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Номер: 6.77.С |
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||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z) |
|
|
1 |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
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z(z + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 0 = −2 . |
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∞ (-1)n (z + 2)n |
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||||||||
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|
|
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|
1 |
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). - |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ n∑=0 |
|
2n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4(z + 2)2 |
|
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ (-1)n (z + 2)n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2). |
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
+ n∑=0 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9(z + 2)3 |
|
|
|
4(z + 2)2 |
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (-1)n (z + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3). - |
|
|
|
|
|
- |
|
+ n∑=0 |
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(z + 2)2 |
|
|
|
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(z + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4). − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 2n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∞ |
(− 1)n (z + 2)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2(z |
+ 2)2 |
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 6.78.С |
|
|
|
|||||
Задача: Разложить функцию f (z) = |
|
|
z |
|
в ряд Лорана в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z + 1)(z − 2)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
+ |
∞ |
(− 1)n +1 |
n |
|
||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9(z |
− 2)2 |
3 z − 2 |
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ 2 1 |
|
+ ∑ (− 1)n +1 |
(z − 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
9(z − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
z − 2 |
|
|
n =0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3). − |
2 1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
∞ |
(z − 2)n +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (− 1)n (z − 2)n |
|
|
|
|
|
||||||||||
4). − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5). |
|
|
|
3(z − 2)2 |
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ ∑ (− 1)n +1 (z − 2) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
9(z − 2) |
|
|
|
|
2 |
(z − 2)3 |
n =0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 6.79.С |
|
|
|
|||||
Задача: Разложить функцию |
f (z) = |
z + 1 |
в ряд Лорана в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2 − 3z + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (− 1)n (z − 1)n |
|
|
|
|||||||
Ответы: 1). − |
|
|
2 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(z − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 1 |
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
+ 3 |
|
∞ (− 1)n (z − 1)n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
n !3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3). − |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∞ |
(− 1)n (z − 1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(z − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4). − |
|
|
|
− |
3 ∑ (z − 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
+ 3 |
|
∞ (z − 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5). |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 6.80.С
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
в ряд Лорана в кольце 2 < |
|
z |
|
< 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2 − z − 6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
z n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ (−1)n 2n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
z n |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
(−1)n 2n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). − |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
z n+1 |
|
|
2). − |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
z n +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 n =0 3n |
|
|
|
|
5 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
15 n=0 3n |
|
|
|
|
|
|
|
5 n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3). − |
1 ∞ |
|
|
|
z n |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n 3n |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
z n |
|
|
− |
1 |
|
|
∞ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
z n +1 |
|
4). |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15 n=0 3n |
|
|
|
|
|
|
15 n =0 |
|
|
|
|
|
3 n =0 3n |
|
|
|
|
|
5 n =0 z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5). − |
1 ∞ |
|
|
|
z n |
|
+ |
1 |
|
|
|
∞ |
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
15 n =0 3n |
|
|
|
|
|
|
|
5 n =0 z n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
Номер: 6.81.С |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
f (z)= |
sin z |
в ряд Лорана в окрестности точки |
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z0 = 0 . |
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Ответы: 1). ... − |
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+ |
1 |
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− |
1 |
+ |
z 2 |
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− |
z 4 |
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+ ... |
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z3 |
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3! |
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5! |
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7! |
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2). ... − |
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+ |
1 |
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− |
1 |
+ |
z 2 |
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− |
z 4 |
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+ ... |
3). |
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1 |
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+ |
1 |
+ |
z 2 |
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+ |
z 4 |
+ |
z6 |
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+ ... |
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z3 |
z 2 |
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z 2 |
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2! |
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4! |
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8! |
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z |
2! |
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4! |
6! |
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4). |
1 |
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− |
1 |
+ |
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z 2 |
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− |
z 4 |
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+ ... |
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5). |
1 |
+ |
z |
+ |
z3 |
+ |
z5 |
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+ |
z 7 |
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+ ... |
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|
z 2 |
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3! |
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5! |
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7! |
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z 1! 3! 5! 7! |
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Номер: 6.82.С |
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Задача: |
Разложить функцию |
f (z)= |
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z +1 |
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в ряд Лорана в окрестности |
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z 2 − 3z + 2 |
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точки z0 = 2 . |
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Ответы: 1). − |
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1 |
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+ |
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+ |
∞ |
(−1)n +1 (z − 2)n |
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2). |
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(z − 2)2 |
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z − 2 |
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n =0 |
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3 |
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− |
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2 |
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+ 1 + 2 ∑(−1)n+1 (z − 2) |
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n |
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(z − 2)3 |
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(z − 2)2 |
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z − 2 |
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n =0 |
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2n |
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3 |
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∞ |
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n |
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||||||||
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3). |
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+ 2 |
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∑(−1)n+1 (z − 2) |
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(z − 2)3 |
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n =0 |
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2n |
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4). − |
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2 |
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+ ∑(−1)n +1 |
(z − 2) |
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n |
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|||||||
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(z − 2)2 |
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n =0 |
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2n |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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∞ |
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||||||
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5). |
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+ |
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2 ∑(−1)n+1 (z − 2)n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
− |
2 |
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n=0 |
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Номер: 6.83.С |
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Задача: |
Разложить функцию |
f (z)= cos |
2 |
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в ряд Лорана в окрестности точки |
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2). 1 + z + z |
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3). 1 + |
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4). 3z |
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(−1) |
n +1 |
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2 2n−2 |
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Номер: 6.84.С |
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Задача: |
Разложить |
функцию |
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z |
в |
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ряд |
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Лорана |
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в |
окрестности |
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+ z + |
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+ |
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... + |
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+ ... + |
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2n−2 |
3 2n −2 |
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+ z + |
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−... + (−1) |
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3 2n |
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∞ |
(−1)n +1 3 |
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n |
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5). |
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∑ |
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n ! |
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n =0 |
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z |
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Номер: 6.85.С |
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|||||||||||||||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
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f (z) = |
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1 |
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в ряд Лорана по степеням |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z −1)(z − 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z − 2 в кольце 1 ≤ |
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z − 2 |
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< 2 . |
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∞ |
(z − 2)n |
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∞ |
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(−1)n +1 |
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1 |
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∞ |
(z − 2)n |
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∞ |
(−1)n +1 |
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Ответы: 1). |
∑ |
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2n |
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+ |
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∑ |
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2). − |
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∑ |
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+ |
∑ |
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n =0 |
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n=1(z − 2)n |
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3 n =0 2n +1 |
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n =1(z − 2)n |
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1 |
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∞ |
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(z − 2)n |
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∞ (−1)n +1 |
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1 ∞ (z − 2)n |
∞ |
1 |
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||||
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3). |
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∑ |
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n +1 |
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− ∑ |
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4). |
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∑ |
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+ ∑ |
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n |
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3 |
n |
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2) |
n |
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3 |
n =0 2 |
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n =1(z − 2) |
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2 n=0 |
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n =1 n(z − |
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1 |
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∞ |
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(z - 2)n |
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∞ |
(-1)n −1 |
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5). - |
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∑ |
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n +1 |
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+ |
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∑ |
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n |
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3 |
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2 |
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n =1(z - |
2) |
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n=0 |
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Номер: 6.86.С |
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f (z) = e |
z+2 |
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|||||||||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
|
|
z |
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 = 0 . |
|
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|||||||||
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2 |
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|
2 |
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1 |
2 |
2 |
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|
1 |
2 3 |
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1 2 |
n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). e |
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1 + |
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|
+ |
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|
|
|
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|
+ |
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+ ... + |
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+ ... |
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|
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|
|
|
z |
|
|
|
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|
2! z |
|
|
|
3! z |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
n ! z |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
∞ |
(-1) |
n+1 |
2 |
|
n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
∑ |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
2). e 1 |
+ |
|
z |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
3). |
|
|
|
2 |
n ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
2! z |
|
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|
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|
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|
|
|
n ! z |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
n =0 e |
|
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
∞ |
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
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|
∞ |
(-1)n +1 e 2 |
|
2n+1 |
|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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4). ∑ |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
5). |
|
|
∑ |
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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n =0 e × n ! |
z |
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n =0 |
(2n + 1)! z |
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Номер: 6.87.С |
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||||||||||||||||||||
Задача: |
Разложить |
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функцию |
f (z) = |
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1 |
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в |
ряд |
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Лорана |
в |
кольце |
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(z -1)(z - 2) |
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1 < |
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z |
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< 2 . |
∞ |
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1 |
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∞ |
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z n |
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∞ |
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1 |
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∞ (-1)n z n |
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Ответы: 1). ∑ |
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+ |
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∑ |
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2). - |
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∑ |
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+ |
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∑ |
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n +1 |
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n |
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n =1 z |
n |
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n =0 2 |
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n =1 z |
n |
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n=0 |
2 |
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∞ |
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1 |
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∞ |
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z n |
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∞ |
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2n |
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∞ |
(-1) |
n +1 |
2 |
n |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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3). - |
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∑ |
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- |
∑ |
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4). |
∑ |
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5). ∑ |
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n =1 z n |
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n =0 2n +1 |
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n =0 z n +1 |
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n =1 |
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z |
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Номер: 6.88.С |
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||||||||||||||||||||
Задача: |
Разложить |
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|
функцию |
f (z) = (1 + z3 )sin |
1 |
|
в |
ряд |
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|
Лорана в |
|
области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
z 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
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< ¥ . |
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||||||||||
z |
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∞ |
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(- |
1) |
n |
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∞ |
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(-1) |
n |
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). z + |
∑ |
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2). z 2 + 2z + ∑ |
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(2n + 1)!z 4n +1 |
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(4n + 1)× z 4n+1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n =0 |
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n =0 |
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3). 1 z + ∑ |
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(-1) |
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4). - z + ∑ |
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(-1) |
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∞ |
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|
n |
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∞ |
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n |
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||||||||||
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2 |
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n=0 |
(2n + 1)!z 4n +1 |
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n =0 |
(2n + 1)!z 2n +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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(-1)n |
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||||||||||||||
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5). z + |
∑ |
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||||||||||||
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(2n + 1)!z 4n−1 |
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n =0 |
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Номер: 6.89.С
Задача: Разложить |
|
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|
|
|
функцию |
f (z)= |
1 |
|
|
|
|
|
|
в ряд |
Лорана в кольце |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
(z −1)2 (z + 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
z −1 |
|
< 3 . |
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1 |
|
|
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|
1 |
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∞ |
(−1)n |
|
n |
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||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
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|
− |
|
|
|
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|
|
+ n∑=0 |
|
3n+1 (z −1) |
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|
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||||||||||||||||||
9(z −1)2 |
|
|
3(z −1) |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
(z −1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2). ... − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ n∑=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
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|
27(z −1)3 |
9(z −1)2 |
3(z −1) |
3n |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
(z −1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3). − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− n∑=0 3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
3(z −1)2 |
9(z −1) |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
4). |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ n∑=0 3n +1 (z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3(z −1)2 |
|
|
9(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5). |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
∑∞ (−1)n (z −1)n |
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9(z −1)2 |
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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9 n =0 3n+1 |
|
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|||||||||||||||||||
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Номер: 6.90.С |
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|
|||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
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|
z |
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|
|
в ряд Лорана в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(z + 3)(z + 2)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z 0 = −2 |
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||||||
|
|
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|
|
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|
2 |
|
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|
∞ |
(−1)n (z + 2)n |
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
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|
+ 3 ∑ |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(z + 2)2 |
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). |
|
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|
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n =0 |
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|
− 3 ∑(−1)n (z + 2)n |
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3). ∑ |
(−1) |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
3 − |
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2 |
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n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
∞ |
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|
|
|
|
|
|
|
∞ |
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|||||
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|
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z + 2 |
|
(z + 2)2 |
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|
n =0 |
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|
|
|
|
|
|
n =0 |
(z + 2)n +1 |
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
∞ |
|
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|
n |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
∞ |
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|
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|
|
|||||
|
|
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|
(−1) (z + 2) |
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|
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|||||||||||||||||||||
4). |
∑ |
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5). 3 ∑(−1)n (z + 2)n |
|||||||||||||||||||||||||||||
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|
n =0 |
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|
3n |
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|
n =0 |
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7. Изолированные особые точки. Вычеты
Номер: 7.1.В
Задача: Найти нули функции f (z) = 1 + cos z и определить их порядки.
Ответы: 1). zn = (2n + 1)π - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = 2πn - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
3). zn = (2n +1)π - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 4). zn = πn - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
5). нет правильных ответов
Номер: 7.2.В
Задача: Найти нули функции f (z) = 1 − ez и определить их порядки.
Ответы: 1). zn = π i + πn - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
2
2). zn = 2iπn - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
3). zn = (2n + 1)πi - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 4). zn = πni - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
5). нет правильных ответов
Номер: 7.3.В
Задача: Найти нули функции f (z) = z4 + 4z2 и определить их порядки.
Ответы: 1). z = ±2i - нули 1-го порядка |
2). z = 0 - нуль 2-го порядка |
||
3). z = 0 |
- нуль 2-го порядка, z = ±2i |
- нули 1-го порядка |
|
4). z = 0 |
- нуль 1-го порядка, z = ±2i |
- нули 2-го порядка |
5). нет правильных ответов
Номер: 7.4.В
Задача: Найти нули функции f (z) = (z2 + 1)3 sh z и определить их порядки. Ответы: 1). z = ±i - нули 3-го порядка 2). z = ±i - нули 2-го порядка 3). z = ±i - нули 1-го порядка
4). z = 0 - нуль 1-го порядка, z = ±i - нули 3-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 7.5.В
Задача: Найти нули функции f (z) = sin z и определить их порядки. z
Ответы: 1). zn = 2iπn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) 2). zn = πn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …)
3). zn = 2πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …) 4). zn = πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …)
5). нет правильных ответов
Номер: 7.6.В
Задача: Найти нули функции f (z) = z2 sin z и определить их порядки.
Ответы: 1). zn = πn - нули 1-го порядка (n= |
±1, ±2, …), z = 0 - нуль 3-го |
порядка |
|
2). zn = πn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) |
|
3). zn = 2πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = 0 - нуль 1-го порядка |
4). zn = πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = 0 - нуль 2-го порядка |
5). нет правильных ответов |
|
Номер: 7.7.В
Задача: Найти нули функции f (z) = sh2 z и определить их порядки. z
Ответы: 1). zn = πn - нули 1-го порядка (n= |
±1, ±2, …), z = 0 - нуль 2-го |
|
порядка |
|
|
2). zn |
= iπn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) |
|
3). zn |
= 2iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = 0 - нуль 1-го порядка |
4). zn |
= iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = 0 - нуль 1-го порядка |
5). нет правильных ответов |
|
|
|
Номер: 7.8.В |
|
Задача: Найти нули функции f(z)=1+chz и определить их порядки. |
||
Ответы: 1). zn = πi(2n + 1) - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) |
||
2). zn |
= πi - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) |
|
3). zn |
= 2iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = −1 - нуль 1-го порядка |
4). zn |
= iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), |
z = 0 – нуль 2-го порядка |
5). нет правильных ответов
Номер: 7.9.В
Задача: Найти нули функции f (z) = (1 − sh z)2 и определить их порядки. z
Ответы: 1). zn = πi(4n + 1) - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = πi - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …)
3). zn |
= πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …) |
|
2 |
4). zn |
= (4n + 1) π i - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
|
2 |
5). нет правильных ответов
Номер: 7.10.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (z + πi)sh z и определить их порядки.
Ответы: 1). zn = −πi - нуль 1-го порядка |
2). zn = −πi - нуль 2-го порядка |
|
3). zn |
= iπn - нули 1-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
|
4). zn |
= (4n +1)πi - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
|
5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 7.11.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача: Найти нули функции f (z)= cos z3 и определить их порядки. |
|||||||||||||||||||||
Ответы: 1). zn = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
(n= 0,±1, ±2, …) - нули 1-го порядка |
|||||||||||||
(2n +1)π |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 ± i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2). zn |
= |
(2n +1)π |
3 |
|
- нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= iπn - нули 1-го порядка, zn = |
|
1 ± i |
|
|
|
- нули 1-го порядка |
||||||||||||||
3). zn |
(2n +1)π |
3 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
(n= 0,±1, ±2, …) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 ± i |
|
|
|
|
zn = 3 |
|
- нули 1-го |
||||||||||
4). zn |
= |
|
(2n +1)π |
|
3 |
- нули 1-го порядка, |
(2n +1)π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
порядка (n= 0,±1, ±2, …)
5). нет правильных ответов
Номер: 7.12.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (z2 + π2 )(1 + e−z )и определить их порядки.
Ответы: 1). z1,2 |
= ±πi - нули 2-го порядка |
||
2). z1,2 = ±πi - |
нули 2-го порядка, z n = (2n +1)πi - нули 1-го порядка |
||
(n=±1, ±2, …) |
|
|
|
3). z n |
= (2n |
+1)πi - нули 1-го порядка (n=±1, ±2, …) |
|
4). z n |
= (4n |
+1)πi - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
5). нет правильных ответов
Номер: 7.13.В
Задача: Найти нули функции f (z)= cos z + ch i z и определить их порядки. Ответы: 1). нет нулей
2). z = πi - нуль 2-го порядка, z n = (2n +1)πi - нули 1-го порядка (n=±1, ±2, …)
3). z n |
= (2n +1)π i - нули 1-го порядка (n=±1, ±2, …) |
|
2 |
4). z n |
= (4n +1)πi - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) |
5). нет правильных ответов